TEORIAS DE LA GRAVITACIÓN

AQUAL es una teoría de la gravedad basada en la dinámica newtoniana modificada (MOND), pero que utiliza un lagrangiano . Fue desarrollado por Jacob Bekenstein y Mordehai Milgrom en su artículo de 1984, "¿El problema de la masa faltante señala la ruptura de la gravedad newtoniana?". "AQUAL" significa "un lagrangiano adrático".

La ley de fuerza gravitacional obtenida de MOND,

$${\ displaystyle m \ mu \ left ({\ frac {a} {a_ {0}}} \ right) a = {\ frac {GMm} {r ^ {2}}},}

tiene un defecto grave: viola la tercera ley del movimiento de Newton y, por lo tanto, no conserva el impulso y la energía. Para ver esto, considera dos objetos con$${\ displaystyle m \ neq M}; entonces nosotros tenemos:

$${\ displaystyle \ mu \ left ({\ frac {a_ {m}} {a_ {0}}} \ right) ma_ {m} = {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} = {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} = \ mu \ left ({\ frac {a_ {M}} {a_ {0}}} \ right) Ma_ {M}}

pero la tercera ley da $${\ displaystyle ma_ {m} = Ma_ {M},} por lo que obtendríamos

$${\ displaystyle \ mu \ left ({\ frac {a_ {m}} {a_ {0}}} \ right) = \ mu \ left ({\ frac {a_ {M}} {a_ {0}}} \ Correcto)}

aunque $${\ displaystyle a_ {m} \ neq a_ {M},} y $${\ displaystyle \ mu} por lo tanto, sería constante, en contra de la suposición de MOND de que es lineal para pequeños argumentos.

Este problema puede rectificarse derivando la ley de fuerza de un lagrangiano, a costa de la posible modificación de la forma general de la ley de fuerza. Entonces las leyes de conservación podrían entonces derivarse del lagrangiano por los medios habituales.

El Lagrangiano AQUAL es:

$${\ displaystyle \ rho \ Phi + {\ frac {1} {8 \ pi G}} a_ {0} ^ {2} F \ left ({\ frac {| \ nabla \ Phi | ^ {2}} {a_ {0} ^ {2}}} \ right);}

esto conduce a una ecuación de Poisson modificada:

$${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left (\ mu \ left ({\ frac {| \ nabla \ Phi |} {a_ {0}}} \ right) \ nabla \ Phi \ right) = 4 \ pi G \ rho , \ qquad {\ text {con}} \ quad \ mu (x) = {\ frac {dF (x ^ {2})} {dx}}.}

donde la aceleración prevista es $${\ displaystyle - \ nabla \ Phi = a.}Estas ecuaciones se reducen a las ecuaciones de MOND en el caso de simetría esférica, aunque difieren un poco en el caso de disco necesario para modelar galaxias espirales o lenticulares. Sin embargo, la diferencia es de solo 10 a 15%, por lo que no afecta seriamente los resultados.

Según Sanders y McGaugh , un problema con AQUAL (o cualquier teoría del tensor escalar en la que el campo escalar entra como un factor conformal multiplicando la métrica de Einstein) es el fracaso de AQUAL para predecir la cantidad de lentes gravitacionales que se observan en los cúmulos ricos de galaxias. 

La teoría de la gravedad del vector tensorial bi-escalar ( BSTV ) ^[1] es una extensión de la teoría de la gravedad del tensor-vector-escalar ( TeVeS ). ^[2] TeVeS es una generalización relativista de Mordehai Milgrom 's Modificado newtoniano Dinámica MOND paradigma propuesto por Jacob Bekenstein . ^[3] BSTV fue propuesto por RHSanders. BSTV hace que TeVeS sea más flexible al convertir un campo escalar no dinámico en TeVeS en uno dinámico. 

Gravedad Bimetric o bigravity se refiere a dos clases diferentes de teorías. La primera clase de teorías se basa en teorías matemáticas modificadas de la gravedad (o gravitación) en las que se utilizan dos tensores métricos en lugar de uno. ^[1] [2] La segunda métrica se puede introducir a altas energías, con la implicación de que la velocidad de la luz podría ser dependiente de la energía, lo que permite modelos con una velocidad variable de la luz .

Si las dos métricas son dinámicas e interactúan, una primera posibilidad implica dos modos de gravitón , uno masivo y otro sin masa; tales teorías bimétricas están entonces estrechamente relacionadas con la gravedad masiva . ^[3] Existen varias teorías bimétricas con gravitones masivos, como las atribuidas a Nathan Rosen (1909–1995) ^{[4] [5] [6]} o Mordehai Milgrom con dinámica newtoniana modificada ( MOND ). Más recientemente, los desarrollos en la gravedad masiva también han conducido a nuevas teorías consistentes de la gravedad bimétrica. ^[7]Aunque no se ha demostrado que ninguna de las observaciones físicas explique de forma más precisa o coherente que la teoría de la relatividad general , se ha demostrado que la teoría de Rosen es incompatible con las observaciones del púlsar binario Hulse-Taylor . ^[5] Algunas de estas teorías conducen a la aceleración cósmica en los últimos tiempos y, por lo tanto, son alternativas a la energía oscura . ^[8] [9]

Por el contrario, la segunda clase de teorías de la gravedad bimétrica no se basa en los gravitones masivos y no modifica la ley de Newton , sino que describe el universo como una variedad que tiene dos métricas Riemannianas acopladas , donde la materia que puebla los dos sectores interactúa a través de la gravitación (y la antigravación). si la topología y la aproximación newtoniana consideradas introducen estados de masa negativa y energía negativa en la cosmología como alternativa a la materia oscura y la energía oscura). Algunos de estos modelos cosmológicos también utilizan una velocidad variable de la luz en las altasEstado de densidad de energía de la era del universo dominada por la radiación , desafiando la hipótesis de la inflación . 

La grandeza de Rosen (1940) [ editar ]

En la relatividad general (GR), se supone que la distancia entre dos puntos en el espacio-tiempo está dada por el tensor métrico . La ecuación de campo de Einstein se utiliza para calcular la forma de la métrica en función de la distribución de la energía y el momento.

En 1940, Rosen ^[1] [2] propuso que en cada punto del espacio-tiempo, hay un tensor métrico euclidiano $${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}Además del tensor métrico riemanniano. $${\ displaystyle g_ {ij}}. Así, en cada punto del espacio-tiempo hay dos métricas:

$${\ displaystyle 1. ~~~~ ds ^ {2} = g_ {ij} dx ^ {i} dx ^ {j}}

$${\ displaystyle 2. ~~~~ d \ sigma ^ {2} = \ gamma _ {ij} dx ^ {i} dx ^ {j}}

El primer tensor métrico, $${\ displaystyle g_ {ij},}Describe la geometría del espacio-tiempo y, por tanto, el campo gravitatorio. El segundo tensor métrico,$${\ displaystyle \ gamma _ {ij},}se refiere al espacio-tiempo plano y describe las fuerzas de inercia. Los símbolos de Christoffel formados a partir de$${\ displaystyle g_ {ij}} y $${\ displaystyle \ gamma _ {ij}} se denotan por $${\ displaystyle \ {_ {jk} ^ {i} \}} y $${\ displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {i}} respectivamente.

Dado que la diferencia de dos conexiones es un tensor, se puede definir el campo del tensor$${\ displaystyle \ Delta _ {jk} ^ {i}} dada por:

$${\ displaystyle \ Delta _ {jk} ^ {i} = \ {_ {jk} ^ {i} \} - \ Gamma _ {jk} ^ {i} \ qquad (1)}

Entonces surgen dos tipos de diferenciación covariante: $${\ displaystyle g}-diferenciación basada en $${\ displaystyle g_ {ij}} (denotado por un punto y coma), y la diferenciación covariante basada en $${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}(denotado por una barra). Las derivadas parciales ordinarias están representadas por una coma. Dejar$${\ displaystyle R_ {ijk} ^ {h}} y $${\ displaystyle P_ {ijk} ^ {h}}Ser los tensores de curvatura de Riemann calculados a partir de$${\ displaystyle g_ {ij}} y $${\ displaystyle \ gamma _ {ij},}respectivamente. En los anteriores abordamos el tensor de curvatura.$${\ displaystyle P_ {ijk} ^ {h}} es cero, ya que $${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}Es la métrica plana espacio-tiempo.

Un cálculo sencillo produce el tensor de curvatura de Riemann

$${\ displaystyle R_ {ijk} ^ {h} = P_ {ijk} ^ {h} - \ Delta _ {ij / k} ^ {h} + \ Delta _ {ik / j} ^ {h} + \ Delta _ {mj} ^ {h} \ Delta _ {ik} ^ {m} - \ Delta _ {mk} ^ {h} \ Delta _ {ij} ^ {m} = - \ Delta _ {ij / k} ^ { h} + \ Delta _ {ik / j} ^ {h} + \ Delta _ {mj} ^ {h} \ Delta _ {ik} ^ {m} - \ Delta _ {mk} ^ {h} \ Delta _ {ij} ^ {m}}

Cada término en el lado derecho es un tensor. Se ve que desde GR se puede ir a la nueva formulación simplemente reemplazando {:} por$${\ displaystyle \ Delta} y diferenciación ordinaria por covariante $${\ displaystyle \ gamma}-diferenciación, $${\ displaystyle {\ sqrt {-g}}} por $${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {g} {\ gamma}}},}medida de integración $${\ displaystyle d ^ {4} x} por $${\ displaystyle {\ sqrt {- \ gamma}} \, d ^ {4} x,} dónde $${\ displaystyle g = \ det (g_ {ij}), \ gamma = det (\ gamma _ {ij})} y $${\ displaystyle d ^ {4} x = dx ^ {1} dx ^ {2} dx ^ {3} dx ^ {4}}. Habiendo introducido una vez$${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}En la teoría, uno tiene un gran número de nuevos tensores y escalares a su disposición. Uno puede configurar otras ecuaciones de campo distintas de las de Einstein. Es posible que algunos de estos sean más satisfactorios para la descripción de la naturaleza.

La ecuación geodésica en la relatividad bimétrica (BR) toma la forma

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {i}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma _ {jk} ^ {i} {\ frac {dx ^ {j}} {ds} } {\ frac {dx ^ {k}} {ds}} + \ Delta _ {jk} ^ {i} {\ frac {dx ^ {j}} {ds}} {\ frac {dx ^ {k}} {ds}} = 0 \ qquad (2)}

Se ve en las ecuaciones (1) y (2) que $${\ displaystyle \ Gamma} puede considerarse que describe el campo inercial porque se desvanece mediante una transformación de coordenadas adecuada.

La cantidad $${\ displaystyle \ Delta,} siendo un tensor, es independiente de cualquier sistema de coordenadas y, por lo tanto, puede considerarse que describe el campo gravitatorio permanente.

Rosen (1973) ha encontrado que la BR satisface el principio de covarianza y equivalencia. En 1966, Rosen demostró que la introducción de la métrica espacial en el marco de la relatividad general no solo permite obtener el tensor de densidad de momento de energía del campo gravitacional, sino que también permite obtener este tensor a partir de un principio variacional. Las ecuaciones de campo de BR derivadas del principio variacional son

$${\ displaystyle K_ {j} ^ {i} = N_ {j} ^ {i} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {j} ^ {i} N = -8 \ pi \ kappa T_ {j} ^ {i} \ qquad (3)}

dónde

$${\ displaystyle N_ {j} ^ {i} = {\ frac {1} {2}} \ gamma ^ {\ alpha \ beta} (g ^ {hi} g_ {hj / \ alpha}) _ {/ \ beta }}

o

{\ displaystyle {\ begin {alineado} N_ {j} ^ {i} & = {\ frac {1} {2}} \ gamma ^ {\ alpha \ beta} \ left \ {\ left (g ^ {hi} g_ {hj, \ alpha} \ right) _ {, \ beta} - \ left (g ^ {hi} g_ {mj} \ Gamma _ {h \ alpha} ^ {m} \ right) _ {, \ beta} - \ gamma ^ {\ alpha \ beta} \ left (\ Gamma _ {j \ alpha} ^ {i} \ right) _ {, \ beta} + \ Gamma _ {\ lambda \ beta} ^ {i} \ left [g ^ {h \ lambda} g_ {hj, \ alpha} -g ^ {h \ lambda} g_ {mj} \ Gamma _ {h \ alpha} ^ {m} - \ Gamma _ {j \ alpha} ^ { \ lambda} \ right] - \ right. \\ & \ qquad \ Gamma _ {j \ beta} ^ {\ lambda} \ left [g ^ {hi} g_ {h \ lambda, \ alpha} -g ^ {hi } g_ {m \ lambda} \ Gamma _ {h \ alpha} ^ {m} - \ Gamma _ {\ lambda \ alpha} ^ {i} \ right] + \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ lambda } \ left. \ left [g ^ {hi} g_ {hj, \ lambda} -g ^ {hi} g_ {mj} \ Gamma _ {h \ lambda} ^ {m} - \ Gamma _ {j \ lambda} ^ {i} \ right] \ right \} \ end {alineado}}}

$${\ displaystyle N = g ^ {ij} N_ {ij}, \ qquad \ kappa = {\ sqrt {\ frac {g} {\ gamma}}},}

y $${\ displaystyle T_ {j} ^ {i}} Es el tensor de energía-momento.

El principio variacional también conduce a la relación.

$${\ displaystyle T_ {j; i} ^ {i} = 0.}

Por lo tanto de (3)

$${\ displaystyle K_ {j; i} ^ {i} = 0,}

lo que implica que en una BR, una partícula de prueba en un campo gravitatorio se mueve en una geodésica con respecto a$${\ displaystyle g_ {ij}.}

Se encuentra que las teorías de BR y GR difieren en los siguientes casos:

• propagación de ondas electromagnéticas
• El campo externo de una estrella de alta densidad.
• el comportamiento de las ondas gravitacionales intensas que se propagan a través de un fuerte campo gravitatorio estático.

Se ha demostrado que las predicciones de la radiación gravitacional en la teoría de Rosen están en conflicto con las observaciones del púlsar binario de Hulse-Taylor . ^[5]

Bigravidad masiva [ editar ]

Artículo principal: Gravedad masiva.

Desde 2010, ha habido un renovado interés en Bigravity después del desarrollo por parte de Claudia de Rham , Gregory Gabadadze y Andrew Tolley (dRGT) de una teoría saludable de la gravedad masiva. ^[15] La gravedad masiva es una teoría bimétrica en el sentido de que los términos de interacción no trivial para la métrica$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}solo se puede escribir con la ayuda de una segunda métrica, ya que el único término no derivado que se puede escribir con una métrica es una constante cosmológica . En la teoría dRGT, una "métrica de referencia" no dinámica$${\ displaystyle f _ {\ mu \ nu}}se introduce, y los términos de interacción se construyen a partir de la raíz cuadrada de la matriz de$${\ displaystyle g ^ {- 1} f}.

En la gravedad masiva dRGT, la métrica de referencia debe especificarse a mano. Se puede asignar a la métrica de referencia un término de Einstein-Hilbert , en cuyo caso$${\ displaystyle f _ {\ mu \ nu}} no se elige, sino que evoluciona dinámicamente en respuesta a $${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}y posiblemente importa. Este bigravity masiva fue introducido por Fawad Hassan y Rachel Rosen como una extensión de DRGT enorme gravedad. ^[3] [16]

La teoría dRGT es crucial para desarrollar una teoría con dos métricas dinámicas porque las teorías bimétricas generales están plagadas por el fantasma Boulware-Deser , una posible sexta polarización para un gravitón masivo. ^[17] El potencial dRGT se construye específicamente para hacer que este fantasma no sea dinámico, y mientras el término cinético para la segunda métrica sea de la forma de Einstein-Hilbert, la teoría resultante permanece libre de fantasmas. ^[3]

La acción para la gran gravedad masiva libre de fantasmas está dada por ^[18]

$${\ displaystyle S = - {\ frac {M_ {g} ^ {2}} {2}} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} R (g) - {\ frac {M_ { f} ^ {2}} {2}} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-f}} R (f) + m ^ {2} M_ {g} ^ {2} \ int d ^ { 4} x {\ sqrt {-g}} \ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {4} \ beta _ {n} e_ {n} (\ mathbb {X}) + \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {m}} (g, \ Phi _ {i}).}

Como en la relatividad general estándar, la métrica $${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}tiene un término cinético de Einstein-Hilbert proporcional al escalar de Ricci $${\ displaystyle R (g)} y un mínimo acoplamiento a la materia lagrangiana. $${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {m}}}, con $${\ displaystyle \ Phi _ {i}}representando todos los campos de la materia, como los del Modelo Estándar . También se da un término de Einstein-Hilbert para$${\ displaystyle f _ {\ mu \ nu}}. Cada métrica tiene su propia masa de Planck , denotada$${\ displaystyle M_ {g}} y $${\ displaystyle M_ {f}}respectivamente. El potencial de interacción es el mismo que en la gravedad masiva dRGT. los$${\ displaystyle \ beta _ {i}} son constantes de acoplamiento adimensionales y $${\ displaystyle m} (o específicamente $${\ displaystyle \ beta _ {i} ^ {1/2} m}) Está relacionado con la masa del gravitón masivo. Esta teoría se propaga siete grados de libertad, correspondientes a un gravitón sin masa y un gravitón masivo (aunque los estados masivos y sin masa no se alinean con ninguna de las métricas).

El potencial de interacción se construye a partir de los polinomios simétricos elementales. $${\ displaystyle e_ {n}} de los valores propios de las matrices $${\ displaystyle \ mathbb {K} = \ mathbb {I} - {\ sqrt {g ^ {- 1} f}}} o $${\ displaystyle \ mathbb {X} = {\ sqrt {g ^ {- 1} f}}}, parametrizado por constantes de acoplamiento adimensionales $${\ displaystyle \ alpha _ {i}} o $${\ displaystyle \ beta _ {i}}, respectivamente. aquí$${\ displaystyle {\ sqrt {g ^ {- 1} f}}}Es la raíz cuadrada de la matriz.$${\ displaystyle g ^ {- 1} f}. Escrito en notación de índice,$${\ displaystyle \ mathbb {X}} Se define por la relación.

$${\ displaystyle X ^ {\ mu} {} _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} {} _ {\ nu} = g ^ {\ mu \ alpha} f _ {\ nu \ alpha}.}

los $${\ displaystyle e_ {n}} Puede ser escrito directamente en términos de $${\ displaystyle \ mathbb {X}} como

{\ displaystyle {\ begin {alineado} e_ {0} (\ mathbb {X}) & = 1, \\ e_ {1} (\ mathbb {X}) & = [\ mathbb {X}], \\ e_ {2} (\ mathbb {X}) & = {\ frac {1} {2}} \ left ([\ mathbb {X}] ^ {2} - [\ mathbb {X} ^ {2}] \ right ), \\ e_ {3} (\ mathbb {X}) & = {\ frac {1} {6}} \ left ([\ mathbb {X}] ^ {3} -3 [\ mathbb {X}] [\ mathbb {X} ^ {2}] + 2 [\ mathbb {X} ^ {3}] \ right), \\ e_ {4} (\ mathbb {X}) = = operatorname {det} \ mathbb {X}, \ end {alineado}}}

donde los paréntesis indican una traza ,$${\ displaystyle [\ mathbb {X}] \ equiv X ^ {\ mu} {} _ {\ mu}}. Es la particular combinación antisimétrica de términos en cada uno de los$${\ displaystyle e_ {n}} que es responsable de hacer que el fantasma de Boulware-Deser no sea dinámico.