Física - Mecánica clásica

integral del movimiento o constante del movimiento de un problema mecánico es una función de la posición y las velocidades (o equivalentemente de las coordenadas generalizadas y sus momentos conjugados) que es constante a lo largo de una trayectoria del sistema a lo largo de las fases.

En la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias se generaliza el concepto al de integral primera. Una integral primera depende de las variables de la ecuación diferencial y sus derivadas y resulta constante cuando se introduce en ella la dependencia respecto al "tiempo" o variable dependiente.

Definición y ejemplos

Técnicamente una integral del movimiento es una expresión analítica ${\displaystyle C(x_{i},y_{i})\,}$ tal que si se substituyen en ella las variables por la expresión temporal de las coordenadas generalizadas y las velocidades generalizadas (alternativamente los momentos conjugados) son constantes:

${\displaystyle C(x_{i},y_{i})\ {\mbox{integral de movimiento}}\quad \iff \ \quad {\tilde {C}}(t):=C(q_{i}(t),{\dot {q}}_{i}(t))={\mbox{cte.}}}$

A continuación se presentan algunas integrales de movimiento para sistemas físicos de interés como el oscilador armónico y el problema de Kepler, en sus versiones newtonianas.

Oscilador armónico

El oscilador armónico unidimensional es un sistema mecánico cuyo lagrangiano y cuya ecuación de movimiento vienen dado por:

${\displaystyle L(q,{\dot {q}})={\frac {1}{2}}({\dot {q}}^{2}-\omega ^{2}q^{2}),\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q}}=0\Rightarrow {\ddot {q}}+\omega ^{2}q=0}$

Puede verse que este sistema tiene dos integrales de movimiento dadas por:

${\displaystyle C_{1}(q,{\dot {q}})={\frac {1}{2}}({\dot {q}}^{2}+\omega ^{2}q^{2}),\qquad C_{2}(q,{\dot {q}},t)=\arctan \left({\frac {\omega q}{\dot {q}}}\right)-\omega t}$

Para verlo basta considerar la derivada total respecto al tiempo y substituir en ellas las ecuaciones del movimiento:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {dC_{1}}{dt}}=&{\frac {\partial C_{1}}{\partial {\dot {q}}}}{\ddot {q}}+{\frac {\partial C_{1}}{\partial q}}{\dot {q}}+{\frac {\partial C_{1}}{\partial t}}=&{\dot {q}}{\ddot {q}}+\omega ^{2}q{\dot {q}}=&{\dot {q}}({\ddot {q}}+\omega ^{2}q)=0\\{\frac {dC_{2}}{dt}}=&{\frac {\partial C_{2}}{\partial {\dot {q}}}}{\ddot {q}}+{\frac {\partial C_{2}}{\partial q}}{\dot {q}}+{\frac {\partial C_{2}}{\partial t}}=&{\frac {-\omega q{\ddot {q}}}{{\dot {q}}^{2}+\omega ^{2}q^{2}}}+{\frac {\omega {\dot {q}}^{2}}{{\dot {q}}^{2}+\omega ^{2}q^{2}}}-\omega =&\omega {\frac {\omega ^{2}q^{2}+{\dot {q}}^{2}}{{\dot {q}}^{2}+\omega ^{2}q^{2}}}-\omega =0\\\end{matrix}}}$

Problema de Kepler

En el problema de dos cuerpos sometidos a su mutua atracción gravitatoria, conocido como problema de Kepler o problema de los dos cuerpos, existen varias cantidades conservadas independientes del tiempo, la energía ${\displaystyle E_{m}\;}$, las tres componentes del momento angular ${\displaystyle \mathbf {L} }$ y las tres componentes del vector de Runge-Lenz ${\displaystyle \mathbf {A} }$ (y combinaciones de estas constantes entre sí). Sin embargo, puede probarse que no existen más de 5 integrales del movimiento que no dependan explícitamente del tiempo y que sean funcionalmente independientes, de hecho existen las siguientes relaciones entre las siete cantidades conservadas mencionadas:¹

${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {A} =L_{x}A_{x}+L_{y}A_{y}+L_{z}A_{z},\qquad E_{m}=-{\frac {\mu ^{2}(1-\|\mathbf {A} \|^{2})}{2\|\mathbf {L} \|^{2}}}}$

Utilidad de las integrales de movimiento

En general, el conocimiento de una integral de movimiento permite reducir la dimensión de un sistema de ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de un sistema mecánico. Análogamente permiten reducir un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias a otro sistema equivalente más pequeño.

Para que esta reducción pueda ser realmente útil es necesario que la integral de movimiento sea una función algebraica de la posición y los momentos. Si la integral resulta ser una función trascendente de las variables mecánicas la reducción no puede llevarse a cabo.

Sistemas conservativos unidimensionales

Un ejemplo de la utilidad de las integrales lo constituyen los sistemas hamiltonianos conservativos de un grado de libertad. En estos sistemas el principio de conservación de la energía implica que el hamiltoniano es una integral de movimiento que es función algebraica de la posición y el momento conjugado, ya que se cumplen las ecuaciones canónicas de Hamilton:

${\displaystyle {\frac {dH(p,q)}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p}}{\dot {p}}+{\frac {\partial H}{\partial q}}{\dot {q}}=-{\frac {\partial H}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}+{\frac {\partial H}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}=0}$

Es decir, el valor de la hamiltoniana a lo largo de las trayectorias permanece constante, de hecho, ese valor es igual a la energía E que es constante para dicho sistema. Suponiendo que el hamiltoniano tiene la forma típica, las ecuaciones de movimiento pueden ser integradas mediante una cuadratura:²

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}m{\dot {q}}^{2}+U(q)\Rightarrow \qquad t={\sqrt {\frac {m}{2}}}\int _{q_{0}}^{q(t)}{\frac {dq}{\sqrt {E-U(q)}}}+C_{1}}$

Esta última relación proporciona la función del tiempo q(t) buscada, que es la solución de las ecuaciones del movimiento.

Un ejemplo interesante de sistema que puede reducirse a un sistema conservativo unidimensional es el movimiento de una partícula moviéndose en un campo central.

Ecuación de Hamilton-Jacobi

El conocimiento de algunas constantes del movimiento se puede aprovechar para integrar la ecuación de Hamilton-Jacobi. Si se conoce una integral de movimiento ${\displaystyle \beta _{i}\,}$ entonces existe una coordenada canónicamente conjugada ${\displaystyle \alpha _{i}\,}$ tal que la acción satisface que:

${\displaystyle {\frac {\partial S(t,q_{i},\alpha _{i})}{\partial \alpha _{i}}}=\beta _{i}}$

Esa propiedad permite definir una transformación canónica dada por una función generatriz, y formar un hamiltoniano con una variable menos, lo cual reduce en dos el número de grados de libertad del sistema.

Integrales de movimiento en mecánica cuántica

Los conceptos anteriores pueden extenderse a la mecánica cuántica, donde una integral o constante de movimiento es un observable del sistema. En un sistema conservativo, cualquier observable que no dependa explícitamente del tiempo y cuyo conmutador con el hamiltoniano sea nulo, es una integral del movimiento.

El Movimiento Integral es una terapia corporal encaminada a devolver la total funcionalidad de músculos y articulaciones, a la mejoría o eliminación de los dolores musculares, dolores articulares y óseos.

Se trabaja desde una perspectiva sistémica, que tiene en cuenta que cualquier tensión o dolor, tanto físico como emocional, afecta a la musculatura y a la posición que se adopta.

El método de Movimiento Integral se basa en el trabajo sobre cadenas musculares creado por Françoise Meziérès, la cual dice:

“Los músculos son los responsables de las deformaciones de los huesos y las articulaciones (a excepción de fracturas y malformaciones congénitas).

Muchos problemas anatómicos se desencadenan por una falta de equilibrio antero-posterior y rigidez excesiva que no permite que el cuerpo tenga una actitud libre y natural“.

El trabajo corporal consiste en ejercicios suaves que repercuten en toda la cadena muscular, ayudando a eliminar las tensiones, permitiendo poco a poco recuperar la flexibilidad, la armonía y volver a la forma anatómica y natural.

Al tener una perspectiva sistémica se valora a la persona en su globalidad, por este motivo tenemos en cuenta que las preocupaciones del día a día también afectarán a cómo se encuentra, pudiendo afectar  la musculatura y crear tensiones. Por este motivo se puede añadir al trabajo corporal algún recurso de PNL, Gestalt, Análisis transaccional, que pueden proporcionar nuevas herramientas a la persona frente a las tensiones diarias. La terapia se puede realizar en sesiones individuales, en sesiones de grupos semanales y en talleres mensuales.

 Las sesiones individuales:

Consisten en manipulaciones unidas a ejercicios suaves y van encaminados a la necesidad específica de la persona.

La sesión es de hora y media.

 Las sesiones grupales semanales:

El trabajo grupal se realiza en grupos reducidos.

Se realizan ejercicios suaves y se trabaja sobre el estiramiento de las cadenas musculares.

Se tiene en cuenta las necesidades específicas de la persona.

Las sesiones son de hora y media.

 Los talleres mensuales:

Se realizan en grupos reducidos.

Cada mes se trabaja sobre una parte del cuerpo, se reconoce su movilidad y se realizan  ejercicios suaves para devolver la total funcionalidad.

Los talleres son de dos horas de duración.

¿Para quién está indicado el Movimiento Integral?

Sobre todo para aquellas personas con dolores y patologías del sistema musculo-articular, como pueden ser problemas en la columna vertebral que abarcan la hiperlordosis cervical y lumbar, la hipercifosis dorsal, escoliosis, cervicalgias, dorsalgias y lumbalgias, también alivia las hernias discales, las protuberancias de disco, los pinzamientos en el nervio ciático y crural; mejora muchísimo el dolor articular, la artrosis, la tendinitis, las bursitis y las demás dolencias de las articulaciones. En las contracturas musculares se nota un gran alivio llegando estas a desaparecer. A más a más, al ser un trabajo que va liberando el cuerpo del exceso de tensión física y emocional, podemos mejorar dolores de cabeza, problemas en el sistema digestivo, mejora el riego sanguíneo y otras patologías que son consecuencias de las tensiones musculares y emocionales.

ligadura a las condiciones sobre coordenadas de un sistema que están sujetas a restricciones independientes de las fuerzas actuantes. En cualquier sistema dinámico aparecen este tipo de ligaduras que constriñen el movimiento, además de fuerzas que controlan su evolución.

Definición

En la formulación clásica de la mecánica, el problema es poder expresar matemáticamente un fenómeno de modo que las fuerzas no aparezcan explícitamente debido a que muchas veces aparte de las condiciones iniciales lo que no se conoce precisamente es cuales son todas las fuerzas que actúan sobre el sistema. Es ahí donde surgen las fuerzas de ligadura, o simplemente ligaduras, cuando por ejemplo tenemos alguna partícula que tenga que moverse por un camino específico. Si éstas fuerzas de ligadura se conocieran simplemente se las sumaria con las demás fuerzas, pero el problema radica que por lo general se conocen éstas ligaduras y no las fuerzas resultantes en el sistema.

Suponiendo que tenemos ${\displaystyle \ n}$ grados de libertad para una partícula y ${\displaystyle \ m}$ coordenadas generalizadas, el número de ligaduras viene por la fórmula:

(1)${\displaystyle \ l=m-n}$

Tipos de ligaduras

A pesar que podrían existir muchos tipos de ligaduras. Los dos criterios principales son si las ligaduras son integrables (permiten reducir el número de grados de libertad) o no y si contienen explícitamente al tiempo o no. Una ligadura no lineal se representa generalmente como una relación entre las coordenadas generalizadas necesarias para describir un sistema así como sus derivadas. Así una ligadura es cualquier expresión del tipo:

(2)${\displaystyle \Phi (t;q_{i},{\dot {q}}_{i},{\ddot {q}}_{i},\dots )=0}$

Respecto a la integrabilidad de las ligaduras los sistemas se clasifican en:

• Ligaduras holónomas. Si la expresión (2) es constante respecto a las derivadas la coordenada se llama holónoma. En ese caso las ligaduras pueden escribirse de la forma ${\displaystyle \ f_{j}({\vec {r_{1}}},{\vec {r_{2}}},...,{\vec {r_{i}}},t)=0}$. Nótese que el número de ${\displaystyle \ j}$ condiciona al número de coordenadas que pueden existir, por lo que suele decirse que éstas ligaduras permiten eliminar grados de libertad al sistema.
• Ligaduras no holónomas.- cuando las coordenadas no pueden escribirse como holónomas. Así las ligaduras no holónomas no permiten eliminar los grados de libertad de un sistema. Estas ligaduras pueden clasificarse adicionalmente en lineales y no lineales.

Respecto a si las expresiones matemáticas que contienen las ligaduras contienen o no la variable tiempo las ligaduras se clasifican en:

• Ligaduras esclerónomas cuando las ligaduras son independientes del tiempo.
• Ligaduras reónomas cuando contienen al tiempo explícitamente, o sea son dependientes del tiempo.

Respecto a la linealidad, una ligadura es lineal de primer orden si puede expresarse:

${\displaystyle b(q_{i},t)+\sum _{j}a_{j}(q_{i},t){\dot {q}}_{j}=0}$

Las ligaduras holónomas son siempre lineales de primer orden ya que su derivada respecto al tiempo tiene la forma anterior. Sin embargo no toda ligadura lineal es holónoma, ya que existen ligaduras lineales que no pueden expresarse como una diferencial exacta y por tanto no son integrables. Algunos ejemplos de ligaduras son:

• Partícula moviéndose sobre una curva plana conocida y = f(x), esta ligadura es holónoma, y puede expresarse además como:

${\displaystyle {\dot {y}}-{\frac {df}{dx}}{\dot {x}}=0}$

• Rodamiento sin deslizamiento (ligadura lineal no holónoma), cuando una rueda orientable de radio R apoya sobre un plano sin deslizar existen dos relaciones entre la orientación de la rueda, la velocidad angular y las velocidades del punto de contacto de la rueda con el plano:

${\displaystyle {\dot {x}}-R{\dot {\varphi }}\cos(\theta )=0,\quad {\dot {y}}-R{\dot {\varphi }}\sin(\theta )=0}$

• Los dos ejemplos anteriores son casos de ligaduras esclerónomas ya que no contienen la variable tiempo.
• Un sistema disipativo, como por ejemplo una fricción seca entre superficies se puede representar como una ligadura lineal.