lunes, 29 de junio de 2015

Trigonometría

Funciones trigonométricas

 arcocosecante es la función inversa de lacosecante de un ángulo. Se simboliza \operatorname{arccosec} \alpha\, ó \arccsc\alpha y su significado geométrico es el ángulo cuya cosecante es alfa.
y = \arccsc(x)
x = \csc(y),
De esta definición, por tanto, podemos deducir expresiones equivalentes:
\operatorname{arccosec} (-x) = - \operatorname{arccosec} x \!
\operatorname{arccosec} \; \frac{1}{x} = \arcsin x
El dominio de definición de la función arcocosecante está comprendido entre -\infty y -1 o entre 1 y +\infty.
La notación habitual de la función arcocosecante es \operatorname{arccosec}(x) ó \arccsc(x). También es válida la notación cosec-1 (leído comocosecante a la menos uno). Esta última notación no suele estar aconsejada debido a su ambigüedad, ya que es susceptible de ser confundida con una potencia de exponente -1, y su uso es habitual en Norteamérica y en las calculadoras de bolsillo.
En el lenguaje LaTeX esta expresión se obtiene mediante el comando \arccsc.
Gráfica de la función arcocosecante.


Arccsc
ArcCscReImAbs
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La cosecante inversa es la función de varios valores csc ^ (- 1) z (Zwillinger 1995, p 465.), también denota arccscz(Abramowitz y Stegun 1972, p 79;. Spanier y Oldham 1987, p 332;. Harris y Stocker 1998, p 315;. Jeffrey 2000, p . 125), que es la función inversa de la cosecant . Las variantes Arccscz(por ejemplo, Beyer 1987, p 141;.. Bronshtein y Semendyayev, 1997, p 70) y Csc ^ (- 1) zse utilizan a veces para referirse a explícitos los valores principales de la cosecante inversa, aunque esta distinción no siempre se hace (por ejemplo ,. Zwillinger 1995 ,. p 466). Peor aún, la notación arccsczse utiliza a veces para el valor principal, con Arccsczque se utiliza para la función de varios valores (Abramowitz y Stegun 1972, p. 80). Tenga en cuenta que en la notación csc ^ (- 1) z(de uso común en América del Norte y en las calculadoras de bolsillo en todo el mundo), csczes la cosecante y el superíndice -1denota una función inversa , no el inverso multiplicativo.
El valor principal de la cosecante inversa se ​​implementa como arccsc [ x ] en el idioma Wolfram .
InverseCosecantBranchCut
La cosecante inversa es una función de varios valores y por lo tanto requiere de una rama cortada en el plano complejo , que el idioma Wolframconvención 's coloca en (-1,1). Esto se deduce de la definición de csc ^ (- 1) zlo
csc ^ (- 1) = z -iln (sqrt (1-1 / (z ^ 2)) + i / z).
(1)
El derivado de csc ^ (- 1) zestá dada por
d / (dz) csc ^ (- 1) z = -1 / (z ^ 2sqrt (1-1 / (z ^ 2))),
(2)
lo que simplifica a
d / (dx) csc ^ (- 1) x = -1 / (xsqrt (x ^ 2-1))
(3)
para x> 0. Su integral indefinida es
intcsc ^ (- 1) = ZDZ zcsc ^ (- 1) z + ln [z (1 + sqrt ((z ^ 2-1) / (z ^ 2)))] + C,
(4)
lo que simplifica a
intcsc ^ (- 1) = xdx xcsc ^ (- 1) x + ln (+ sqrt x (x ^ 2-1))
(5)
para x> 0.
La cosecante inversa tiene serie de Taylor sobre infinidad de
csc ^ (- 1) x=-sum_ (n = 1) ^ (infty) (i ^ (n + 1) P_ (n-1) (0)) / nx ^ (- n)
(6)
=((1/2) _ (n-1)) / ((n-1)! (2n-1)) x ^ (1-2n)
(7)
=x ^ (- 1) + 1 / 6x ^ (- 3) + 3 / (40) x ^ (- 5) + 5 / (112) x ^ (- 7) + ...
(8)
(OEIS A055786 y A002595 ), donde P_n (x)es un polinomio de Legendre y (X) _nes un símbolo Pochhammer .
Las satisface cosecante inversa
csc ^ (- 1) z = sen ^ (- 1) (1 / z)
(9)
para z! = 0,
csc ^ (- 1) z=1 / 2pi-sec ^ (- 1) z
(10)
=-1 / 2pi + seg ^ (- 1) (- z)
(11)
para todos complejo z, y
csc ^ (- 1) x={Sec ^ (- 1) (x / (sqrt (x ^ 2-1))) - pi para x <-1; seg ^ (- 1) (x / (sqrt (x ^ 2-1))) para x> 1
(12)
={-cos ^ (- 1) ((sqrt (x ^ 2-1)) / x) para x <-1; cos ^ (- 1) ((sqrt (x ^ 2-1)) / x) para x> 1
(13)
={-cot ^ (- 1) (sqrt (x ^ 2-1)) para x <-1; cuna ^ (- 1) (sqrt (x ^ 2-1)) para x> 1.




La derivada del arcocosecante de una función es igual a menos la derivada de la función dividida por la función multiplicada por la raíz cuadrada del cuadrado de la función menos 1.


Inverso de la función cosecante. También se escribe arco cosecante, arc cosec x, o cosec-1. El valor de la función arco cosecante de cualquier argumento es un ángulo en radianes cuya función cosecante es igual al argumento dado, esto es, y = csc-1x si y sólo si x = cosec(y) para - symbol PI/2 < y < symbol PI/2 y y  0.

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