TEORIAS DE LA GRAVITACIÓN

La gravedad cuántica de bucles ( LQG ) es una teoría de la gravedad cuántica , que intenta fusionar la mecánica cuántica y la relatividad general (incluida la incorporación de la materia del modelo estándar en el marco). Se toma seriamente la idea clave de la relatividad general de que el espacio-tiempo es una entidad dinámica, no un marco fijo. Compite con la teoría de cuerdas, que también es un candidato para una teoría de la gravedad cuántica. Sin embargo, a diferencia de la teoría de cuerdas, LQG no es un candidato para una teoría de todocuyo objetivo es explicar toda la física de partículas, unificando la gravedad con las otras fuerzas al mismo tiempo. En contraste con LQG, la teoría de cuerdas (en su mayor parte) es dependiente del fondo (construida en un marco fijo), que no tiene en cuenta la naturaleza dinámica del espacio-tiempo en el corazón de la relatividad.

Desde el punto de vista de la teoría de Einstein , todos los intentos de tratar la gravedad como otra fuerza cuántica igual en importancia al electromagnetismo y las fuerzas nucleares han fallado. Según Einstein, la gravedad no es una fuerza, es una propiedad del espacio-tiempo en sí mismo. La gravedad cuántica de bucles es un intento de desarrollar una teoría cuántica de la gravedad basada directamente en la formulación geométrica de Einstein.

Para hacer esto, en la teoría de LQG, el espacio y el tiempo se cuantifican , de manera análoga a la forma en que se cuantificanlas cantidades como la energía y el momento en la mecánica cuántica . La teoría ofrece una imagen física del espacio-tiempo donde el espacio y el tiempo son granulares y discretos directamente debido a la cuantización, al igual que los fotones en la teoría cuántica del electromagnetismo y los niveles discretos de energía de los átomos . La distancia existe con un mínimo.

La estructura del espacio prefiere un tejido extremadamente fino o una red tejida de bucles finitos. Estas redes de bucles se denominan redes de espín . La evolución de una red de espín, o espuma de espín , tiene una escala del orden de una longitud de Planck , aproximadamente 10 ⁻³⁵ metros, y no existen escalas más pequeñas. En consecuencia, no solo la materia, sino el espacio mismo, prefiere una estructura atómica .

Las vastas áreas de investigación se desarrollaron en varias direcciones que involucran a unos 30 grupos de investigación en todo el mundo. ^[1] Todos ellos comparten los supuestos físicos básicos y la descripción matemática del espacio cuántico. La investigación sigue dos direcciones: la tradicional gravedad cuántica del bucle canónico y la nueva gravedad cuántica del bucle covariante, llamada teoría de la espuma de espín .

Las consecuencias físicas de la teoría proceden en varias direcciones. El más bien desarrollado se aplica a la cosmología, llamada cosmología cuántica de bucles (LQC), el estudio del universo primitivo y la física del Big Bang . Su mayor consecuencia es que la evolución del universo continúa más allá del Big Bang llamado Big Bounce .

Historia [ editar ]

Artículo principal: Historia de la gravedad cuántica de bucles.

En 1986, Abhay Ashtekar reformuló la relatividad general de Einstein en un lenguaje más cercano al del resto de la física fundamental ^{[ cita requerida ]} . Poco después, Ted Jacobson y Lee Smolin se dieron cuenta de que la ecuación formal de la gravedad cuántica, llamada ecuación de Wheeler-DeWitt , admitía soluciones etiquetadas por bucles cuando se reescribían en las nuevas variables de Ashtekar . Carlo Rovelli y Lee Smolin definieron una teoría cuántica de la gravedad no perturbativa e independiente del fondo en términos de estas soluciones de bucle. Jorge Pullin y Jerzy Lewandowskientendió que las intersecciones de los bucles son esenciales para la coherencia de la teoría, y la teoría debería formularse en términos de bucles de intersección, o gráficos .

En 1994, Rovelli y Smolin demostraron que los operadores cuánticos de la teoría asociados al área y el volumen tienen un espectro discreto. Es decir, la geometría está cuantizada. Este resultado define una base explícita de los estados de la geometría cuántica, que resultaron ser etiquetados por las redes de espín de Roger Penrose , que son gráficos etiquetados por espines .

La versión canónica de la dinámica fue puesta a tierra firme por Thomas Thiemann , quien definió a un operador hamiltoniano sin anomalías, mostrando la existencia de una teoría de fondo independiente matemáticamente consistente. La versión de la dinámica covariante o de espuma de espín se desarrolló durante varias décadas y se cristalizó en 2008, a partir del trabajo conjunto de grupos de investigación en Francia, Canadá, Reino Unido, Polonia y Alemania, lo que llevó a la definición de una familia de amplitudes de transición, que en el límite clásicose puede demostrar que está relacionado con una familia de truncamientos de la relatividad general. ^[2] La finitud de estas amplitudes se probó en 2011. ^[3] [4] Requiere la existencia de un positivoConstante cosmológica , y esto es consistente con la aceleración observada en la expansión del Universo .

Covarianza general y la Independencia de fondo [ editar ]

Artículos principales: covarianza general , independencia de fondo y difeomorfismo.

En física teórica, la covarianza general es la invariancia de la forma de las leyes físicas bajo transformaciones de coordenadas diferenciables arbitrarias. La idea esencial es que las coordenadas son solo artificios utilizados para describir la naturaleza y, por lo tanto, no deben desempeñar ningún papel en la formulación de leyes físicas fundamentales. Un requisito más importante es el principio de la relatividad general que establece que las leyes de la física adoptan la misma forma en todos los sistemas de referencia. Esta es una generalización del principio de relatividad especial que establece que las leyes de la física adoptan la misma forma en todos los marcos inerciales.

En matemáticas, un difeomorfismo es un isomorfismo en la categoría de variedades lisas. Es una función invertible que mapea una variedad diferenciable a otra, de modo que tanto la función como su inverso son suaves. Estas son las transformaciones de simetría definitorias de la Relatividad General ya que la teoría está formulada solo en términos de una variedad diferenciable.

En la relatividad general, la covarianza general está íntimamente relacionada con la "invariabilidad del difeomorfismo". Esta simetría es una de las características definitorias de la teoría. Sin embargo, es un malentendido común que la "invariancia difeomorfismo" se refiere a la invariancia de las predicciones físicas de una teoría bajo transformaciones de coordenadas arbitrarias ; esto no es cierto y, de hecho, todas las teorías físicas son invariantes en las transformaciones coordinadas de esta manera. Los difomorfismos , como los definen los matemáticos, corresponden a algo mucho más radical; De manera intuitiva, la forma en que se pueden imaginar es arrastrar simultáneamente todos los campos físicos (incluido el campo gravitatorio) sobre la variedad diferenciable desnuda.Permaneciendo en el mismo sistema de coordenadas. Los difeomorfismos son las verdaderas transformaciones de simetría de la relatividad general, y surgen de la afirmación de que la formulación de la teoría se basa en una variedad diferenciable, pero no en ninguna geometría anterior; la teoría es independiente del fondo.(este es un cambio profundo, ya que todas las teorías físicas antes de la relatividad general tenían como parte de su formulación una geometría anterior). Lo que se conserva bajo tales transformaciones son las coincidencias entre los valores que toma el campo gravitatorio en tal o cual "lugar" y los valores que los campos de materia toman allí. A partir de estas relaciones, se puede formar una noción de que la materia está ubicada con respecto al campo gravitatorio, o viceversa. Esto es lo que descubrió Einstein: que las entidades físicas están ubicadas una con respecto a la otra y no con respecto a la variedad espacio-tiempo. Como dice Carlo Rovelli : "No hay más campos en el espacio-tiempo: solo campos en los campos". ^[5]Este es el verdadero significado del dicho "El escenario desaparece y se convierte en uno de los actores"; El espacio-tiempo como un "contenedor" sobre el cual tiene lugar la física no tiene un significado físico objetivo y, en cambio, la interacción gravitatoria se representa como uno de los campos que forman el mundo. Esto se conoce como la interpretación relacionalista del espacio-tiempo. El hecho de que Einstein se dé cuenta de que la relatividad general debe interpretarse de esta manera es el origen de su comentario "Más allá de mis expectativas más salvajes".

En LQG, este aspecto de la relatividad general se toma en serio y esta simetría se preserva al exigir que los estados físicos permanezcan invariantes bajo los generadores de difeomorfismos. La interpretación de esta condición es bien entendida por difeomorfismos puramente espaciales. Sin embargo, la comprensión de los difeomorfismos que involucran el tiempo (la restricción hamiltoniana ) es más sutil porque está relacionada con la dinámica y el llamado " problema del tiempo " en la relatividad general. ^[6] Aún no se ha encontrado un marco de cálculo generalmente aceptado para tener en cuenta esta restricción. ^[7] [8] Un candidato plausible para la restricción cuántica hamiltoniana es el operador introducido por Thiemann. ^[9]

LQG es formalmente independiente de fondo . Las ecuaciones de LQG no están integradas en, ni dependen de, el espacio y el tiempo (a excepción de su topología invariante). En su lugar, se espera que den lugar al espacio y al tiempo en distancias que son grandes en comparación con la longitud de Planck . El tema de la independencia de fondo en LQG todavía tiene algunas sutilezas sin resolver. Por ejemplo, algunas derivaciones requieren una elección fija de la topología , mientras que cualquier teoría cuántica de la gravedad consistente debería incluir el cambio de topología como un proceso dinámico.

Restricciones y su álgebra de corchetes de Poisson [ editar ]

Artículos principales: soporte de Poisson y restricción hamiltoniana.

Las restricciones de la relatividad general canónica clásica [ editar ]

Artículo principal: Derivada de la mentira.

La relatividad general es un ejemplo de un sistema restringido. En la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica ordinaria, el soporte de Poisson es un concepto importante. Un "sistema de coordenadas canónicas" consiste en una posición canónica y variables de momento que satisfacen las relaciones canónicas de soporte de Poisson,

$${\ displaystyle \ {q_ {i}, p_ {j} \} = \ delta _ {ij}}

donde el soporte de Poisson está dado por

$${\ displaystyle \ {f, g \} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ partial g } {\ parcial p_ {i}}} - {\ frac {\ parcial f} {\ parcial p_ {i}}} {\ frac {\ parcial g} {\ parcial q_ {i}}} \ derecha).}

para funciones de espacio de fase arbitrarias $${\ displaystyle f (q_ {i}, p_ {j})} y $${\ displaystyle g (q_ {i}, p_ {j})}. Con el uso de corchetes de Poisson, las ecuaciones de Hamilton se pueden reescribir como,

$${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i} = \ {q_ {i}, H \},}

$${\ displaystyle {\ dot {p}} _ {i} = \ {p_ {i}, H \}.}

Estas ecuaciones describen un " flujo " u órbita en el espacio de fase generado por el hamiltoniano$${\ displaystyle H}. Dada cualquier función de espacio de fase$${\ displaystyle F (q, p)}rendimientos

$${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} F (q_ {i}, p_ {i}) = \ {F, H \}.}

De manera similar, el corchete de Poisson entre una restricción y las variables de espacio de fase genera un flujo a lo largo de una órbita en el espacio de fase (no restringido) generado por la restricción. Hay tres tipos de restricciones en la reformulación de la relatividad general clásica de Ashtekar:

SU (2) las limitaciones de ancho de Gauss [ editar ]

Las restricciones de Gauss.

$${\ displaystyle G_ {j} (x) = 0.}

Esto representa un número infinito de restricciones, una para cada valor de $${\ displaystyle x}. Estos surgen de la reexpresión de la relatividad general como una$${\ displaystyle \ mathrm {SU} (2)} La teoría del indicador de tipo Yang-Mills (Yang-Mills es una generalización de la teoría de Maxwell en la que el campo del indicador se transforma como un vector bajo las transformaciones de Gauss, es decir, el campo del indicador tiene la forma$${\ displaystyle A_ {a} ^ {i} (x)} dónde $${\ displaystyle i}Es un índice interno. Ver variables de Ashtekar ). Este número infinito de restricciones del calibre de Gauss se puede " difuminar " mediante campos de prueba con índices internos,$${\ displaystyle \ lambda ^ {j} (x)},

$${\ displaystyle G (\ lambda) = \ int G_ {j} (x) \ lambda ^ {j} (x) \, \ operatorname {d} ^ {3} \! x.}

que debe desaparecer para cualquier función de este tipo. Estas restricciones difuminadas definidas con respecto a un espacio adecuado de funciones de difuminación dan una descripción equivalente a las restricciones originales.

La formulación de Ashtekar puede ser considerada como ordinaria. $${\ displaystyle \ mathrm {SU} (2)}La teoría de Yang-Mills junto con las siguientes restricciones especiales, resultantes de la invariabilidad del difeomorfismo y un hamiltoniano que se desvanece. La dinámica de tal teoría es, por lo tanto, muy diferente de la teoría ordinaria de Yang-Mills.

Restricciones de difeomorfismos espaciales [ editar ]

Las restricciones de difeomorfismo espacial.

$${\ displaystyle C_ {a} (x) = 0}

Puede ser difamado por las llamadas funciones de cambio $${\ displaystyle {\ vec {N}} (x)} para dar un conjunto equivalente de restricciones difeomorfas espaciales difuminadas,

$${\ displaystyle C ({\ vec {N}}) = \ int C_ {a} (x) \, N ^ {a} (x) \, \ operatorname {d} ^ {3} \! x.}

Estos generan difeomorfismos espaciales a lo largo de las órbitas definidas por la función de desplazamiento. $${\ displaystyle N ^ {a} (x)}.

Restricciones hamiltonianas [ editar ]

El hamiltoniano

$${\ displaystyle H (x) = 0}

Puede ser difamado por las llamadas funciones de lapso $${\ displaystyle N (x)} para dar un conjunto equivalente de restricciones hamiltonianas manchadas,

$${\ displaystyle H (N) = \ int H (x) N (x) \, \ operatorname {d} ^ {3} \! x}.

Estos generan difeomorfismos de tiempo a lo largo de las órbitas definidas por la función de lapso. $${\ displaystyle N (x)}.

En la formulación Ashtekar el campo gauge $${\ displaystyle A_ {a} ^ {i} (x)} es la variable de configuración (la variable de configuración es análoga a $${\ displaystyle q} en mecánica ordinaria) y su momento conjugado es la tríada (densificada) (campo eléctrico) $${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} (x)}. Las restricciones son ciertas funciones de estas variables de espacio de fase.

Un aspecto importante de la acción de las restricciones en funciones de espacio de fase arbitrarias es la derivada de Lie ,$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {V}}, que es básicamente una operación derivada que funciona "desplazando" infinitesimalmente a lo largo de una órbita con un vector tangente $${\ displaystyle V}.

El álgebra de corchete de Poisson [ editar ]

De particular importancia es el álgebra del corchete de Poisson formado entre las restricciones (manchadas) en sí mismas, ya que determina completamente la teoría. En términos de las restricciones difamadas anteriores, el álgebra de restricción entre la ley de Gauss dice:

$${\ displaystyle \ {G (\ lambda), G (\ mu) \} = G ([\ lambda, \ mu])}

dónde $${\ displaystyle [\ lambda, \ mu] ^ {k} = \ lambda _ {i} \ mu _ {j} \ epsilon ^ {ijk}}. Así que el soporte de Poisson de esos dos es equivalente a una sola ley de Gauss evaluada en el conmutador de las manchas. Se lee el corchete de Poisson entre las diferencias de difeomorfismos espaciales

$${\ displaystyle \ {C ({\ vec {N}}), C ({\ vec {M}}) \} = C ({\ mathcal {L}} _ {\ vec {N}} {\ vec { METRO}})}

y su efecto es "desplazar la mancha". La razón de esto es que las funciones de difuminación no son funciones de las variables canónicas y, por lo tanto, el difeomorfismo espacial no genera difeomorfismos en ellas. Sin embargo, sí generan diferentes tipos en todo lo demás. Esto es equivalente a dejar todo lo demás fijo mientras se desplaza el borrón. La acción del difeomorfismo espacial en la ley de Gauss es

$${\ displaystyle \ {C ({\ vec {N}}), G (\ lambda) \} = G ({\ mathcal {L}} _ {\ vec {N}} \ lambda),}

de nuevo, cambia el campo de prueba $${\ displaystyle \ lambda}. La ley de Gauss ha desvanecido el corchete de Poisson con la restricción hamiltoniana. La restricción de difeomorfismo espacial con un hamiltoniano le da un hamiltoniano con sus manchas desplazadas,

$${\ displaystyle \ {C ({\ vec {N}}), H (M) \} = H ({\ mathcal {L}} _ {\ vec {N}} M)}.

Finalmente, el corchete de Poisson de dos hamiltonianos es un difeomorfismo espacial,

$${\ displaystyle \ {H (N), H (M) \} = C (K)}

dónde $${\ displaystyle K}Es una función del espacio de fase. Es decir, es una suma sobre las limitaciones de difeomorfismos espaciales infinitesimales donde los coeficientes de proporcionalidad no son constantes pero tienen una dependencia del espacio de fase no trivial.

A (corchete de Poisson) Álgebra de Lie , con restricciones$${\ displaystyle C_ {I}}es de la forma

$${\ displaystyle \ {C_ {I}, C_ {J} \} = f_ {IJ} ^ {K} C_ {K}}

dónde $${\ displaystyle f_ {IJ} ^ {K}}Son constantes (las llamadas constantes de estructura ). El álgebra de corchetes de Poisson anterior para la relatividad general no forma un álgebra de Lie verdadera porque hay funciones de estructura en lugar de constantes de estructura para el corchete de Poisson entre dos hamiltonianos. Esto lleva a dificultades.

Dirac observables [ editar ]

Las restricciones definen una superficie de restricción en el espacio de fase original. Los movimientos de medición de las restricciones se aplican a todo el espacio de fase, pero tienen la característica de que dejan la superficie de restricción donde está, y por lo tanto la órbita de un punto en la hipersuperficie bajo las transformaciones de medición será una órbita completamente dentro de ella. Los observables de Dirac se definen como funciones de espacio de fase,$${\ displaystyle O}, que Poisson conmuta con todas las restricciones cuando se imponen las ecuaciones de restricción,

$${\ displaystyle \ {G_ {j}, O \} _ {G_ {j} = C_ {a} = H = 0} = \ {C_ {a}, O \} _ {G_ {j} = C_ {a } = H = 0} = \ {H, O \} _ {G_ {j} = C_ {a} = H = 0} = 0},

es decir, son cantidades definidas en la superficie de restricción que son invariantes bajo las transformaciones de la teoría.

Entonces, resolviendo sólo la restricción $${\ displaystyle G_ {j} = 0} y determinar los observables de Dirac con respecto a esto nos lleva de nuevo al espacio de fase de ADM con restricciones $${\ displaystyle H, C_ {a}}. La dinámica de la relatividad general es generada por las restricciones, se puede demostrar que se pueden obtener seis ecuaciones de Einstein que describen la evolución del tiempo (en realidad una transformación de calibre) calculando los corchetes de Poisson de la métrica tridimensional y su momento conjugado con una combinación lineal de El difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana. La desaparición de las restricciones, dando espacio a la fase física, son las otras cuatro ecuaciones de Einstein. ^[10]

Cuantización de las restricciones: las ecuaciones de la relatividad general cuántica [ editar ]

Prehistoria y nuevas variables de Ashtekar [ editar ]

Artículos principales: campos de marco en la relatividad general , variables Ashtekar y acción Palatini auto-dual

Muchos de los problemas técnicos en la gravedad cuántica canónica giran en torno a las restricciones. La relatividad general canónica se formuló originalmente en términos de variables métricas, pero parecía haber dificultades matemáticas insuperables para promover las restricciones a los operadores cuánticos debido a su alta dependencia no lineal de las variables canónicas. Las ecuaciones se simplificaron mucho con la introducción de las nuevas variables de Ashtekar. Las variables Ashtekar describen la relatividad general canónica en términos de un nuevo par de variables canónicas más cercanas a las de las teorías gauge. El primer paso consiste en utilizar tríadas densizadas.$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a}} (una tríada $${\ displaystyle E_ {i} ^ {a}} es simplemente tres campos vectoriales ortogonales etiquetados por $${\ displaystyle i = 1,2,3} y la tríada densificada se define por $${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} = {\ sqrt {\ det (q)}} E_ {i} ^ {a}}) para codificar información sobre la métrica espacial,

$${\ displaystyle \ det (q) q ^ {ab} = {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} {\ tilde {E}} _ {j} ^ {b} \ delta ^ {ij} }.

(dónde $${\ displaystyle \ delta ^ {ij}} es la métrica del espacio plano, y la ecuación anterior expresa que $${\ displaystyle q ^ {ab}}, cuando se escribe en términos de la base $${\ displaystyle E_ {i} ^ {a}}, es localmente llano). (La formulación de la relatividad general con tríadas en lugar de métricas no era nueva). Las tríadas densizadas no son únicas y, de hecho, se puede realizar una rotación local en el espacio con respecto a los índices internos.$${\ displaystyle i}. La variable conjugada canónicamente está relacionada con la curvatura extrínseca por$${\ displaystyle K_ {a} ^ {i} = K_ {ab} {\ tilde {E}} ^ {ai} / {\ sqrt {\ det (q)}}}. Pero cuando se intenta cuantificar la teoría, surgen problemas similares al uso de la formulación métrica. La nueva perspectiva de Ashtekar fue introducir una nueva variable de configuración,

$${\ displaystyle A_ {a} ^ {i} = \ Gamma _ {a} ^ {i} -iK_ {a} ^ {i}}

que se comporta como un complejo $${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)} conexión donde $${\ displaystyle \ Gamma _ {a} ^ {i}}Está relacionado con la llamada conexión de espín a través de$${\ displaystyle \ Gamma _ {a} ^ {i} = \ Gamma _ {ajk} \ epsilon ^ {jki}}. aquí$${\ displaystyle A_ {a} ^ {i}}Se llama la conexión de giro quiral. Define un derivado covariante.$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {a}}. Resulta que$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a}} es el momento conjugado de $${\ displaystyle A_ {a} ^ {i}}, y juntos forman las nuevas variables de Ashtekar.

Las expresiones para las restricciones en variables Ashtekar; La ley de Gauss, la restricción del difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana (densificada) leen entonces:

$${\ displaystyle G ^ {i} = {\ mathcal {D}} _ {a} {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} = 0}

$${\ displaystyle C_ {a} = {\ tilde {E}} _ {i} ^ {b} F_ {ab} ^ {i} -A_ {a} ^ {i} ({\ mathcal {D}} _ { b} {\ tilde {E}} _ {i} ^ {b}) = V_ {a} -A_ {a} ^ {i} G ^ {i} = 0},

$${\ displaystyle {\ tilde {H}} = \ epsilon _ {ijk} {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} {\ tilde {E}} _ {j} ^ {b} F_ {ab } ^ {k} = 0}

respectivamente, donde $${\ displaystyle F_ {ab} ^ {i}} Es el tensor de intensidad de campo de la conexión. $${\ displaystyle A_ {a} ^ {i}} y donde $${\ displaystyle V_ {a}}se conoce como la restricción del vector. La invarianza rotacional local en el espacio antes mencionada es el original de la$${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}Gauge invarianza aquí expresada por la ley de Gauss. Tenga en cuenta que estas restricciones son polinomiales en las variables fundamentales, a diferencia de las restricciones en la formulación métrica. Esta dramática simplificación pareció abrir el camino para cuantificar las restricciones. (Vea el artículo sobre la acción de Palatini auto-dual para una derivación del formalismo de Ashtekar).

Con las nuevas variables de Ashtekar, dada la variable de configuración $${\ displaystyle A_ {a} ^ {i}}, es natural considerar las funciones de onda. $${\ displaystyle \ Psi (A_ {a} ^ {i})}. Esta es la representación de la conexión. Es análogo a la mecánica cuántica ordinaria con variable de configuración.$${\ displaystyle q} y funciones de onda $${\ displaystyle \ psi (q)}. La variable de configuración se promueve a un operador cuántico a través de:

$${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {a} ^ {i} \ Psi (A) = A_ {a} ^ {i} \ Psi (A),}

(análogo a $${\ displaystyle {\ hat {q}} \ psi (q) = q \ psi (q)}) y las triadas son derivadas (funcionales),

$${\ displaystyle {\ hat {\ tilde {E_ {i} ^ {a}}}} \ Psi (A) = - i {\ delta \ Psi (A) \ over \ delta A_ {a} ^ {i}} }.

(análogo a $${\ displaystyle {\ hat {p}} \ psi (q) = - i \ hbar d \ psi (q) / dq}). Al pasar a la teoría cuántica, las restricciones se convierten en operadores en un espacio cinemático de Hilbert (lo no restringido).$${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}Espacio Yang-Mills Hilbert). Tenga en cuenta que diferente orden de la$${\ displaystyle A}y $${\ displaystyle {\ tilde {E}}}'s al reemplazar el $${\ displaystyle {\ tilde {E}}}Los derivados con derivados dan lugar a diferentes operadores: la elección realizada se denomina ordenamiento de factores y debe elegirse mediante un razonamiento físico. Formalmente ellos leen

$${\ displaystyle {\ hat {G}} _ {j} \ vert \ psi \ rangle = 0}

$${\ displaystyle {\ hat {C}} _ ​​{a} \ vert \ psi \ rangle = 0}

$${\ displaystyle {\ hat {\ tilde {H}}} \ vert \ psi \ rangle = 0}.

Todavía hay problemas para definir correctamente todas estas ecuaciones y resolverlas. Por ejemplo, la restricción Hamiltoniana con la que Ashtekar trabajó era la versión densificada en lugar del Hamiltoniano original, es decir, trabajó con$${\ displaystyle {\ tilde {H}} = {\ sqrt {\ det (q)}} H}. Hubo serias dificultades para promover esta cantidad a un operador cuántico. Además, aunque las variables Ashtekar tenían la virtud de simplificar el Hamiltoniano, son complejas. Cuando se cuantifica la teoría, es difícil asegurar que se recupere la relatividad general real en oposición a la relatividad general compleja.

Restricciones cuánticas como las ecuaciones de la relatividad general cuántica [ editar ]

El resultado clásico del soporte de Poisson de la difusa ley de Gauss. $${\ displaystyle G (\ lambda) = \ int d ^ {3} x \ lambda ^ {j} (D_ {a} E ^ {a}) ^ {j}} con las conexiones es

$${\ displaystyle \ {G (\ lambda), A_ {a} ^ {i} \} = \ parcial _ {a} \ lambda ^ {i} + g \ epsilon ^ {ijk} A_ {a} ^ {j} \ lambda ^ {k} = (D_ {a} \ lambda) ^ {i}.}

La ley cuántica de Gauss dice

$${\ displaystyle {\ hat {G}} _ {j} \ Psi (A) = - iD_ {a} {\ delta \ lambda \ Psi [A] \ over \ delta A_ {a} ^ {j}} = 0 .}

Si uno mancha la ley de Gauss cuántica y estudia su acción en el estado cuántico, encuentra que la acción de la restricción en el estado cuántico es equivalente a cambiar el argumento de $${\ displaystyle \ Psi} por un infinitesimal (en el sentido del parámetro $${\ displaystyle \ lambda} pequeña) transformación de calibre,

$${\ displaystyle \ left [1+ \ int d ^ {3} x \ lambda ^ {j} (x) {\ hat {G}} _ {j} \ right] \ Psi (A) = \ Psi [A + D \ lambda] = \ Psi [A],}

y la última identidad proviene del hecho de que la restricción aniquila el estado. Así que la restricción, como operador cuántico, está imponiendo la misma simetría que su desaparición impuso clásicamente: nos está diciendo que las funciones$${\ displaystyle \ Psi [A]}Tienen que ser gauge las funciones invariantes de la conexión. La misma idea es cierta para las otras restricciones.

Por lo tanto, el proceso de dos pasos en la teoría clásica de resolver las restricciones $${\ displaystyle C_ {I} = 0} (equivale a resolver las condiciones de admisibilidad para los datos iniciales) y buscar las órbitas de los indicadores (resolver las ecuaciones de 'evolución') se reemplaza por un proceso de un solo paso en la teoría cuántica, es decir, buscar soluciones $${\ displaystyle \ Psi} de las ecuaciones cuánticas $${\ displaystyle {\ hat {C}} _ ​​{I} \ Psi = 0}. Esto se debe a que, obviamente, resuelve la restricción en el nivel cuántico y, al mismo tiempo, busca los estados que son invariantes, ya que$${\ displaystyle {\ hat {C}} _ ​​{I}}es el generador cuántico de las transformaciones de los indicadores (las funciones invariantes de los indicadores son constantes a lo largo de las órbitas de los indicadores y, por lo tanto, las caracterizan). ^[11] Recuerde que, a nivel clásico, resolver las condiciones de admisibilidad y las ecuaciones de evolución fue equivalente a resolver todas las ecuaciones de campo de Einstein, esto subraya el papel central de las ecuaciones de restricción cuántica en la gravedad cuántica canónica.