martes, 30 de junio de 2015

Trigonometría

Funciones trigonométricas

En trigonometría, la secante hiperbólica de un número realx, es una función hiperbólica definida como la inversa delcoseno hiperbólico. Se simboliza sech(x) y matemáticamente se sintetiza:
\operatorname{sech}\;x = \frac{1}{\operatorname{cosh}\;x} = \frac{2}{e^x + e^{-x}}
Gráfica de la función secante hiperbólica.

El dominio de la función está definido de -\infty a +\infty y su codominio queda en el intervalo (0,1]. La función presenta una asíntota horizontal en y=0.
Toma el nombre de hiperbólica por la oportunidad de poder utilizar u = acosht, v =bsenht, siendo t un número real, como ecuaciones paramétricas de una rama de la hipérbola de ecuación:1
\frac{u^2}{a^2} - \frac{v^2}{b^2} = 1





En matemáticas el seno es una función continua y 2 \pi  periódica es unafunción trascendente, su nombre se abrevia por sen.1 2 3
 \sen \; x=-\sen (-x)
 \sen \; x=-\sen (x + \pi)
Representación gráfica.
En trigonometría, el seno de un ángulo \alpha\, en un triángulo rectángulo de ángulo \alpha\, se define como la razón entre el catetoopuesto al ángulo y la hipotenusa:
 \sen \alpha=\frac{a}{c}
O también como la ordenada correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitariacentrada en el origen (c=1):
 \sen \alpha=a \,

Seno
Sine.svg
Gráfica de Seno
Definiciónsen x
Dominio \mathbb{R}
Imagen[-1,1]
Cálculo infinitesimal
Derivadacos x
Función primitiva-cos x
Función inversaasen x
El astrónomo y matemático hindú Aria Bhatta (476550 d. C.) estudió el concepto de «seno» con el nombre de ardhá-jya,4 siendo ardhá:‘mitad, medio’, y jya: ‘cuerda’). Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al árabe, se referían a este término sánscrito como jiba . Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado jb. Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que jb era la abreviatura de jiab (que quiere decir ‘bahía’).
A finales del siglo XII, el traductor italiano Gherardo de Cremona (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latín reemplazó el insensato jiab por su contraparte latina sinus (‘hueco, cavidad, bahía’). Luego, ese sinus se convirtió en el español «seno».5
Según otra explicación,[cita requerida] la cuerda de un círculo, se denomina en latín inscripta corda o simplemente inscripta. La mitad de dicha cuerda se llama semis inscríptae. Su abreviatura era s. ins., que terminó simplificada como sins. Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominó sinus.

Relaciones trigonométricas

El seno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas.
[Expandir] \sen \; \alpha=\;\;\;\sen \; ( \alpha + k 2 \pi ) ,\;\; k \in \mathbb{Z}

Relación entre el seno y el coseno

La curva del coseno es la curva del seno desplazada \frac{\pi}{2} a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:
 \sen \alpha=\cos\left(\alpha- \frac{\pi}{2}\right)

Seno de la suma de dos ángulos

[Expandir]\sen\left(\alpha +\beta\right)=\sen\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sen\beta
\sen\left(\alpha -\beta\right)=\sen\alpha\cos\beta -\cos\alpha\sen\beta

Seno del ángulo doble[editar]

[Expandir]\sen\left(2\alpha\right)=2\sen\alpha\cos\alpha

Seno del ángulo mitad[editar]

[Expandir]\sen \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\begin{cases} \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} & \text{ si } \frac{\alpha}{2} \in [2k\pi,(2k+1)\pi) \\ -\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} & \text{ si } \frac{\alpha}{2} \in [(2k+1)\pi,2(k+1)\pi) \end{cases}\;, \;\;para\;k\in \mathbb{Z}

Suma de funciones como producto

\sen a+ \sen b = 2 \sen\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)
\sen a- \sen b = 2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \sen\left( \frac{a - b}{2} \right)

Producto de funciones como suma[editar]


   \sen(A)
   \sen(B) =
   \sen^2 \left( \frac{A-B}{2} \right)
   - \;\sen^2 \left( \frac{A+B}{2} \right) =
   \cos^2 \left( \frac{A+B}{2} \right)
   - \;\cos^2 \left( \frac{A-B}{2} \right)

   \sen(A)
    \sen(B) =
   \frac12
   \left( \cos(A+B)- \cos(A-B) \right)

Seno en análisis matemático

Definición[editar]

La función seno puede definirse mediante la ecuación diferencial:
 x'=y
 y'=-x
si la condición inicial es (0,1) entonces su solución es x=\sen(t) e y=\cos(t).

Derivada del seno[editar]

\sen'x=\cos x\,
  • Observación: \sen'x=\sen(x+\frac{\pi}{2}).

Como serie de Taylor[editar]

El seno como Serie de Taylor en torno a a = 0 es:

   \sen x = x
   - \frac{x^3}{3!}
   + \frac{x^5}{5!}
   - \frac{x^7}{7!}
   + \cdots
  + (-1)^n \; \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

   \sen x =
   \sum^{\infin}_{n=0} \; (-1)^n \; \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

Con números complejos[editar]

También se puede definir de la forma:
 {\sen}\ z=\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}
Donde e es la base del logaritmo natural, e i es la unidad de los números imaginarios.

El seno en programación

Gran parte de los lenguajes de programación tienen la función seno en sus librerías, en caso de necesitar el seno de unos cuantos valores enteros es normal recurrir a vectores, eliminando así las llamadas a funciones frecuentemente lentas como el seno. Hay lenguajes en los que el ángulo recibido por la función es convertido a radianes.
Algunas calculadoras aceptan el valor en grado sexagesimal, centesimales o radianes, es una opción activable mediante el teclado:
Ejemplos:
Seno de 45 grados = 0,7071
Seno de 45 radianes = 0,8509.
Obsérvese que la diferencia entre ambos valores resultantes podría pasar desapercibida. Es necesario, entonces, pasar los grados a radianes o viceversa. Nótese que el símbolo π es el número Pi. Ejemplo de conversiones:
Rad = Deg * π/180
Deg = Rad * 180/π.
La comprobación del modo en curso de una calculadora se hace con valores conocidos: \pi y 90º:
\sen \pi = 0 en caso del modo de radianes activo.
\sen 90 = 1 en caso del modo de grados sexagesimales activo.

Representación gráfica

Grafico seno.gif
Función Trigonométrica R100.svg



opuesto al ángulo y la hipotenusa.
gráfica
Se denota por sen B.
razones

El seno de un ángulo en una circunferencia goniométrica es igual a la ordenada.
dibujo
razones

Signo del seno

gráfica

Valores del seno de algunos ángulos

tabla de senos

Relación entre el seno y el coseno

cos² α + sen² α = 1

Ejemplo

Sabiendo que sen α = 3/5, y que  90º <α <180 calcular="" coseno="" de="" el="" p="">
Razones

Seno del ángulo complementario

Razones
Razones

Seno del ángulo suplementario

Razones
razones

Seno de ángulos que se diferencian en 180°

razones
razones

Seno del ángulo opuesto

Razones
razones

Seno del ángulo negativo

Razones
Razones

Seno de un ángulo mayor de 360º

Razones
Razones
Razones

Seno de ángulos que diferencian en 90º

Razones
razones

Seno de ángulos que suman en 270º

Razones
razones

Seno de ángulos que se diferencian en 270º

Razones
Razones

Seno de una suma

Suma y diferencia de ángulos
razones
razones

Seno de una diferencia

Suma y diferencia de ángulos
razones
razones

Seno del ángulo doble

Ángulo doble
120º

Seno del ángulo mitad

Ángulo mitad
22º 30'

Transformación de una suma de senos en producto

Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de sumas en productos

Transformación de una diferencia de senos en producto

Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de sumas en productos

Transformación de un producto de senos en sumas

Transformaciones
Transformaciones

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