Calendarios

Algoritmos de calendarios

El Computus es el cálculo de la fecha de Pascua. A principios del siglo IV había en la cristiandad una gran confusión sobre cuándo había de celebrarse la Pascua cristiana o de Pascua de Resurrección, con motivo del aniversario de la resurrección de Jesús de Nazaret. Habían surgido en aquel momento numerosas tendencias o grupos de practicantes que utilizaban cálculos propios.

Dionisio el Exiguo inventó la era Anno Domini para calcular la fecha de Pascua.

Comienzo

Ya en el concilio de Arlés del año 314, se obligó a toda la Cristiandad a celebrar la Pascua el mismo día, y que esta fecha habría de ser fijada por el papa, que enviaría epístolas a todas las iglesias del orbe con las instrucciones necesarias. Sin embargo, no todas las congregaciones siguieron estos preceptos.

Concilio de Nicea

En el concilio de Nicea del año 325, se llega finalmente a una solución para este asunto.

En él se estableció que la Pascua de Resurrección había de ser celebrada cumpliendo unas determinadas normas:

• Que la Pascua se celebrase en domingo.
• Que no coincidiese nunca con la Pascua judía, que se celebraba independientemente del día de la semana. (De esta manera se evitarían paralelismos o confusiones entre ambas religiones).^{[cita requerida]}
• Que los cristianos no celebrasen nunca la Pascua dos veces en el mismo año. Esto tiene su explicación porque el año nuevo empezaba en el equinoccio primaveral, por lo que se prohibía la celebración de la Pascua antes del equinoccio real (antes de la entrada del Sol en Aries).

No obstante, siguió habiendo diferencias entre la Iglesia de Roma y la Iglesia de Alejandría, si bien el Concilio de Nicea dio la razón a los alejandrinos, estableciéndose la costumbre de que la fecha de la Pascua se calculaba en Alejandría, que lo comunicaba a Roma, la cual difundía el cálculo al resto de la cristiandad.

Pese a este acuerdo formal, las discrepancias continuaron por razones astronómicas. La Iglesia romana consideraba que el equinoccio de primavera era el 18 de marzo y para calcular la edad de la Luna (epacta) utilizaban un ciclo de 84 años. Los alejandrinos para el cálculo de la edad de la Luna usaban el famoso ciclo metónico de 19 años. Estas diferencias, y otras menores, hacían que en la Iglesia romana nunca cayera con posterioridad al 21 de abril, mientras que el alejandrina podía llegar a ser el 25.

Dionisio el Exiguo

Finalmente, en el año 525, Dionisio el Exiguo convenció desde Roma de las bondades del cálculo alejandrino, unificándose al fin el cálculo de la pascua cristiana.

Para el cálculo hay que establecer unas premisas iniciales:

• La Pascua ha de caer en domingo.
• Este domingo ha de ser el siguiente al plenilunio pascual (la primera luna llena de la primavera boreal). Si esta fecha cayese en domingo, la Pascua se trasladará al domingo siguiente para evitar la coincidencia con la Pascua judía.
• La luna pascual es aquella cuyo plenilunio tiene lugar en el equinoccio de primavera (vernal) del hemisferio norte (de otoño en el sur) o inmediatamente después.
• Este equinoccio tiene lugar el 20 o 21 de marzo.
• Se llama epacta a la edad lunar. En concreto interesa para este cálculo la epacta del año, la diferencia en días que el año solar excede al año lunar. O dicho más fácilmente, el día del ciclo lunar en que está la Luna el 1 de enero del año cuya Pascua se quiere calcular. Este número —como es lógico— varía entre 0 y 29.

Antes de proseguir es preciso dejar claro que en términos astronómicos, el equinoccio puede tener lugar el 20 o el 19 de marzo, si bien en el calendario gregoriano se establecen unas fechas astronómicas que, aún difiriendo ligeramente de las fechas astronómicas reales, son las que se emplean para el cálculo.

Así las cosas, queda claro que la Pascua de Resurrección no puede ser antes del 22 de marzo (en caso de que el 21 y plenilunio fuese sábado), y tampoco puede ser más tarde del 25 de abril, (suponiendo que el 21 de marzo fuese el día siguiente al plenilunio, habría que esperar una lunación completa (29 días) para llegar al siguiente plenilunio, que sería el 18 de abril, el cual, si cayese en domingo, desplazaría la Pascua una semana para evitar la coincidencia con la pascua judía, quedando: 18 + 7 el 25 de abril).

Si bien durante el Renacimiento se extrajeron tablas de cálculo para la Pascua en función del número áureo y otras más complejas, hoy en día la fórmula más sencilla de calcular esta fecha es mediante la fórmula desarrollada por el matemático Gauss.

Cálculo

2012	8 de abril
2013	31 de marzo
2014	20 de abril
2015	5 de abril
2016	27 de marzo
2017	16 de abril
2018	1 de abril
2019	21 de abril
2020	12 de abril
2021	4 de abril

Definamos 5 variables, a, b, c, d, y e. Además de dos constantes M y N, que para los años comprendidos entre 1900 y 2100 tomarán los valores 24 y 5 respectivamente. Llamaremos A al año del que queremos calcular la Pascua.

a es el resto de la división ${\displaystyle {\frac {A}{19}}}$, o técnicamente según la Aritmética modular diríamos ${\displaystyle A\ {\bmod {\ }}19}$,

b es el resto de la división ${\displaystyle {\frac {A}{4}}}$,

c es el resto de la división ${\displaystyle {\frac {A}{7}}}$,

d es el resto de la división ${\displaystyle {\frac {19a+M}{30}}}$,

e es el resto de la división ${\displaystyle {\frac {2b+4c+6d+N}{7}}}$.

Si d + e < 10, entonces la Pascua caerá en el día (d + e + 22) de marzo. En caso contrario (d + e > 9), caerá en el día (d + e − 9) de abril.

Existen dos excepciones a tener en cuenta:

• Si la fecha obtenida es el 26 de abril, entonces la Pascua caerá en el 19 de abril.
• Si la fecha obtenida es el 25 de abril, con d = 28, e = 6 y a > 10, entonces la Pascua caerá en el 18 de abril.

Los valores de M y N para años anteriores a 1900 o posteriores a 2100 pueden obtenerse de la tabla siguiente:

Años	M	N
1583–1699	22	2
1700–1799	23	3
1800–1899	23	4
1900–2099	24	5
2100–2199	24	6
2200–2299	25	0

Otra forma de calcular esta fecha es utilizando el algoritmo de Butcher, del «Almanaque Eclesiástico» de 1876, la ventaja con respecto al anterior es que no tiene excepciones, es válido para cualquier año posterior a 1583, la desventaja es que es algo más complejo. Al igual que el anterior, sólo es válido para el calendario gregoriano y se calcula como sigue:

A resto de la división año / 19,

B cociente de la división año / 100, es decir, (año - (año mod 100)) / 100 = un número entero,

C resto de la división año / 100,

D cociente de la división B / 4,

E resto de la división B / 4,

F cociente de la división (B + 8) / 25,

G cociente de la división (B − F + 1) / 3,

H resto de la división (19A + B – D – G + 15) / 30,

I cociente de la división C / 4,

K resto de la división C / 4,

L resto de la división (32 + 2E + 2I – H – K) / 7,

M cociente de la división (A + 11H + 22L) / 451,

N = H + L – 7M + 114,

MES cociente de la división N / 31,

DÍA = 1 + ( N mod 31 ) o bien 1 + (N - (MES × 31)).

Ejemplo

Para comprobar la fórmula, calcularemos la fecha del domingo de Resurrección del año 2007

A = 2007

M = 24

N = 5

a = resto de ${\displaystyle {\frac {2007}{19}}}$ = 12

b = resto de ${\displaystyle {\frac {2007}{4}}}$ = 3

c = resto de ${\displaystyle {\frac {2007}{7}}}$ = 5

d = resto de ${\displaystyle {\frac {19*12+24}{30}}}$ = 12

e = resto de ${\displaystyle {\frac {2*3+4*5+6*12+5}{7}}}$ = 5

Como d + e = 17 > 9, habremos de utilizar la segunda de las fórmulas (la correspondiente a abril), la cual da como resultado 8. El domingo 8 de abril de 2007 es domingo de Resurrección.

Siguiendo el mismo ejemplo con el algoritmo de Butcher, los resultados quedarían como sigue:

año = 2007

A = 2007 mod 19, es decir, 2007/19 = 105,63 entonces A = 2007 - (105 ̣× 19) = 12

B = cociente de 2007/100, es decir, 2007/100 = 20,07 entonces B = 20

C = 2007 mod 100, entonces C = 2007 - (20 × 100)= 7

D = cociente de B / 4, es decir, D = 20/4 = 5

E = B mod 4 = 0

F = cociente de (B + 8) / 25 = 1

G = cociente de (B − F + 1) / 3 = 6

H = (19A + B − D − G + 15) mod 30 = 12

I = cociente de C / 4 = 1

K = C mod 4 = 3

L = (32 + 2E + 2I − H − K) mod 7 = 5

M = cociente de(A + 11H + 22L) / 451 = 0

N = H + L − 7M + 114 = 131

MES= cociente de N / 31 = 4

DÍA= 1 + (N mod 31) = 1+7 = 8

En la siguiente tabla se pueden ver los resultados de una forma más gráfica

Operación	Resultado	Cociente	Resto
año / 19	105,631	105	A = 12
año / 100	20,070	B = 20	C = 7
B / 4	5,000	D = 5	E = 0
(B + 8) / 25	1,120	F = 1	3
(B − F + 1) / 3	6,666	G = 6	2
(19A + B − D − G + 15) / 30	8,400	8	H = 12
C / 4	1,750	I = 1	K = 3
(32 + 2E + 2I − H − K) / 7	2,714	2	L = 5
(A + 11H + 22L) / 451	0,563	M = 0	254
H + L −7M + 114	N = 131
N / 31	4,225	MES = 4	7
1+ N mod 31	DÍA = 8

El cálculo del día de la semana es el problema y sus resoluciones sobre cómo calcular en qué día de la semanacae una fecha dada. Algunos métodos requieren el uso de tablas, otros el conocimiento de qué día cae alguna fecha determinada, y otros sólo requieren cálculos algebraicos.

• Congruencia de Zeller, método algebraico diseñado por Julius Christian Johannes Zeller a finales del siglo XVII. Tiene una versión para el calendario juliano y otra para el gregoriano. Sólo requiere aplicar la fecha correspondiente a una fórmula, que sin embargo tiene mayor complejidad que otros métodos.
• Regla del fin del mundo, método ideado por John Conway optimizado para el cálculo mental. Se basa en que hay fechas que en el mismo año comparten el día de la semana. Por ejemplo, si el 04/04 de un año cae martes, también lo será el 06/06, el 08/08, etc.