martes, 30 de junio de 2015

Trigonometría

Funciones trigonométricas


El hexágono trigonométrico es un recurso mnemónico para ayudar a recordar relaciones e identidades trigonométricas. Las primeras versiones del hexágono aparecieron en una publicación china "Mathematics Handbook" en 1978.

Identidades pitagóricas

Trigonometría - Identidades pitagóricas.svg\sen^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta
1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta

Identidades recíprocas

Cada función trigonométrica es el recíproco de la que está en el lado opuesto del hexágono.
Trigonometría - Identidades recíprocas.svg\sen \theta = 1 / \csc \theta\csc \theta = 1 / \sen \theta
\cos \theta = 1 / \sec \theta\sec \theta = 1 / \cos \theta
\tan \theta = 1 / \cot \theta\cot \theta = 1 / \tan \theta

Productos

El producto de cada función trigonométrica multiplicada por la opuesta en el hexágono es 1.
Trigonometría - Identidades recíprocas.svg\sen \theta * \csc \theta = 1\csc \theta * \sen \theta = 1
\cos \theta * \sec \theta = 1\sec \theta * \cos \theta = 1
\tan \theta * \cot \theta = 1\cot \theta * \tan \theta = 1
Cada función trigonométrica es el producto de las dos que la rodean.
Trigonometría - Productos.svg\sen \theta = \tan \theta * \cos \theta\csc \theta = \cot \theta * \sec \theta
\cos \theta = \sen \theta * \cot \theta\sec \theta = \csc \theta * \tan \theta
\tan \theta = \sec \theta * \sen \theta\cot \theta = \cos \theta * \csc \theta

Cocientes

Cada función trigonométrica es el cociente de las dos siguientes.
Trigonometría - Cocientes 1.svg\sen \theta = \cos \theta / \cot \theta\csc \theta = \sec \theta / \tan \theta
\cos \theta = \cot \theta / \csc \theta\sec \theta = \tan \theta / \sen \theta
\tan \theta = \sen \theta / \cos \theta\cot \theta = \csc \theta / \sec \theta
Cada función trigonométrica es el cociente de las dos anteriores.
Trigonometría - Cocientes 2.svg\sen \theta = \tan \theta / \sec \theta\csc \theta = \cot \theta / \cos \theta
\cos \theta = \sen \theta / \tan \theta\sec \theta = \csc \theta / \cot \theta
\tan \theta = \sec \theta / \csc \theta\cot \theta = \cos \theta / \sen \theta

Identidades de la cofunción

Cada función trigonométrica de un ángulo dado \theta es igual a su cofunción evaluada en \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right).
Trigonometría - Identidades de la cofunción.svg\sen \theta = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)\cos \theta = \sen \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)
\tan \theta = \cot \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)\cot \theta = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)
\sec \theta = \csc \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)\csc \theta = \sec \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)

Paridad

Las funciones coseno y secante son pares, el resto son impares.
Trigonometría - Paridad.svgSeno es impar
 \sen\left(-\theta\right) = -\sen\left(\theta\right)
csc es impar
 \csc\left(-\theta\right) = -\csc\left(\theta\right)
cos es par
 \cos\left(-\theta\right) = \cos\left(\theta\right)
sec es par
 \sec\left(-\theta\right) = \sec\left(\theta\right)
tan es impar
 \tan\left(-\theta\right) = -\tan\left(\theta\right)
cot es impar
 \cot\left(-\theta\right) = -\cot\left(\theta\right)

Periodicidad

Las funciones tangente y cotangente tienen una periodicidad de \pi, mientras que el resto tienen una periodicidad de 2\pi
Trigonometría - Periodicidad.svgSeno: 2\picsc: 2\pi
cos: 2\pisec: 2\pi
tan: \picot: \pi


Truco matemáticas: Trigonometría Fácil - Hexágono Trigonométrico

Nunca recuerdas las identidades trigonometricas?

Con este método con solo recordar el orden de 6 funciones trigonométricas prodrás tener a tu disposición 24 identidades trigonométricas. No es genial?

Bueno aqui el secreto,


Cada una de las letras es la representación de una función:

S: Seno
C: Coseno
T: Tangente
CT: Cotangente
SC: Secante
CSC: Cosecante

y el orden es de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo,

Seno -----------Coseno.
Tangente ------Cotangente.
Secane- --------Cosecante.

Son tres relaciones:




  • Cada una de las funciones es igual al producto de las funciones que se encuentran a su lado, Ejemplo




T = S x SC.
Tangente = Seno x Secante.
Otro ejemplo:


S = T x C.
Seno = Tangente x Coseno.
  • Cada una de la funciones es igual a la función vecina entre la siguiente función en la misma dirección, Ejemplo



T = S / C.
Tangente = Seno / Coseno.

Otro ejempo:



T = SC / CSC.
Tangente = Secante / Cosecante.

Recuerda, siempre podrás relacionar  3 funciones que esten juntas.  Si por ejemplo hay un ejercicio donde te den los valores de Seno y Coseno, al mirar el rectangulo te darás cuenta que estos datos son suficiente para deducir tanto la Tangente, como la Cotangente


  •  Cada función es igual a 1 entre la función que tiene al frente, Ejemplo,



T = 1 / CT.
Tangente = 1 / Cotangente.


Otro ejemplo:


S = 1 / CSC.
Seno = 1 / Cosecante.

En la siguiente lista encontrarás todas las relaciones que puedes conseguir con el Hexágono Trigonométrico,

Seno
S =  T x CS  = C / CTS = T / SCS = 1 / CSC
Coseno
C = S x CTC = CT / CSCC = S / TC = 1 / CS
Tangente
T = SC x ST = S / CT = SC / CSCT = 1 / CT
Cotangente
CT = C x CSCCT = CSC / SCCT = C / SCT = 1 / T
Secante
SC = CSC x SSC = T / SSC = CSC / CTSC = 1 / C
Cosecante
CSC = CT x SCCSC = SC / TCSC = CT / CCSC = 1 / S
Ahora vamos con la telaraña trigonométrica, en ella se representan los lados de un triangulo simplificados de la siguiente forma,





O: Opuesto.
A: Adyacente.
H: Hipotenusa.


La relación es así,

  • Cada función es igual al lado que tiene arriba, sobre el que tiene abajo en la telaraña.


T  = O / A.
Tangente = Opuesto / Adyacente.


Otro ejemplo,






S = O / H.
Seno = Opuesto / Hipotenusa.


Un ejemplo más...



CSC = H / O.
Cosecante = Hipotenusa / Opuesto.



Listado de relaciones con la telaraña trigonométrica,

S = O / HC = A / HT = O / A
CSC = H / OSC = H /ACT = A / O

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