TEORIAS DE LA GRAVITACIÓN

teoría de la gravedad de Brans-Dicke (a veces llamada teoría de Jordan-Brans-Dicke ) es un marco teórico para explicar la gravedad . Es un competidor de Einstein teoría de la 's relatividad general . Es un ejemplo de una teoría escalar-tensorial , una teoría gravitacional en la que la interacción gravitatoria está mediada por un campo escalar y también por el campo tensorial de la relatividad general. La constante gravitacional G no se presume constante, sino que 1 / G se reemplaza por un campo escalar $${\ displaystyle \ phi} Que puede variar de un lugar a otro y con el tiempo.

La teoría fue desarrollada en 1961 por Robert H. Dicke y Carl H. Brans ^[1] basándose en, entre otros, el trabajo anterior de Pascual Jordan en 1959 . En la actualidad, tanto la teoría de Brans-Dicke como la relatividad general están generalmente de acuerdo con la observación. La teoría de Brans-Dicke representa un punto de vista minoritario en la física.

Comparación con la relatividad general [ editar ]

Tanto la teoría de Brans-Dicke como la relatividad general son ejemplos de una clase de teorías clásicas relativistas de campo de la gravitación , llamadas teorías métricas . En estas teorías, el espacio-tiempo está equipado con un tensor métrico ,$${\ displaystyle g_ {ab}}, y el campo gravitatorio está representado (total o parcialmente) por el tensor de curvatura de Riemann $${\ displaystyle R_ {abcd}}, que está determinado por el tensor métrico.

Todas las teorías métricas satisfacen el principio de equivalencia de Einstein , que en el lenguaje geométrico moderno establece que en una región muy pequeña (demasiado pequeña para exhibir efectos de curvaturamensurables ), todas las leyes de la física conocidas en la relatividad especial son válidas en los marcos locales de Lorentz . Esto implica, a su vez, que todas las teorías métricas exhiben el efecto de desplazamiento al rojo gravitacional .

Como en la relatividad general, la fuente del campo gravitatorio se considera el tensor de tensión-energía o tensor de materia . Sin embargo, la forma en que la presencia inmediata de masa-energía en alguna región afecta el campo gravitatorio en esa región difiere de la relatividad general. Lo mismo ocurre con la forma en que la curvatura del espacio-tiempo afecta el movimiento de la materia. En la teoría de Brans-Dicke, además de la métrica, que es un campo tensor de rango dos , hay un campo escalar ,$${\ displaystyle \ phi}, que tiene el efecto físico de cambiar la constante gravitacional efectiva de un lugar a otro. (Esta característica fue en realidad un desideratum clave de Dicke y Brans; consulte el documento de Brans que se cita a continuación, que describe los orígenes de la teoría).

Las ecuaciones de campo de la teoría de Brans-Dicke contienen un parámetro ,$${\ displaystyle \ omega}, llamada la constante de acoplamiento Brans-Dicke . Esta es una verdadera constante sin dimensiones que debe elegirse de una vez por todas. Sin embargo, puede ser elegido para ajustarse a las observaciones. Tales parámetros a menudo se denominan parámetros ajustables . Además, el valor ambiental actual de la constante gravitacional efectiva debe elegirse como condición de contorno . La relatividad general no contiene parámetros adimensionales y, por lo tanto, es más fácil de falsificar (mostrar si es falsa) que la teoría de Brans-Dicke. Las teorías con parámetros ajustables a veces son desaprobadas por el principio de que, de dos teorías que ambas concuerdan con la observación, las más parsimoniosases preferible. Por otro lado, parece que son una característica necesaria de algunas teorías, como el ángulo de mezcla débil del modelo estándar .

La teoría de Brans-Dicke es "menos estricta" que la relatividad general en otro sentido: admite más soluciones. En particular, las soluciones de vacío exactas a la ecuación de campo de Einstein de la relatividad general, aumentadas por el campo escalar trivial$${\ displaystyle \ phi = 1}, se convierten en soluciones de vacío exactas en la teoría de Brans-Dicke, pero algunos tiempos espaciales que no son soluciones de vacío para la ecuación de campo de Einstein se convierten, con la elección apropiada de campo escalar, en soluciones de vacío de la teoría de Brans-Dicke. De manera similar, una importante clase de tiempos espaciales, las métricas de onda pp , también son soluciones exactas de polvo nulo tanto de la relatividad general como de la teoría de Brans-Dicke, pero aquí también, la teoría de Brans-Dicke permite soluciones de ondas adicionales que tienen geometrías que son incompatibles con la relatividad general .

Como la relatividad general, la teoría de Brans-Dicke predice la desviación de la luz y la precesión de la periheliade los planetas que orbitan alrededor del Sol. Sin embargo, las fórmulas precisas que gobiernan estos efectos, según la teoría de Brans-Dicke, dependen del valor de la constante de acoplamiento.$${\ displaystyle \ omega}. Esto significa que es posible establecer un límite inferior de observación en el valor posible de$${\ displaystyle \ omega}De observaciones del sistema solar y otros sistemas gravitacionales. El valor de$${\ displaystyle \ omega}consistente con el experimento ha aumentado con el tiempo. En 1973{\ displaystyle \ omega> 5}fue consistente con los datos conocidos. Para 1981{\ displaystyle \ omega> 30}fue consistente con los datos conocidos. En 2003, las pruebas derivadas del experimento de Cassini-Huygens muestran que el valor de$${\ displaystyle \ omega} Debe superar los 40.000.

También a menudo se enseña ^[2] que la relatividad general se obtiene de la teoría de Brans-Dicke en el límite$${\ displaystyle \ omega \ rightarrow \ infty}. Pero Faraoni ^[3] afirma que esto se rompe cuando la huella del impulso de energía-estrés se desvanece, es decir$${\ displaystyle T _ {\ mu} ^ {\ mu} = 0} . Un ejemplo de ello es la solución de agujero de gusano Campanelli - Lousto . ^[4]Algunos han discutido ^{[ ¿quién? ]} que solo la relatividad general satisface el principio de equivalencia fuerte .

Las ecuaciones de campo [ editar ]

Las ecuaciones de campo de la teoría de Brans / Dicke son

$${\ displaystyle \ Box \ phi = {\ frac {8 \ pi} {3 + 2 \ omega}} T}

$${\ displaystyle G_ {ab} = {\ frac {8 \ pi} {\ phi}} T_ {ab} + {\ frac {\ omega} {\ phi ^ {2}}} (\ parcial _ {a} \ phi \ parcial _ {b} \ phi - {\ frac {1} {2}} g_ {ab} \ parcial _ {c} \ phi \ parcial ^ {c} \ phi) + {\ frac {1} {\ phi}} (\ nabla _ {a} \ nabla _ {b} \ phi -g_ {ab} \ Box \ phi)},

dónde

$${\ displaystyle \ omega} es la constante de acoplamiento de Dicke adimensional;

$${\ displaystyle g_ {ab}}es el tensor métrico ;

$${\ displaystyle G_ {ab} = R_ {ab} - {\ tfrac {1} {2}} Rg_ {ab}}Es el tensor de Einstein , una especie de curvatura media;

$${\ displaystyle R_ {ab} = {R ^ {m}} _ {amb}}Es el tensor de Ricci , una especie de traza del tensor de curvatura;

$${\ displaystyle R = {R ^ {m}} _ {m}}es el escalar de Ricci , la traza del tensor de Ricci;

$${\ displaystyle T_ {ab}}es el tensor de tensión-energía ;

$${\ displaystyle T = T_ {a} ^ {a}} Es la traza del tensor estrés-energía;

$${\ displaystyle \ phi}es el campo escalar; y

$${\ displaystyle \ Box}es el operador de Laplace-Beltrami u operador de ondas covariantes,$${\ displaystyle \ Box \ phi = \ phi _ {\; \ ;; a} ^ {; a}}.

La primera ecuación dice que la traza del tensor de tensión-energía actúa como la fuente del campo escalar. $${\ displaystyle \ phi}. Dado que los campos electromagnéticos contribuyen solo con un término sin tráiler al tensor de tensión-energía, esto implica que en una región del espacio-tiempo que contiene solo un campo electromagnético (más el campo gravitatorio), el lado derecho se desvanece, y$${\ displaystyle \ phi}obedece la ecuación de onda (espacio-tiempo curvo) . Por lo tanto, los cambios en$${\ displaystyle \ phi}propagarse a través de regiones de electrovacuum ; en este sentido decimos que$${\ displaystyle \ phi}Es un campo de largo alcance .

La segunda ecuación describe cómo el tensor de tensión-energía y el campo escalar $${\ displaystyle \ phi}Juntos afectan la curvatura del espacio-tiempo. El lado izquierdo, el tensor de Einstein , puede considerarse como un tipo de curvatura media. Es una cuestión de matemáticas puras que, en cualquier teoría métrica, el tensor de Riemann siempre se puede escribir como la suma de la curvatura de Weyl (o tensor de curvatura conforme ) más una pieza construida a partir del tensor de Einstein.

Para comparación, la ecuación de campo de la relatividad general es simplemente

$${\ displaystyle G_ {ab} = 8 \ pi GT_ {ab}.}

Esto significa que en la relatividad general, la curvatura de Einstein en algún evento está totalmente determinada por el tensor de tensión-energía en ese evento; La otra pieza, la curvatura de Weyl, es la parte del campo gravitatorio que puede propagarse como una onda gravitacional a través de una región de vacío. Pero en la teoría de Brans-Dicke, el tensor de Einstein está determinado en parte por la presencia inmediata de masa-energía y momento, y en parte por el campo escalar de largo alcance.$${\ displaystyle \ phi \,}.

Las ecuaciones de campo de vacío de ambas teorías se obtienen cuando el tensor de tensión-energía se desvanece. Este modela situaciones en las que no hay campos no gravitacionales presentes.

El principio de acción [ editar ]

El siguiente Lagrangiano contiene la descripción completa de la teoría de Brans / Dicke:

$${\ displaystyle S = {\ frac {1} {16 \ pi}} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} \; \ left (\ phi R - {\ frac {\ omega} { \ phi}} \ parcial _ {a} \ phi \ parcial ^ {a} \ phi \ derecha) + \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} \; {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}} ^[5]

dónde $${\ displaystyle g} es el determinante de la métrica, $${\ displaystyle {\ sqrt {-g}} \, d ^ {4} x}es la forma de volumen de cuatro dimensiones , y$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}}Es el término materia o materia lagrangiana .

El término materia incluye la contribución de la materia ordinaria (por ejemplo, la materia gaseosa) y también los campos electromagnéticos. En una región de vacío, el término materia desaparece idénticamente; El término restante es el término gravitacional . Para obtener las ecuaciones de campo de vacío, debemos variar el término gravitacional en el lagrangiano con respecto a la métrica$${\ displaystyle g_ {ab}}; Esto da la segunda ecuación de campo anterior. Cuando variamos con respecto al campo escalar.$${\ displaystyle \ phi}, obtenemos la primera ecuación de campo.

Tenga en cuenta que, a diferencia de las ecuaciones de campo de relatividad general, la $${\ displaystyle \ delta R_ {ab} / \ delta g_ {cd}}El término no desaparece, ya que el resultado no es un derivado total. Se puede demostrar que

$${\ displaystyle {\ frac {\ delta (\ phi R)} {\ delta g ^ {ab}}} = \ phi R_ {ab} + g_ {ab} g ^ {cd} \ phi _ {; c; d } - \ phi _ {; a; b}}

Para probar este resultado, utilice

$${\ displaystyle \ delta (\ phi R) = R \ delta \ phi + \ phi R_ {mn} \ delta g ^ {mn} + \ phi \ nabla _ {s} (g ^ {mn} \ delta \ Gamma _ {nm} ^ {s} -g ^ {ms} \ delta \ Gamma _ {rm} ^ {r})}

Evaluando el $${\ displaystyle \ delta \ Gamma}s en las coordenadas normales de Riemann, 6 términos individuales desaparecen. Otros 6 términos se combinan cuando se manipulan utilizando el teorema de Stokes para proporcionar el valor deseado.$${\ displaystyle (g_ {ab} g ^ {cd} \ phi _ {; c; d} - \ phi _ {; a; b}) \ delta g ^ {ab}}.

Para comparación, el Lagrangiano que define la relatividad general es

$${\ displaystyle S = \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} \; \ left ({\ frac {R} {16 \ pi G}} + {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}} \ derecha)}

Variando el término gravitacional con respecto a $${\ displaystyle g_ {ab}} Da la ecuación de campo de vacío de Einstein.

En ambas teorías, las ecuaciones de campo completas se pueden obtener mediante variaciones del Lagrangiano completo.

el teorema de Chasles dice que la atracción gravitatoria newtoniana de una concha esférica, fuera de esa concha, es matemáticamente equivalente a la atracción de una masa puntual. ^[1]

El teorema se atribuye a Michel Chasles (1793–1880).

Benjamin Peirce siguió el trabajo de Chasles en el que desarrolló una analogía entre la conducción del calor y la atracción gravitacional:

Una sola corriente en una dirección perpendicular a las superficies niveladas, y que tiene una velocidad proporcional a la disminución de la densidad ... es la ley de propagación del calor, cuando no hay radiación, y por lo tanto surgen las analogías entre los niveles y las superficies isotérmicas, y La identidad de las investigaciones matemáticas de la atracción de cuerpos y la propagación de calor que han sido desarrolladas por Chasles. ^[2]

La concha de Chasles es la figura que Peirce explota: ^[3]

Si se forma una cubierta homogénea infinitamente delgada sobre cada superficie nivelada, de un sistema de cuerpos, teniendo en cada punto un espesor proporcional a la atracción en ese punto, la parte de cualquiera de estas cubiertas, que se incluye en un canal formado por trayectorias , tiene la misma relación con toda la concha, que la porción de otra concha incluida en el mismo canal con esa concha, siempre que no haya masa incluida entre las conchas.

La concepción de estas conchas y la investigación de sus propiedades de actuación y reacción fue original con Chasles, y será conveniente, según sea apropiado, designarlas como conchas de Chasles.

El teorema de Chasles según lo expresado por Peirce: ^[4]

Las superficies de nivel externo de una cáscara son iguales a las de las masas originales, y la atracción de la cáscara sobre un punto externo tiene la misma dirección que la atracción de las masas originales, y es normal a la superficie nivelada que pasa a través del punto . Este teorema se debe a Chasles.

El elipsoide es reclutado para enlazar las conchas de Chaslesian: ^[5]

Una cáscara homogénea infinitamente delgada, de la cual las superficies interna y externa son las de elipsoides concéntricos similares y colocados de manera similar, es una cáscara de Chaslesian.

conjetura de la protección de la cronología es una conjetura propuesta por primera vez por Stephen Hawking que plantea la hipótesis de que las leyes de la física son tales como para evitar el viaje en el tiempo en todas las escalas, excepto en las submicroscópicas. La permisibilidad del viaje en el tiempo se representa matemáticamente por la existencia de curvas temporales cerradas en algunas soluciones exactas a la Relatividad General . La conjetura de protección de la cronología debe distinguirse de la censura cronológicasegún la cual cada curva cerrada temporal pasa por un horizonte de eventos , lo que podría impedir que un observador detecte la violación causal ^[1](También conocido como violación de cronología ).

Origen del término [ editar ]

En un artículo de 1992, Hawking usa el dispositivo metafórico de una " Agencia de Protección de Cronología " como una personificación de los aspectos de la física que hacen que el viaje en el tiempo sea imposible a escalas macroscópicas, lo que aparentemente previene las paradojas del tiempo . Él dice:

Parece que hay una Agencia de Protección de Cronología que previene la aparición de curvas cerradas de tiempo y por lo tanto hace que el universo sea seguro para los historiadores. ^[3]

La idea de la Agencia de Protección de Cronología parece estar inspirada en el concepto de la Patrulla del Tiempo o la Policía del Tiempo, que se ha utilizado en muchas obras de ciencia ficción ^[4] como la serie de historias de la Patrulla del Tiempo de Poul Anderson o la obra de Isaac Asimov . La novela El fin de la eternidad , o en la serie de televisión Doctor Who . "El caso de protección de la cronología", de Paul Levinson , postula un universo que va tan lejos como para asesinar a cualquier científico que esté cerca de inventar cualquier medio de viaje en el tiempo.

La relatividad general y correcciones cuánticas [ editar ]

Se han sugerido muchos intentos de generar escenarios para curvas de tiempo cerradas, y la teoría de la relatividad general las permite en ciertas circunstancias. Algunas soluciones teóricas en la relatividad general que contienen curvas cerradas en el tiempo requerirían un universo infinito con ciertas características que nuestro universo no parece tener, como la rotación universal de la métrica de Gödel o el cilindro giratorio de longitud infinita conocido como cilindro Tipler . Sin embargo, algunas soluciones permiten la creación de curvas de tiempo cerradas en una región delimitada del espacio-tiempo, siendo el horizonte de Cauchy el límite entre la región del espacio-tiempo.donde pueden existir curvas temporales cerradas y el resto del espacio-tiempo donde no pueden existir. ^[5] Una de las primeras soluciones de viaje en el tiempo delimitada se construyó a partir de un agujero de gusano atravesable , basada en la idea de tomar una de las dos "bocas" del agujero de gusano en un viaje de ida y vuelta a una velocidad relativista para crear una diferencia de tiempo entre esta y la otra boca (consulte la discusión en Wormhole # Time travel ).

La relatividad general no incluye los efectos cuánticos por sí misma, y ​​una integración completa de la relatividad general y la mecánica cuántica requeriría una teoría de la gravedad cuántica , pero existe un método aproximado para modelar campos cuánticos en el espacio-tiempo curvo de la relatividad general, conocido como semiclasico la gravedad . Los intentos iniciales de aplicar la gravedad semiclásica a la máquina de tiempo de agujero de gusano atravesable indicaron que en el momento exacto en que el agujero de gusano primero permitiría curvas de tiempo cerrado, las fluctuaciones de vacío cuántico se acumularán e impulsarán la densidad de energíahasta el infinito en la región de los agujeros de gusano. Esto ocurre cuando las dos bocas de agujero de gusano, llamadas A y B, se han movido de tal manera que es posible que una partícula u onda que se mueve a la velocidad de la luz entre en la boca B en algún momento T ₂ y salga por la boca A en un momento anterior T ₁ , luego viaje de regreso hacia la boca B a través del espacio ordinario, y llegue a la boca B al mismo tiempo que T ₂ que entró en B en el bucle anterior; De esta manera, la misma partícula u onda puede hacer un número potencialmente infinito de bucles a través de las mismas regiones del espacio-tiempo, acumulándose sobre sí misma. ^[6]Los cálculos mostraron que este efecto no se produciría para un haz de radiación normal, ya que el agujero de gusano lo "desenfocaría", de modo que la mayor parte de un rayo que sale de la boca A se extendería y se perdería la boca B. ^[7] Pero cuando el cálculo se hizo para las fluctuaciones de vacío , se encontró que se volverían a enfocar espontáneamente en el viaje entre las bocas, lo que indica que el efecto de acumulación podría ser lo suficientemente grande como para destruir el agujero de gusano en este caso. ^[8]

La incertidumbre sobre esta conclusión se mantuvo, porque los cálculos semiclásicos indicaron que la acumulación solo conduciría la densidad de energía hasta el infinito durante un momento infinitesimal de tiempo, después del cual la densidad de energía disminuiría. ^[9] Pero la gravedad semiclásica se considera poco confiable para grandes densidades de energía o períodos cortos de tiempo que alcanzan la escala de Planck ; a estas escalas, se necesita una teoría completa de la gravedad cuántica para realizar predicciones precisas. Por lo tanto, sigue siendo incierto si los efectos gravitacionales cuánticos podrían evitar que la densidad de energía crezca lo suficiente como para destruir el agujero de gusano. ^[10]Stephen Hawking conjeturó que la acumulación de fluctuaciones en el vacío no solo lograría destruir el agujero de gusano en la gravedad cuántica, sino también que las leyes de la física en última instancia evitarían que se forme cualquier tipo de máquina del tiempo; Esta es la conjetura de la protección de la cronología. ^[11]

Los trabajos posteriores en la gravedad semiclásica proporcionaron ejemplos de tiempos espaciales con curvas cerradas en el tiempo, donde la densidad de energía debida a las fluctuaciones del vacío no se acerca al infinito en la región del espacio-tiempo fuera del horizonte de Cauchy. ^[11] Sin embargo, en 1997 se encontró una prueba general que demostraba que según la gravedad semiclásica, la energía del campo cuántico (más precisamente, el valor de expectativa del tensor de tensión-energía cuántica) siempre debe ser infinita o indefinida en el horizonte sí mismo. ^[12] Ambos casos indican que los métodos semiclásicos se vuelven poco confiables en el horizonte y que los efectos de la gravedad cuántica serían importantes allí, en concordancia con la posibilidad de que tales efectos siempre intervengan para evitar que se formen las máquinas del tiempo.^[11]

Una decisión teórica definida sobre el estado de la conjetura de la protección de la cronología requeriría una teoría completa de la gravedad cuántica ^[13] en lugar de los métodos semiclásicos (también hay algunos argumentos de la teoría de cuerdas que parecen apoyar la protección de la cronología, ^{[14] [15] [16] [17] [18]} pero la teoría de cuerdas aún no es una teoría completa de la gravedad cuántica). La observación experimental de curvas de tiempo cerradas demostraría, por supuesto, que esta conjetura es falsa, pero aparte de eso, si los físicos tuvieran una teoría de la gravedad cuántica cuyas predicciones hubieran sido bien confirmadas en otras áreas, esto les daría un grado significativo de confianza en las predicciones de la teoría sobre la posibilidad o imposibilidad de viajar en el tiempo.

Otras propuestas que permiten viajes en el tiempo hacia atrás pero que evitan las paradojas del tiempo , como el principio de autoconsistencia de Novikov , que garantizaría que la línea de tiempo se mantenga constante, o la idea de que un viajero en el tiempo sea llevado a un universo paralelo mientras que su línea de tiempo original permanece intacta, No calificar como "protección de cronología".