martes, 30 de junio de 2015

Trigonometría

En trigonometría, la cotangente hiperbólica de un número real x, es una función hiperbólica definida como la inversa de la tangente hiperbólica. Se simboliza coth(x) o cotgh(x) y matemáticamente se sintetiza:
\operatorname{coth}(x) = \frac{\operatorname{cosh}(x)}{\operatorname{senh}(x)} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}

Gráfica de la función cotangente hiperbólica.

El dominio de la función está definido para (-\infty,0) y (0,+\infty) y su codominioqueda definido para el intervalo (-\infty,-1) y (1,+\infty). La función presenta una asíntota horizontal en y=-1 y en y=1. A ambos lados de la asíntota nos encontramos una función monótona estrictamente decreciente.
La derivada de la función es:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \coth x = 1-\coth^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x}=-\operatorname{csch}^2 x

La función cotangente hiperbólica, como demuestra el teorema de adición, se puede sintetizar en:
\coth(\alpha+\beta)=\frac{1+\coth\alpha\,\coth\beta}{\coth\alpha+\coth\beta}








La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, laderivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sen(x),cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.- ..........................:
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=71d7affef555bceef79f3e70d0c2552a8f7d61cc&writer=rdf2latex&return_to=Derivaci%C3%B3n+de+funciones+trigonom%C3%A9tricas

Para poder empezar con este tema Hay que recordar la definición de derivada:
f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{ f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
Recordemos también que:
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

Teoremas

Teorema A :
Dx (sen x) = cos x
Teorema B :
Dx (cos x) = -sen x
Teorema C :
Dx (tan x) = sec^2x
Teorema D :
Dx (sec x) = sec x * tan x
Teorema E :
Dx (cot x) = -csc^2x
Teorema F :
Dx (csc x) = -csc x * cot x

Derivada de seno

Sustituimos en la definicón de derivada y tenemos
f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{ sin(x+\Delta x)-sin(x)}{\Delta x}
Utilizamos la identidad de sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b) por lo que

f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{ sin(x)cos(\Delta x)+cos(x)sin(\Delta x)-sin(x)}{\Delta x}

f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{ sin(x)[cos(\Delta x)-1]}{\Delta x}+ \lim_{\Delta x\to 0}\frac{ cos(x)sin(\Delta x)}{\Delta x}

f'(x) = -\sin x\,\lim_{\Delta x\to 0}\frac{ 1-cos(\Delta x)}{\Delta x}+ \cos x\,\lim_{\Delta x\to 0}\frac{ sin(\Delta x)}{\Delta x} \tag{1}
Sabemos que:
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{ 1-cos(\Delta x)}{\Delta x}=0 \; \text{y} \; \lim_{\Delta x\to 0}\frac{ sin(\Delta x)}{\Delta x}=1
Sustituimos de lo anterior en la expresión (1)
f'(x)=-0(sin(x))+cos(x)(1)
f'(x)=cos(x)

Derivada de coseno

f(x)=cos(x)
Sustituimos en la definicion de derivada
f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{ cos(x+\Delta x)-cos(x)}{\Delta x}
Utilizamos la identidad cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b), entonces tenemos que
f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{ cos(x)cos(\Delta x)-sin(x)sin(\Delta x)-cos(x)}{\Delta x}
f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{ cos(x)[cos(\Delta x)-1]}{\Delta x}- \lim_{\Delta x\to 0}\frac{ sin(x)sin(\Delta x)}{\Delta x}

f'(x) = -\cos x\lim_{\Delta x\to 0}\frac{ 1-cos(\Delta x)}{\Delta x}- \sin x\lim_{\Delta x\to 0}\frac{ sin(\Delta x)}{\Delta x}
Sabemos que:
f(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{ 1-cos(\Delta x)}{\Delta x}=0 y \lim_{\Delta x\to 0}\frac{ sin(\Delta x)}{\Delta x}=1
Sustituimos en la expresion anterior:
f'(x)=-0(cos(x))-(sin(x))(1)

f'(x)=-sin(x)

Ejemplo # 1

y=csc(x)cot(x)

y'=(-csc(x)csc^2(x))-cot(x)csc(x)cot(x)

y'=-csc(x)csc^2(x)-cot^2(x)csc(x)

y'=-csc^3(x)-cot^2(x)csc(x)

Ejemplo # 2

y=3 sen(x) - 2 cos(x)

y'=3 Dx (sen x) - 2 Dx (cos x)

y'=3 cos (x) + 2 sen (x)

Ejemplo # 3

y= sen(x) * cos(x)

y'= sen(x) * Dx (cos x) + cos(x) * Dx sen(x)

y'= - sen^2 (x) + cos^2 (x)

Ejemplo # 4

y= x^2 * cos(x)

y'= x^2 * Dx ( cos x) + cos(x) * Dx (x^2)

y'= -x^2 sen(x) + 2x cos(x)
Introducción a la regla de la cadena:

Ejemplo # 5

y= tan^2 (x)

y'= 2 tan(x) * Dx tan(x)

y'= 2 tan(x) * sec^2(x)

Ejemplo # 6

y= 1 - cos^2 (x)

y'= Dx 1 - Dx cos^2(x)

y'= -2 cos (x) * Dx (cos x )

y'= 2 cos (x) * sen (x)

Derivadas de funciones trigonométricas
Vamos a empezar por dar la derivada de 
f(x) = sen x, 
 y después utilizarla para obtener las derivadas de las otras cinco funciones trigonométricas.
Derivada de 
sen x
La derivada de la función seno se da por
    d
    dx
     sen x = cos x.
Eso es todo lo que hay que hacer!
Pregunta
¿De dónde vino esto?
Respuesta
Lo justificaremos al final de esta sección. (Si no puedes esperar, presiona la perla  para ir ahí ahora).
 Ejemplo 1
Calcula 
dy/dx
 si:
    (a) 
    y = xsen x
    		(b) 
    y = cosec x
    		(c) 
    y = 
    x2 + x
    sen x
    (d) 
    y = sen(3x2 − 1)
Solución
(a) Una aplicación de la experimento mental de cálculo (EMC)* nos dice que 
xsen x
 es un producto;

    y = (x)(sen x).
Por lo tanto, por la regla del producto,
    dy
    dx
     = (1)(sen x) + (x)(cos x) = sen x + xcos x
(b) Reccuerda que en la sección 2 es así
    y = cosec x = 
    1
    sen x
    .
Por lo tanto, por la regla del cociente,
    dy
    dx
     = 
    (0)(sen x) − (1)(cos x)
    sen2x
         (recordemos que 
    sen2x
     es sólo 
    (sen x)2
    )
        
     = 
    −cos x
    sen2x

        
     = 
    −cos x
    sen x
     .
    1
    sen x

        
     =  − cotan xcosec x.
        (de las identidades en la sección 2)
Nota que acabamos de obtener una derivada de las cinco funciones trigonométricas restantes. Faltan cuatro...
(c) Ya que la función dada es un cociente,
    dy
    dx
     = 
    (2x + 1)(sen x) − (x2 + x)(cos x)
    sen2x
     , 
y vamos a dejarlo así (no hay ninguna simplificación fácil de la respuesta).
(d) Aquí, una aplicación del EMC  nos dice que y es el seno de una cantidad.
Ya que
    d
    dx
     sen x = cos x, 
La regla de cadena ( presione la perla para ir a un resumen del tema para una revisión rápida) nos dice que
    d
    dx
     sen  u = cos u 
    du
    dx
por lo tanto
    d
    dx
     sen (3x2 − 1) = cos (3x2 − 1) 
    d
    dx
     (3x2 − 1)


                               
     = 6xcos(3x2 − 1)
        (coloquemos el 
    6x
     en frente para evitar confusión — ve mas abajo)
* Ve el ejemplo 6 en p. 258 en Cálculo Aplicado al Mundo Real, o p. 756 en Matemáticas Finitas y Cálculo Aplicado al Mundo Real. Alternativamente, presione aquí  para consultar el resumen del tema en línea, donde la EMC también se discute.
Antes de seguir...
Trata de evitar escribir expresiones como 
cos(3x2 − 1)(6x).
 ¿Esto significa
    cos[(3x2 − 1)(6x)]
       (el coseno de la cantidad 
    (3x2 − 1)(6x)), 
o significa
    [cos(3x2 − 1)](6x)
       (el producto de 
    cos(3x 2 − 1)
     y 
    6x)
    ?
Por esta razón colocamos el 
6x
 frente a la expresión del coseno.
Pregunta
¿Qué pasa con la derivada de la función coseno?
Respuesta
Utilicemos la identidad

    cos x = sen(π//2 − x)
de la sección 1, y sigamos el método del ejemplo 1(d) arriba: si

    y = cos x = sen(π//2 − x), 
entonces, usando la regla de cadena,
    dy
    dx
     = cos(π//2 − x)
    d
    dx
    (π//2 − x)


         
     = (−1)cos(π//2 − x)
                   (ya que 
    π//2
     es constante, y 
    d/dx(−x) =  − 1
    )

         
     =  − sen  x
                                    (usando la identidad 
    cos(π//2 − x) = sen x
    )
Pregunta
¿Qué tal tres funciones trigonométricas restantes?
Respuesta 
Ya que todas las demas se pueden expresar en términos de 
sen x
 y 
cos x, 
 vamos a dejarlos para que tu los hagas en los ejercicios!
    Regla original
    Regla generalizada (Regla de cadena)
    d
    dx
     sen x = cos x
    d
    dx
     sen u = cos u 
    du
    dx
    d
    dx
     cos x =  − sen x
    d
    dx
     cos u =  − sen u 
    du
    dx
    d
    dx
     tan x = sec2x
    d
    dx
     tan u = sec2u 
    du
    dx
    d
    dx
     cotan x =  − cosec2x
    d
    dx
     cotan u =  − cosec2u 
    du
    dx
    d
    dx
     sec x = sec xtan x
    d
    dx
     sec u = sec u tan u 
    du
    dx
    d
    dx
     cosec x =  − cosec xcotan x
    d
    dx
     cosec u =  − cosec u cotan u 
    du
    dx
 Ejemplo 2
Determina la derivada de las siguientes funciones.
    (a) 
    f(x) = tan(x2 − 1)
    		(b) 
    g(x) = cosec(e3x)
    		(c) 
    h(x) = e−xsen(2x)
    (d) 
    r(x) = sen2x
    		(e) 
    s(x) = sen(x2)
Solución
(a)Ya que 
f(x)
 es la 
tan
 de una cantidad, usamos la regla de cadena:
    d
    dx
     tan u = sec2u 
    du
    dx
    d
    dx
     tan(x2 − 1) = sec2(x2 − 1)
    d(x2 − 1)
    dx
      
           (sustituyendo 
    u = x2 − 1)
               
             = 2x sec2(x2 − 1).
(b) Ya que 
g(x)
 es el cosecante de una cantidad, usamos la regla
    d
    dx
    cosec u =  − cosec u cotan u
    du
    dx
    d
    dx
    cosec(e3x)
     =  − cosec(e3x)cotan(e3x)
    d(e3x)
    dx
     =  − 3e3x cosec(e3x)cotan(e3x).
    		(la derivada de 
    e3x
     es 
    3e3x)
(c) Ya que 
h(x)
 es el producto de 
e−x
 y 
sen(2x), 
 usamos la regla del producto,
    h ′(x)
     = 
    (−e−x)sen(2x) + e−x
    d
    dx
    [sen(2x)]
     = 
    (−e−x)sen(2x) + e−x
    cos(2x)
    d
    dx
    [2x]
    		(usando 
    d/dxsen u = cos u du/dx)
     = 
    −e−xsen(2x) + 2e−xcos(2x).
(d) Recuerda que 
sen2x = (sen x)2.
 Así, 
r(x)
 es el cuadrado de la cantidad (particularmente, la cantidad de 
sen x
). Por lo tanto, usamos la regla de la cadena para diferenciar el cuadrado de una cantidad,
    d
    dx
    [u2]
     = 
    2u
    du
    dx
    d
    dx
    [(sen x)2]
     = 
    2(sen x)
    d(sen x)
    dx
     = 
    2sen xcos x.
(e) Nota la diferencia entre el 
sen2x
 y 
sen(x2).
 El primero es el cuadrado de 
sen x, 
 mientras que el segundo es el 
sen
 de la cantidad 
x2.
 Ya que estamos diferenciando el segundo, usamos la regla de la cadena para diferenciar al seno de una cantidad:
    d
    dx
     sen u = cos u 
    du
    dx
    d
    dx
    sen(x2) = cos(x2)
    d(x2)
    dx
                
     = 2xcos(x2).
Pregunta
Todavia hay algunos asuntos pendientes...
Respuesta
Efectivamente. Ahora nos motivará la fórmula que comenzó todo:


    d
    dx
     sen x = cos x.

Vamos a hacer este cálculo partiendo de cero, usando la fórmula general par una derivada:

    \frac{d}{d} f(x) = \lim {h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Ya que aquí, 
f(x) = \sen x,
 podemos escribir

    \frac{d}{d} \sen(x) = \lim {h \to 0} \frac{\sen(x+h) - \sen(x)}{h}
    		. . . . (I)


Ahora utilizamos la fórmula para ampliar 
\sen(x+h)
 que aparecio en los ejercicio anteriores:

    \sen(x+h) = \sen x \cos h + \cos x \sen h.

Sustituyendo esto en la formula (I) da

    \frac{d}{d} \sen(x) = \lim {h \to 0} \frac{\sen x \cos h + \cos x \sen h - \sen(x)}{h}.


Agrupando los términos primeros y terceros, y factorizando el 
\sen x
 hacia afuera da

    \frac{d}{d}
    \sen(x) = \lim {h \to 0} \frac{\sen x (\cos h - 1) + \cos x \sen h}{h}
               
    = \lim {h \to 0} \frac{\sen x (\cos h - 1)}{h} + \lim {h \to 0} \frac{\cos x \sen h}{h}
               
    = \sen x\ \lim {h \to 0} \frac{(\cos h - 1)}{h} + \cos x\ \lim {h \to 0} \frac{\sen h}{h}
y nos quedamos con dos límites para evaluar. Calcular analíticamente estos límites requiere un poco de trigonometría (presiona aquí  para estos cálculos). Alternativamente, podemos tener una buena idea de lo que son estos dos límites por estimación numérica. Encontramos que:
    \lim {h \to 0} \frac{(\cos h - 1)}{h} = 0
y
    \lim {h \to 0} \frac{\sen h}{h} = 1
Por lo tanto,
    \frac{d}{dx} \sen x = \sen x (0) + \cos x (1) = \cos x.
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