AMIGOS PARA SIEMPRE: Trigonometría

lunes, 29 de junio de 2015

Trigonometría

Funciones trigonométricas

arcocoseno está definido como la función recíproca del cosenode un ángulo. Si tenemos:

\arccos \alpha\,

, su significado geométrico es el arco cuyocoseno es alfa.

La función coseno no es biyectiva, por lo que no tiene recíproca. Es posible aplicarle una restricción del dominio de modo que se vuelva inyectiva y sobreyectiva. Por convención es preferible restringir el dominio del la función coseno al intervalo

\left[-1, 1\right]

.La notación matemática del arcocoseno es arccos; es común la escritura ambiguacos^-1. En diversos lenguajes de programación se suele utilizar la forma ACOS y ACS.

El arcocoseno de una función continua es estrictamente decreciente, definida por todo el valor del intervalo

\left[-1, 1\right]

\begin{array}{lccl} \arccos: & [-1, 1] & \rightarrow & [0, \pi] \\ & x & \rightarrow & y = \arccos(x) \end{array}

Su gráfico es simétrico respecto al punto

\left(0,\frac\pi 2\right)

, siendo:

\arccos x = \pi - \arccos(-x)

La derivada del la función arcocoseno es

\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Por medio del la guía descrita simétrica vale la relación por argumentos negativos:

\arccos\left(-x\right) = \pi-\arccos x

Es posible combinar la suma o diferencia de arcocoseno en una expresión donde el arcocoseno figura una rotación:

\arccos x_1+\arccos x_2 = \begin{cases} \arccos\left(x_1x_2-\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right) & x_1+x_2\ge0 \\ 2\pi-\arccos\left(x_1x_2-\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right) & x_1+x_2 < 0 \end{cases}

\arccos x_1-\arccos x_2 = \begin{cases} -\arccos\left(x_1x_2+\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right) & x_1\ge x_2 \\ \arccos\left(x_1x_2+\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right) & x_1<x_2 \end{cases}

El desarrollo en serie de potencias del arcocoseno viene dado por:

\frac{\pi}{2}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} = \frac{\pi}{2}-x-\frac{1}{6}x^3+...

Nótese que este desarrollo solo es válido cuando se expresa el ángulo en radianes.

En un triángulo rectángulo, el arcocoseno equivale a la expresión en radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre sucateto adyacente y la hipotenusa.

Función arcocoseno
Gráfica de Función arcocoseno
Definición	$\textstyle f \mbox{ tal que } f(\cos(x))=x \,$
Tipo	Trigonométrica inversa
Dominio	$\textstyle [-1,1]$
Codominio	$\textstyle [0,\pi]$
Imagen	$\textstyle [0,\pi]$
Propiedades	Estrictamente decreciente Biyectiva en su dominio
Cálculo infinitesimal
Derivada	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
Función inversa	$\textstyle \cos(x) \quad x \in [0,\pi]$
Funciones relacionadas	arcoseno arcotangente

El arcocoseno es la función inversa del coseno. Es decir:

Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:

Su abreviatura es arccos o cos^-1.

Características del arcocoseno

Dominio (x):
Codominio (α):
Para poder definir la función inversa de una función, necesariamente debe ser biyectiva. La función cosenono es inyectiva en el conjunto de los reales. Por convención, se restringe el codominio al intervalo [0,π] para que la función coseno sea biyectiva.
La función es continua y decreciente en todo el dominio.
Derivada de la función arcocoseno:
Integral de la función arcocoseno:

Arcocoseno de valores característicos

El arcocoseno de los valores más característicos es:

Tabla del arcocoseno de los valores más característicos (-1,-raiz(2)/2,-1/2,0,1/2,raiz(2)/2,1).

Representación gráfica de la función arcocoseno

La gráfica de la función arcocoseno es simétrica a la de la función coseno respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante (y=x).

Gráfica de las funciones del coseno y arcocoseno, siendo simétricas respecto la recta y=x.

El arcocoseno es la función inversa o reciproca del coseno.

y = arccos x x = cos y

y es el arco cuyo coseno es el número x.

Como el arcocoseno y el coseno son funciones inversas, su composición es la función identidad.

arccos (cos x) = x.

El arcocoseno también se puede expresar como: cos^-1.

Función arcocoseno

f(x) = arccosen x

Dominio: [-1, 1]

Recorrido:

Continua: (-1, 1)

Decreciente: (-1, 1)

La derivada del arcocoseno de una función es igual a menos la derivada de la función dividida por la raíz cuadrada de uno menos el cuadrado de la función.