Funciones trigonométricas
En trigonometría, la arcosecante es la función inversa de lasecante de un ángulo. Se simboliza y su significado geométrico es el ángulo cuya secante es alfa.
De esta definición, por tanto, podemos deducir expresiones equivalentes:
El dominio de definición de la función arcosecante está comprendido entre y o entre y . La función presenta una asíntota horizontal en , tal y como se deduce de la expresión:
- La derivada del arcosecante de una función es igual a la derivada de la función dividida por la función multiplicada por la raíz cuadrada del cuadrado de la función menos 1.
Las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas
Conviene recordar que:
- a.
- Si una función es continua y estrictamente creciente (decreciente) en un intervalo, entonces posee función inversa la cual también es continua y estrictamente creciente (decreciente).
- b.
- Las funciones trigonométricas son periódicas por lo que la correspondencia entre la variable independiente y la dependiente no es "uno a uno".
De aquí se tiene que la inversa de una función trigonométrica no es una función, es una relación.
Sin embargo, si se restringe el dominio de una función trigonométrica se establece una relación biunívoca y la inversa de la función trigonométrica sí es una función.
Al considerar la gráfica de la función seno:
, etc, la función seno es continua y estrictamente creciente, por lo que podría escogerse alguno de ellos para definir la función inversa de la función seno. Usualmente se toma el intervalo . Luego, se define la función seno como:
La función así definida es continua y estrictamente creciente en el intervalo, por lo que existe una única función, definida en el intervalo , llamada función seno inverso. Esta función, denotada arcsen, se define como sigue:Se tiene entonces que .Luego, es el único número para el cual .
Ejemplos:
a. b. c. d.
Como , aplicando el teorema de la derivada de una función inversa se tiene que:
Como , y entonces pues .
Luego:
En general
Ejemplos:
Determine si:
a. b.
Como en la función seno, la función coseno es continua y estrictamente decreciente en varios intervalos por ejemplo: , etc, por lo cual debe restringirse su dominio de tal forma que posea función inversa.
Sea entonces la función tal que:
La función así definida es continua y estrictamente decreciente en el intervalo , por lo que posee función inversa. Esta recibe el nombre de arco coseno, (o función coseno inverso), y se denota .Se define de la siguiente forma:
Se tiene queLuego, es el único número con para el que
Ejemplos:
- a.
b. c. d.
Como , aplicando el teorema de la derivada de la función inversa se tiene que:
Como , y entonces pues .
Luego:
En general
Ejemplos:
Determine si:
a. b.
Igual que en los dos casos anteriores, vamos a restringir el dominio de la función tangente al intervalo , en el que es continua y estrictamente creciente, por lo que posee función inversa.
Luego se define la función tangente como:
Se tiene que ,Luego, es el único número con para el que
Ejemplos:
a. b. c.
Además:
Derivada de la función arcotangente
Como , aplicando el teorema de la derivada de la función inversa se tiene que:
Como , y entonces por lo que:En general
Ejemplos:
Determine si:
a. b. c.
Función cotangente inversa
Para definir la función inversa de la función cotangente, vamos a restringir el dominio de ésta al intervalo , en el que es continua y estrictamente decreciente, por lo que posee función inversa.
Se define función cotangente como:
La función cotangente inversa, llamada también arco cotangente y denotada , se define como:Por la definición de la función arco cotangente se tiene que .Luego, es el único número con para el queEjemplos:
a. b. c. Además:
Como , aplicando el teorema de la derivada de la función inversa se tiene que:
Como , y entonces por lo que:En general
Ejemplos:
Determine si:
a. b.
Vamos a elegir como dominio de la función secante el intervalo de donde, ya que en la función secante es biunívoca y la derivada de la función inversa puede expresarse por medio de una sola fórmula.
La representación gráfica de la función secante en el intervalo señalado es el siguiente:
Existe por tanto la función secante inversa, llamada también arco secante y se denota definida por:
Por la definición de función arcosecante se tiene que:
Luego, es el único número con tal que
Ejemplos:
a. b. c.
Note que:
Derivada de la función secante inversa
Como , utilizando el teorema de la derivada de la función inversa se obtiene que:
Como , y cuando , entonces puesLuego
En general, si entonces
Ejemplos:
Determine si:
a. b.
La función secante inversa también suele definirse por la siguiente igualdad:. En este caso
Se deja como ejercicio para el estudiante que compruebe esta igualdad.
Función cosecante inversa
Tomaremos como dominio de la función cosecante el intervalo, en el que la función cosecante es biunívoca.
La representación gráfica de la función cosecante en el intervalo señalado es la siguiente:
Existe por tanto la función cosecante inversa, llamada también arco cosecante y que se denota definida por:
Por la definición de función arco cosecante se tiene que:
Luego, es el único número con tal que
Ejemplos:
a. b. c. d.
Note que:
Derivada de la función cosecante inversa
Como , utilizando el teorema de la derivada de la función inversa se obtiene que:
Como , y para , entonces pues
Luego
En general, si entonces
Ejemplos:
Determine si:
a. b.
La función cosecante inversa también suele definirse por la siguiente igualdad:.
Además , igualdad que debe comprobar el estudiante como ejercicio.
Verifiquemos que .
Luego , y se verifica la igualdad.
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