Planos de geometría

Razón de Semejanza -Semejanza de Polígonos

• 
  Oir Lecc.

Si nos fijamos en la figura siguiente podemos escribir las siguientes razones y proporciones teniendo en cuenta el teorema de Thales:

Cada una de las razones, es decir, cada uno de los cocientes indicados tiene el mismo valor. A este valor se le conoce con el nombre de razón de semejanza.

Sustituyendo los segmentos por sus valores:

hallamos la razón de semejanza 1,14

15.164 Calcula las medidas de los lados de un triángulo semejante al que tienes en la figura:

Sabemos que la razón de semejanza es 2.

Respuesta: 7,6 – 4,46 - y 5,82 cm.

SEMEJANZA DE POLÍGONOS

Polígonos semejantes son los que tienen iguales ángulos y sus ladoscorrespondientes son proporcionales.

Comprobemos paso a paso lo que acabas de leer:

Hemos dibujado un triángulo donde indicamos el valor de sus ángulos.

Ahora trazamos el segmento 

Los ángulos que se forman con lados comunes y lados paralelos son iguales, por lo tanto, los ángulos de los dos triángulos  son iguales y los lados:

son proporcionales.

Tomando medidas tenemos:

En:  sustituimos por sus valores y b tenemos:

Todas estas razones tienen el mismo valor (0,53razón de semejanza), luego podemos escribir con valores numéricos:

Nota. Recuerda que en los cálculos no hemos tenido en cuenta todas las cifras decimales de ahí que se producen errores de varias décimas.

15.165 ¿Son semejantes los dos triángulos  y  de la figura siguiente?

¿Por qué?

Respuesta: Sí, son semejantes porque tienen los mismos ángulos y los lados son proporcionales.

15.166 ¿Son semejantes los dos triángulos  y  de la figura siguiente?

¿Por qué son semejantes?

Respuesta: Sí, son semejantes. Tienen los mismos ángulos y sus lados son proporcionales.

Aplicaciones

A veces, cuando estudiamos algunas materias nos preguntamos: “y esto,… ¿para qué sirve?”

Hacerse este tipo de preguntas es muy aconsejable. Hallando las respuestas afianzamos la comprensión de lo que estamos estudiando.

Veamos algunos ejemplos prácticos:

15.167 Imagina que te encuentras en el campo y ves el árbol de la figura siguiente y quieres saber la altura que tiene. El único dato y suficiente es que hace un día espléndido.

También tienes un metro en el bolsillo.

Respuesta: 9,475 m.

Solución:

1) Donde acaba la sombra del árbol clavo una estaca de madera en el suelo. Esta vara mide fuera de la tierra 1,6 metros y proyecta una sombra de 2,5 metros.

2) Al mismo tiempo calculo la longitud de la sombra del árbol, desde la base de su tronco hasta la estaca de madera y compruebo que hay 12 metros.

Estas medidas las tienes colocadas en la siguiente figura:

Comprobarás que este caso ya lo hemos estudiado. La figura representa a dos triángulos semejantes.

Estos triángulos semejantes son y . Tienen ángulos iguales y lados proporcionales.

Siendo x la altura del árbol podemos escribir:

Podría haber escrito también la siguiente proporción:

Semejanza de Polígonos-2

• 
  Oir Lecc.

15.168 Calcula la altura del árbol de la figura siguiente:

Coloco un palo que mide 4 metros sobre la tierra y proyecta una sombra de 3 metros y en ese momento el árbol proyecta una sombra de 12 metros ¿Cuánto mide el árbol?

Respuesta: 16 metros

15.169 En la figura siguiente: ¿a qué distancia de la playa se encuentra el barco que ves en el horizonte? Dispones de 4 palos, un metro y has ensayado a dar pasos de un metro (en esa medida incluyes las longitudes de tus zapatos).

Respuesta: 1.500 metros.

Solución:

Coloco un palo (como los demás, en la playa) frente al barco y tengo en cuenta una línea imaginaria (color rojo) entre el barco y el palo (en color azul). A la longitud de esta línea le doy el valor X:

Ahora a partir del palo, giro 90º y camino de frente 100 pasos, es decir, 100 metros (para eso hemos ensayado) y en ese lugar introduzco en la arena otro palo:

A partir del segundo palo camino también de frente 2 metros y vuelvo a introducir el tercer palo:

A continuación, a partir del tercer palo giro 90º colocándome de espaldas al barco y cuento 30 metros e introduzco en tierra el último palo. A partir de aquí imagino una línea que pasando por el segundo palo llega hasta el barco:

Como ves, se han formado dos triángulos semejantes y  tal como tienes en la figura siguiente:

Como los ángulos son iguales (18º, 90º y opuestos por el vértice), los lados correspondientes son proporcionales, es decir, que podemos establecer la proporción:

15.170 Basándote en el plano que tienes a la derecha de la figura siguiente, calcula la anchura del río. Verás que en este caso nos hemos ahorrado un poco de trabajo. Los dos triángulos son semejantes, sus ángulos son iguales.

Respuesta: x = 90 metros

Figura:

15.171 Si hubiésemos tomado otras medidas en el mismo punto que la primera vez en la orilla donde nos encontramos ¿habríamos obtenido el mismo resultado?

Respuesta: Sí, aproximadamente.

Solución:

Si las medidas en nuestra orilla hubiesen sido las que figuran a continuación obtendríamos la misma respuesta:

Comprueba: