TEORIAS DE LA GRAVITACIÓN

La gravedad de Hořava – Lifshitz (o gravedad de Hořava ) es una teoría de la gravedad cuántica propuesta por Petr Hořava en 2009. ^[1] Resuelve el problema de los diferentes conceptos del tiempo en la teoría cuántica de campos y la relatividad general al tratar el concepto cuántico como el más fundamental. de modo que el espacio y el tiempo no son equivalentes ( anisotrópicos ) a un alto nivel de energía. El concepto relativista del tiempo con su invariancia de Lorentz emerge a grandes distancias. La teoría se basa en la teoría de las foliaciones para producir su estructura causal . Está relacionado con la gravedad topológicamente masiva y laTensor de algodón . Es una posible terminación UV de la relatividad general. Además, la velocidad de la luz va al infinito a altas energías. La novedad de este enfoque, en comparación con los enfoques anteriores de la gravedad cuántica como la gravedad cuántica de bucle , es que utiliza conceptos de la física de la materia condensada , como los fenómenos críticos cuánticos . Se encontró que la formulación inicial de Hořava tenía efectos secundarios, como la predicción de resultados muy diferentes para un Sol esférico en comparación con un Sol ligeramente no esférico, por lo que otros han modificado la teoría. Las inconsistencias permanecen. ^{[2] [3] [4]} Sin embargo, se ha avanzado en la teoría. ^[5]

La condición de balance detallado [ editar ]

Hořava originalmente impuso la teoría para satisfacer la condición de equilibrio detallado que reduce considerablemente el número de términos en la acción.

La teoría de la gravedad de Hoyle-Narlikar ^[1] es una teoría de la gravedad de Machian y conformal propuesta por Fred Hoyle y Jayant Narlikar que originalmente encaja en el modelo de estado casi estable del universo.

Descripción [ editar ]

La constante gravitacional G es arbitraria y está determinada por la densidad media de la materia en el universo. La teoría se inspiró en la teoría del absorbente Wheeler-Feynman para la electrodinámica . ^[3] Cuando Feynman, como estudiante graduado, dio una conferencia sobre la teoría del absorbente Wheeler-Feynman en el seminario semanal de física en Princeton , Albert Einstein estaba entre el público y declaró en la pregunta que estaba tratando de lograr lo mismo por gravedad. ^[4]

Incompatible [ editar ]

Stephen Hawking demostró en 1965 que la teoría es incompatible con un universo en expansión, porque la solución avanzada de Wheeler-Feynman divergiría. ^[5] Sin embargo, en ese momento no se conocía la expansión acelerada del universo , lo que resuelve el problema de la divergencia debido al horizonte de eventos cósmicos . El descubrimiento de la expansión acelerada es bastante reciente y ganó el premio Nobel en 2011. ^[6]

Dos teorías [ editar ]

La teoría de Hoyle-Narlikar se reduce a la relatividad general de Einstein en el límite de un modelo de fluido suave de distribución de partículas y una transformación de coordenadas en el marco restante del fluido para simplificar las ecuaciones de campo . Las dos teorías hacen las mismas predicciones y se ha demostrado que la teoría de Hoyle-Narlikar es correcta de acuerdo con varias pruebas cosmológicas. ^[7]

Hipótesis [ editar ]

A diferencia del modelo cosmológico estándar , la hipótesis de estado casi estable implica que el universo es eterno. Según Narlikar, se producirían múltiples mini bangs en el centro de los quásares , con varios campos de creación (o campo C) generando continuamente materia fuera del espacio vacío debido a la concentración local de energía negativa que también evitaría la violación de las leyes de conservación , en orden para mantener la densidad de masa constante a medida que el universo se expande. ^[8] [9] La radiación de fondo cósmica a baja temperatura no se originaría en el Big Bang sino en el polvo metálico hecho de supernovas, irradiando la energía de las estrellas. ^[10] [11]

Desafío [ editar ]

Sin embargo, la hipótesis del estado casi estable se ve desafiada por la observación, ya que no se ajusta a los datos WMAP . ^[12] Si no se usa el campo C, ignorando la hipótesis con respecto a la creación masiva, la teoría ya no es estable y concuerda con los datos WMAP, tal como se desarrolló en la teoría del absorbedor gravitacional .

La gravedad inducida (o gravedad emergente ) es una idea en gravedad cuántica de que la curvatura espacio-tiempo y su dinámica emergen como una aproximación de campo medio de los grados microscópicos de libertadsubyacentes , similar a la aproximación de la mecánica de fluidos de los condensados de Bose-Einstein . El concepto fue propuesto originalmente por Andrei Sakharov en 1967.

Descripción general [ editar ]

Sakharov observó que muchos sistemas de materia condensada dan lugar a fenómenos emergentes que son análogos a la relatividad general . Por ejemplo, los defectos de los cristales pueden parecer curvatura y torsiónen un espacio-tiempo Einstein-Cartan . Esto permite crear una teoría de la gravedad con torsión a partir de un modelo mundial de cristal del espacio-tiempo ^[1] en el que el espaciado de la red es del orden de una longitud de Planck . La idea de Sakharov era comenzar con un fondo arbitrario pseudo-Riemannian múltiple(En los tratamientos modernos, posiblemente con torsión) e introduzca campos cuánticos (materia) en él, pero no introduzca explícitamente ninguna dinámica gravitacional. Esto da lugar a una acción efectiva que, en un orden de un bucle, contiene la acción de Einstein-Hilbert con una constante cosmológica . En otras palabras, la relatividad general surge como una propiedad emergente de los campos de materia y no se pone a mano. Por otro lado, estos modelos suelen predecir enormes constantes cosmológicas .

Algunos sostienen que el teorema de Weinberg-Witten ha demostrado que los modelos particulares propuestos por Sakharov y otros son imposibles . Sin embargo, los modelos con gravedad emergente son posibles siempre que otras cosas, como las dimensiones del espacio-tiempo, emerjan juntas con la gravedad. Los desarrollos en la correspondencia AdS / CFT después de 1997 sugieren que los grados de libertad microfísicos en la gravedad inducida podrían ser radicalmente diferentes. El gran espacio-tiempo surge como un fenómeno emergente de los grados cuánticos de libertad que se enredan y viven en el límite del espacio-tiempo. De acuerdo con algunos investigadores prominentes en la gravedad emergente (como Mark Van Raamsdonk ), el espacio-tiempo se basa en el enredo cuántico. ^[2]Esto implica que el entrelazamiento cuántico es la propiedad fundamental que da lugar al espacio-tiempo. En 1995, Jacobson ^[3] mostró que las ecuaciones de campo de Einstein se pueden derivar de la primera ley de la termodinámica aplicada en los horizontes locales de Rindler. Thanu Padmanabhan ^[4] y Erik Verlinde ^[5] exploran los vínculos entre la gravedad y la entropía . La ecuación de Einstein para la gravedad puede surgir de la primera ley de entrelazamiento.

teoría de Kaluza-Klein ( teoría de KK ) es una teoría de campo unificada clásica de la gravitación y el electromagnetismo, construida en torno a la idea de una quinta dimensión más allá de las cuatro habituales del espacio y el tiempo y considerada un precursor importante de la teoría de cuerdas .

La teoría de las cinco dimensiones se desarrolló en tres pasos. La hipótesis original provino de Theodor Kaluza , quien envió sus resultados a Einstein en 1919, ^[1] y los publicó en 1921, ^[2] que detallaban una extensión puramente clásica de la relatividad general a cinco dimensiones e incluye 15 componentes. Diez componentes se identifican con la métrica del espacio-tiempo de cuatro dimensiones, cuatro componentes con el potencial del vector electromagnético y un componente con un campo escalar no identificado a veces llamado " radión " o el "dilaton". En consecuencia, las ecuaciones de Einstein en cinco dimensiones producen las ecuaciones de campo de Einstein en cuatro dimensiones , laEcuaciones de Maxwellpara el campo electromagnético , y una ecuación para el campo escalar. Kaluza también introdujo la hipótesis de la "condición del cilindro", que ningún componente de la métrica de cinco dimensiones depende de la quinta dimensión. Sin este supuesto, las ecuaciones de campo de la relatividad de cinco dimensiones crecen enormemente en complejidad. ^{[ aclaración necesaria ]} La física cuatridimensional estándar parece manifestar la condición del cilindro.

En 1926, Oskar Klein le dio a la teoría clásica de cinco dimensiones de Kaluza una interpretación cuántica, ^[3] [4] de acuerdo con los recientes descubrimientos de Heisenberg y Schrödinger. Klein introdujo la hipótesis de que la quinta dimensión estaba curvada y microscópica, para explicar la condición del cilindro. Klein sugirió que la geometría de la quinta dimensión adicional podría tomar la forma de un círculo, con el radio de10 ⁻³⁰  cm . ^[5] Klein también calculó una escala para la quinta dimensión basada en la cantidad de carga. ^{[ aclaración necesaria ]}

En la década de 1940, se completó la teoría clásica, y las ecuaciones de campo completas, incluido el campo escalar, fueron obtenidas por tres grupos de investigación independientes: ^[6] Thiry, ^{[7] [8] [9]} trabajando en Francia en su disertación bajo Lichnerowicz; Jordan, Ludwig y Müller en Alemania, ^{[10] [11] [12] [13] [14]} con aportaciones críticas de Pauli y Fierz; y Scherrer ^{[15] [16] [17]} trabajando solos en Suiza. El trabajo de Jordan llevó a la teoría escalar-tensorial de Brans-Dicke ; ^[18]Brans y Dicke aparentemente ignoraban a Thiry o Scherrer. Las ecuaciones completas de Kaluza bajo la condición del cilindro son bastante complejas, y la mayoría de las revisiones en inglés, así como las traducciones de Thiry en inglés, contienen algunos errores. Las ecuaciones de Kaluza completas se evaluaron ^{[ aclaración necesaria ]} utilizando un software de álgebra tensorial en 2015. 

Más allá del modelo estándar
Datos simulados del detector de partículas CMS del Gran Colisionador de Hadrones que muestran un bosón de Higgs producido por protones en colisión que se descomponen en chorros de hadrones y electrones

Kaluza hipótesis [ editar ]

En su artículo de 1921, ^[2] Kaluza estableció todos los elementos de la teoría clásica de cinco dimensiones: la métrica, las ecuaciones de campo, las ecuaciones de movimiento, el tensor de tensión-energía y la condición del cilindro. Sin parámetros libres , simplemente extiende la relatividad general a cinco dimensiones. Uno comienza con la hipótesis de una forma de la métrica de cinco dimensiones.$${\ displaystyle {\ widetilde {g}} _ {ab}}, donde los índices latinos abarcan cinco dimensiones. Vamos a introducir también la métrica espaciotemporal cuatridimensional.$${\ displaystyle {g} _ {\ mu \ nu}}, donde los índices griegos abarcan las cuatro dimensiones habituales del espacio y el tiempo; un 4-vector$${\ displaystyle A ^ {\ mu}}identificado con el potencial vector electromagnético; y un campo escalar$${\ displaystyle \ phi}. Luego descomponga la métrica 5D para que la métrica 4D esté enmarcada por el potencial vectorial electromagnético, con el campo escalar en la quinta diagonal. Esto se puede visualizar como:

{\ displaystyle {\ widetilde {g}} _ {ab} \ equiv {\ begin {bmatrix} g _ {\ mu \ nu} + \ phi ^ {2} A _ {\ mu} A _ {\ nu} & \ phi ^ {2} A _ {\ mu} \\\ phi ^ {2} A _ {\ nu} & \ phi ^ {2} \ end {bmatrix}}}.

Uno puede escribir más precisamente

$${\ displaystyle {\ widetilde {g}} _ {\ mu \ nu} \ equivg _ {\ mu \ nu} + \ phi ^ {2} A _ {\ mu} A _ {\ nu}, \ qquad {\ widetilde { g}} _ {5 \ nu} \ equiv {\ widetilde {g}} _ {\ nu 5} \ equiv \ phi ^ {2} A _ {\ nu}, \ qquad {\ widetilde {g}} _ {55 } \ equiv \ phi ^ {2}}

donde el índice $${\ displaystyle 5} indica la quinta coordenada por convención, aunque las primeras cuatro coordenadas están indexadas con 0, 1, 2 y 3. La métrica inversa asociada es

{\ displaystyle {\ widetilde {g}} ^ {ab} \ equiv {\ begin {bmatrix} g ^ {\ mu \ nu} & - A ^ {\ mu} \\ - A ^ {\ nu} & g _ {\ alpha \ beta} A ^ {\ alpha} A ^ {\ beta} + {1 \ over \ phi ^ {2}} \ end {bmatrix}}}.

Esta descomposición es bastante general y todos los términos adimensionales. Kaluza aplica entonces la maquinaria de la relatividad general estándar a esta métrica. Las ecuaciones de campo se obtienen de las ecuaciones de Einstein en cinco dimensiones , y las ecuaciones de movimiento de la hipótesis geodésica en cinco dimensiones. Las ecuaciones de campo resultantes proporcionan las ecuaciones de la relatividad general y de la electrodinámica; Las ecuaciones de movimiento proporcionan la ecuación geodésica de cuatro dimensiones y la ley de fuerza de Lorentz , y se encuentra que la carga eléctrica se identifica con el movimiento en la quinta dimensión.

La hipótesis para la métrica implica un elemento invariante de longitud de cinco dimensiones. $${\ displaystyle \ operatorname {d} \! s}:

$${\ displaystyle \ operatorname {d} \! s ^ {2} \ equiv {\ widetilde {g}} _ {ab} \ operatorname {d} \! x ^ {a} \ operatorname {d} \! x ^ { b} = g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} \ operatorname {d} \! x ^ {\ nu} + \ phi ^ {2} (A _ {\ nu} \ operatorname {d} \! x ^ {\ nu} + \ operatorname {d} \! x ^ {5}) ^ {2}}

Ecuaciones de campo de la hipótesis de Kaluza [ editar ]

Las ecuaciones de campo de la teoría de 5 dimensiones nunca fueron proporcionadas adecuadamente por Kaluza o Klein, principalmente con respecto al campo escalar. Las ecuaciones de campo de Kaluza completas generalmente se atribuyen a Thiry, ^[8] que obtuvo las ecuaciones de campo de vacío, aunque Kaluza ^[2]originalmente proporcionó un tensor de tensión-energía para su teoría y Thiry incluyó un tensor de tensión-energía en su tesis. Pero según lo descrito por Gonner, ^[6] varios grupos independientes trabajaron en las ecuaciones de campo en la década de 1940 y anteriores. Thiry es quizás más conocido solo porque Applequist, Chodos y Freund proporcionaron una traducción al inglés en su libro de revisión. ^[20]Applequist et al. También proporcionó una traducción al inglés del documento de Kaluza. No hay traducciones al inglés de los papeles de Jordan. ^{[10] [11] [13]}

Para obtener las ecuaciones de campo 5D, las conexiones 5D $${\ displaystyle {\ widetilde {\ Gamma}} _ {bc} ^ {a}} se calculan a partir de la métrica 5D $${\ displaystyle {\ widetilde {g}} _ {ab}}, y el tensor Ricci 5D $${\ displaystyle {\ widetilde {R}} _ {ab}} Se calcula a partir de las conexiones 5D.

Los resultados clásicos de Thiry y otros autores suponen la condición del cilindro:

$${\ displaystyle {\ partial {\ widetilde {g}} _ {ab} \ over \ partial x ^ {5}} = 0}.

Sin este supuesto, las ecuaciones de campo se vuelven mucho más complejas, proporcionando muchos más grados de libertad que pueden identificarse con varios campos nuevos. Paul Wesson y sus colegas han buscado la relajación de la condición del cilindro para obtener términos adicionales que pueden identificarse con los campos de materia, ^[21] para los cuales Kaluza ^[2] insertó un tensor de tensión-energía a mano.

Ha sido una objeción a la hipótesis original de Kaluza invocar la quinta dimensión solo para negar su dinámica. Pero Thiry argumentó ^[6] que la interpretación de la ley de fuerza de Lorentz en términos de una geodésica de 5 dimensiones milita fuertemente para una quinta dimensión independientemente de la condición del cilindro. Por lo tanto, la mayoría de los autores han empleado la condición del cilindro para derivar las ecuaciones de campo. Además, se asumen típicamente las ecuaciones de vacío para las cuales

$${\ displaystyle {\ widetilde {R}} _ {ab} = 0}

dónde

$${\ displaystyle {\ widetilde {R}} _ {ab} \ equiv \ partial _ {c} {\ widetilde {\ Gamma}} _ {ab} ^ {c} - \ partial _ {b} {\ widetilde {\ Gamma}} _ {ca} ^ {c} + {\ widetilde {\ Gamma}} _ {cd} ^ {c} {\ widetilde {\ Gamma}} _ {ab} ^ {d} - {\ widetilde {\ Gamma}} _ {bd} ^ {c} {\ widetilde {\ Gamma}} _ {ac} ^ {d}}

y

$${\ displaystyle {\ widetilde {\ Gamma}} _ {bc} ^ {a} \ equiv {1 \ sobre 2} {\ widetilde {g}} ^ {anuncio} (\ partial _ {b} {\ widetilde {g }} _ {dc} + \ partial _ {c} {\ widetilde {g}} _ {db} - \ partial _ {d} {\ widetilde {g}} _ {bc})}

Las ecuaciones de campo de vacío obtenidas de este modo por Thiry ^[8] y el grupo de Jordan ^{[10] [11] [13]} son las siguientes.

La ecuación de campo para $${\ displaystyle \ phi} se obtiene de

$${\ displaystyle {\ widetilde {R}} _ {55} = 0 \ Rightarrow \ Box \ phi = {1 \ sobre 4} \ phi ^ {3} F ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ alpha \ beta} }

dónde $${\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta} \ equiv \ partial _ {\ alpha} A _ {\ beta} - \ partial _ {\ beta} A _ {\ alpha}}, dónde $${\ displaystyle \ Box \ equiv g ^ {\ mu \ nu} \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu}}, y donde $${\ displaystyle \ nabla _ {\ mu}}Es un derivado covariante 4D estándar. Muestra que el campo electromagnético es una fuente para el campo escalar. Tenga en cuenta que el campo escalar no se puede establecer en una constante sin restringir el campo electromagnético. Los tratamientos anteriores de Kaluza y Klein no tenían una descripción adecuada del campo escalar, y no se dieron cuenta de la restricción implícita en el campo electromagnético al suponer que el campo escalar es constante.

La ecuación de campo para $${\ displaystyle A ^ {\ nu}} se obtiene de

$${\ displaystyle {\ widetilde {R}} _ {5 \ alpha} = 0 = {1 \ sobre 2} g ^ {\ beta \ mu} \ nabla _ {\ mu} (\ phi ^ {3} F _ {\ Alfa Beta })}

Tiene la forma de las ecuaciones de Maxwell de vacío si el campo escalar es constante.

La ecuación de campo para el tensor 4D Ricci. $${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu}} se obtiene de

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ widetilde {R}} _ {\ mu \ nu} - {1 \ sobre 2} {\ widetilde {g}} _ {\ mu \ nu} {\ widetilde {R} } & = 0 \ Rightarrow \\ R _ {\ mu \ nu} - {1 \ over 2} g _ {\ mu \ nu} R & = {1 \ over 2} \ phi ^ {2} \ left (g ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ mu \ alpha} F _ {\ nu \ beta} - {1 \ sobre 4} g _ {\ mu \ nu} F _ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta} \ derecha) + {1 \ sobre \ phi} \ left (\ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ phi -g _ {\ mu \ nu} \ Box \ phi \ right) \ end {alineado}}}

dónde $${\ displaystyle R} Es el estándar 4D Ricci escalar.

Esta ecuación muestra el resultado notable, llamado "milagro de Kaluza", de que la forma precisa del tensor electromagnético de tensión-energía surge de las ecuaciones de vacío 5D como fuente en las ecuaciones 4D: campo del vacío. Esta relación permite la identificación definitiva de$${\ displaystyle A ^ {\ mu}}Con el potencial electromagnético vectorial. Por lo tanto, el campo debe ser reescalado con una constante de conversión$${\ displaystyle k} tal que $${\ displaystyle A ^ {\ mu} \ rightarrow kA ^ {\ mu}}.

La relación anterior muestra que debemos tener

$${\ displaystyle {k ^ {2} \ sobre 2} = {8 \ pi G \ sobre c ^ {4}} {1 \ sobre \ mu _ {0}} = {2G \ sobre c ^ {2}} { 4 \ pi \ epsilon _ {0}}}

dónde $${\ displaystyle G}es la constante gravitacional y$${\ displaystyle \ mu _ {0}}Es la permeabilidad del espacio libre . En la teoría de Kaluza, la constante gravitatoria puede entenderse como una constante de acoplamiento electromagnético en la métrica. También hay un tensor de tensión-energía para el campo escalar. El campo escalar se comporta como una constante gravitacional variable, en términos de modular el acoplamiento de la energía de tensión electromagnética a la curvatura del espacio-tiempo. El signo de$${\ displaystyle \ phi ^ {2}}en la métrica se fija por correspondencia con la teoría 4D para que las densidades de energía electromagnética sean positivas. Esto implica que la quinta coordenada es similar a un espacio en su firma en la métrica.

En presencia de materia, la condición de vacío 5D no puede ser asumida. De hecho, Kaluza no lo asumió. Las ecuaciones de campo completas requieren la evaluación del tensor 5D Einstein

$${\ displaystyle {\ widetilde {G}} _ {ab} \ equiv {\ widetilde {R}} _ {ab} - {1 \ sobre 2} {\ widetilde {g}} _ {ab} {\ widetilde {R }}}

como se ve en la recuperación del estrés electromagnético-tensor de energía anterior. Los tensores de curvatura 5D son complejos, y la mayoría de las revisiones en inglés contienen errores en ambos$${\ displaystyle {\ widetilde {G}} _ {ab}} o $${\ displaystyle {\ widetilde {R}} _ {ab}}, al igual que la traducción al inglés de. ^[8] Ver ^[19] para un conjunto completo de tensores de curvatura 5D bajo la condición del cilindro, evaluado usando el software de álgebra tensorial.

Ecuaciones de movimiento a partir de la hipótesis de Kaluza [ editar ]

Las ecuaciones de movimiento se obtienen de la hipótesis geodésica de cinco dimensiones ^[2] en términos de una velocidad de 5$${\ displaystyle {\ widetilde {U}} ^ {a} \ equiv dx ^ {a} / ds}:

$${\ displaystyle {\ widetilde {U}} ^ {b} {\ widetilde {\ nabla}} _ {b} {\ widetilde {U}} ^ {a} = {d {\ widetilde {U}} ^ {a } \ over ds} + {\ widetilde {\ Gamma}} _ {bc} ^ {a} {\ widetilde {U}} ^ {b} {\ widetilde {U}} ^ {c} = 0}

Esta ecuación se puede reformular de varias maneras, y ha sido estudiada en varias formas por autores como Kaluza, ^[2] Pauli, ^[22] Gross & Perry, ^[23] Gegenberg & Kunstatter, ^[24] y Wesson & Ponce de Leon , ^[25] pero es instructivo volver a convertirlo en el elemento de longitud tridimensional habitual$${\ displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} \ equivg _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu}}, que está relacionado con el elemento de longitud 5-dimensional $${\ displaystyle ds} como se indicó anteriormente:

$${\ displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} d \ tau ^ {2} + \ phi ^ {2} (kA _ {\ nu} dx ^ {\ nu} + dx ^ {5}) ^ {2 }}

Luego se puede escribir la ecuación geodésica 5D ^[26] para los componentes de espacio-tiempo de 4velocity,$${\ displaystyle U ^ {\ nu} \ equiv dx ^ {\ nu} / d \ tau}:

$${\ displaystyle {dU ^ {\ nu} \ over d \ tau} + {\ widetilde {\ Gamma}} _ {\ alpha \ beta} ^ {\ mu} U ^ {\ alpha} U ^ {\ beta} + 2 {\ widetilde {\ Gamma}} _ {5 \ alpha} ^ {\ mu} U ^ {\ alpha} U ^ {5} + {\ widetilde {\ Gamma}} _ {55} ^ {\ mu} ( U ^ {5}) ^ {2} + U ^ {\ mu} {d \ over d \ tau} \ ln \ left ({cd \ tau \ over ds} \ right) = 0}

El término cuadrático en $${\ displaystyle U ^ {\ nu}}proporciona la ecuación geodésica 4D más algunos términos electromagnéticos:

$${\ displaystyle {\ widetilde {\ Gamma}} _ {\ alpha \ beta} ^ {\ mu} = \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ mu} + {1 \ sobre 2} g ^ {\ mu \ nu} k ^ {2} \ phi ^ {2} (A _ {\ alpha} F _ {\ beta \ nu} + A _ {\ beta} F _ {\ alpha \ nu} -A _ {\ alpha} A _ {\ beta } \ parcial _ {\ nu} \ ln \ phi ^ {2})}

El término lineal en $${\ displaystyle U ^ {\ nu}}establece la ley de fuerza de Lorentz :

$${\ displaystyle {\ widetilde {\ Gamma}} _ {5 \ alpha} ^ {\ mu} = {1 \ sobre 2} g ^ {\ mu \ nu} k \ phi ^ {2} (F _ {\ alpha \ nu} -A _ {\ alpha} \ partial _ {\ nu} \ ln \ phi ^ {2})}

Esta es otra expresión del "milagro de Kaluza". La misma hipótesis para la métrica 5D que proporciona tensión electromagnética-energía en las ecuaciones de Einstein, también proporciona la ley de fuerza de Lorentz en la ecuación de movimientos junto con la ecuación geodésica 4D. Sin embargo, la correspondencia con la ley de fuerza de Lorentz requiere que identifiquemos el componente de 5 velocidades a lo largo de la 5ta dimensión con carga eléctrica:

$${\ displaystyle kU ^ {5} = k {dx ^ {5} \ over d \ tau} \ rightarrow {q \ over mc}}

dónde $${\ displaystyle m} es masa de partículas y $${\ displaystyle q}Es partícula de carga eléctrica. Así, la carga eléctrica se entiende como movimiento a lo largo de la 5ta dimensión. El hecho de que la ley de fuerza de Lorentz pudiera entenderse como una geodésica en 5 dimensiones fue para Kaluza una motivación primordial para considerar la hipótesis de 5 dimensiones, incluso en presencia de la condición del cilindro estéticamente desagradable.

Sin embargo, hay un problema: el término cuadrático en $${\ displaystyle U ^ {5}}

$${\ displaystyle {\ widetilde {\ Gamma}} _ {55} ^ {\ mu} = - {1 \ sobre 2} g ^ {\ mu \ alpha} \ parcial _ {\ alpha} \ phi ^ {2}}

Si no hay gradiente en el campo escalar, el término cuadrático en $${\ displaystyle U ^ {5}}desaparece Pero por lo demás la expresión de arriba implica.

$${\ displaystyle U ^ {5} \ sim c {q / m \ sobre G ^ {1/2}}}

Para partículas elementales, {\ displaystyle U ^ {5}> {\ rm {10}} ^ {20} c}. El término cuadrático en$${\ displaystyle U ^ {5}}Debería dominar la ecuación, tal vez en contradicción con la experiencia. Este fue el principal defecto de la teoría de las 5 dimensiones tal como Kaluza lo vio, ^[2] y lo analiza en su artículo original.

La ecuación de movimiento para $${\ displaystyle U ^ {5}}Es particularmente simple bajo la condición del cilindro. Comience con la forma alternativa de la ecuación geodésica, escrita para la covariante de 5 velocidades:

$${\ displaystyle {d {\ widetilde {U}} _ {a} \ over ds} = {1 \ over 2} {\ widetilde {U}} ^ {b} {\ widetilde {U}} ^ {c} { \ partial {\ widetilde {g}} _ {bc} \ over \ partial x ^ {a}}}

Esto significa que bajo la condición del cilindro, $${\ displaystyle {\ widetilde {U}} _ {5}} Es una constante del movimiento 5-dimensional:

$${\ displaystyle {\ widetilde {U}} _ {5} = {\ widetilde {g}} _ {5a} {\ widetilde {U}} ^ {a} = \ phi ^ {2} {cd \ tau \ over ds} (kA _ {\ nu} U ^ {\ nu} + U ^ {5}) = {\ rm {constante}}}

La hipótesis de Kaluza para el estrés de la materia - tensor de energía [ editar ]

Kaluza ^[2] propuso un tensor de tensión de materia 5D$${\ displaystyle {\ widetilde {T}} _ {M} ^ {ab}} de la forma

$${\ displaystyle {\ widetilde {T}} _ {M} ^ {ab} = \ rho {dx ^ {a} \ over ds} {dx ^ {b} \ over ds}}

dónde $${\ displaystyle \ rho} Es un elemento de densidad y longitud. $${\ displaystyle ds} es como se define arriba.

Luego, el componente espacio-tiempo proporciona un tensor de energía de tensión típico de "polvo"

$${\ displaystyle {\ widetilde {T}} _ {M} ^ {\ mu \ nu} = \ rho {dx ^ {\ mu} \ over ds} {dx ^ {\ nu} \ over ds}}

El componente mixto proporciona una fuente de 4 corrientes para las ecuaciones de Maxwell:

$${\ displaystyle {\ widetilde {T}} _ {M} ^ {5 \ mu} = \ rho {dx ^ {\ mu} \ over ds} {dx ^ {5} \ over ds} = \ rho U ^ { \ mu} {q \ sobre kmc}}

Al igual que la métrica de cinco dimensiones comprende la métrica de 4-D enmarcada por el potencial del vector electromagnético, el tensor de tensión-energía de 5-dimensiones comprende el tensor de tensión-energía de 4-D enmarcado por el vector de 4 corrientes.