Planos de geometría

Lugar Geométrico

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  Oir Lecc.

¿Qué se entiende por lugar geométrico?

Imagínate una serie de puntos en un plano en que todos gozan de la misma propiedad a ese conjunto de puntos le llamamos lugar geométrico.

Seguramente te he aclarado muy poco. Veamos un ejemplo muy sencillo.

Últimamente hemos estudiado diversos aspectos de la circunferencia. La circunferencia la dibujamos en un plano, un papel, la pizarra, etc., y en realidad se trata de muchos puntos que poseen todos, la misma propiedad y es que equidistan (están a igual distancia) de otro punto fijo que llamamos centro.

En este caso, la circunferencia es un lugar geométrico.

En la figura tienes 50 puntos muy grandes redondos de color amarillo. Todos estos puntos amarillos gozan de la propiedad de estar a la misma distancia del centro, representado por un gran punto circular de color rojo. La distancia de cada punto al centro viene representada por una línea azul y es la misma para todos los puntos amarillos.
El lugar geométrico de los puntos amarillos representa a una circunferencia.

El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos se llama mediatriz:

Cualquiera de las líneas de puntos de D tiene la misma longitud que su correspondiente en D’.

Recuerda que la mediatriz de un segmento  es la perpendicular a este segmento cuyos puntos están a igual distancia de A y B y divide a  en dos partes iguales.Podemos definir a la mediatriz de un segmento como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos A y B.

Todos los puntos de la mediatriz gozan de la propiedad de equidistar de dos puntos fijos.

Anteriormente definimos la bisectriz de un ángulo como la recta que partiendo del vértice divide a un ángulo en dos partes iguales.

Ahora, como lugar geométrico de los puntos del plano, podríamos definir:

Bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo.

En el siguiente dibujo vemos la bisectriz cuyos puntos están a igual distancia D del lado de las ordenadas que la distancia D’ con relación al eje de la abscisa:

En este caso, todos los puntos del plano de la bisectriz gozan de la propiedad de equidistar de los lados.

15.158 ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano que distan la misma longitud D respecto a otra recta dada?

Respuesta: Una recta paralela a otra dada.

Solución:

Si tenemos una recta r:

y desde cada punto de esta línea coloco una distancia d:

Obtendré una sucesión de puntos que gozan todos de estar a la misma distancia d:

siendo estos puntos los que forman la nueva recta r’ paralela a r:

Arco capaz de un Segmento - Potencia de un Punto

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  Oir Lecc.

Se llama arco capaz de un segmento  para un ángulo determinado, siempre con su misma medida, al lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve dicho segmento:

En esta figura puedes apreciar el arco  que corresponde al segmento Este arco está compuesto por los puntos del plano desde los cuales vemos el segmento .

Te habrás dado que estos ángulos cuyos vértices crean el arco capaz son ángulos inscritos, como es lógico, todos tienen el mismo valor en nuestro ejemplo 63º. Desde este ángulo podemos ver completamente el segmento .

Todos los puntos del plano desde donde vemos un segmento llamamos arco capaz en nuestro caso del segmento .

Lógicamente no podemos representar todos los puntos del arco capaz de ver el segmento completamente, solamente hemos presentado seis.

POTENCIA DE UN PUNTO

Se llama potencia de un punto respecto de una circunferencia alproducto de las distancias que hay desde un punto exterior a la circunferencia hasta cada uno de los puntos de intersección de la recta secante con la circunferencia.

Observa la siguiente figura en la que ves varias rectas secantes respecto a una circunferencia.

Todas ellas parten del punto P. El producto de las distancias entre dicho punto Py las intersecciones de cada recta con la circunferencia, se mantienen constantes.

Los producto de las distancias de:

15.159 La potencia del punto P de la figura siguiente vale 37,62. La distancia entre P y A es de 3,8 cm. ¿Cuántos cm., hay entre A y B?

Respuesta: 6,12 cm.

Solución:

Me dice el enunciado del problema que:

15.160 Hallar las distancias y sabiendo que la potencia del punto P con relación a la circunferencia con centro en O vale 50 y una distancia vale el doble de la otra:

Respuestas: 

Segmentos Proporcionales -Teorema de Thales de Mileto

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  Oir Lecc.

¿Qué se entiende por razón de dos segmentos?

Se trata del cociente indicado de sus medidas: La razón de 5 cm., y 2 m., es:

¿Qué entendemos por proporción?

Llamamos proporción a la igualdad de dos razones:

El primero y últimos términos de una proporción (a y d), (5 y 40)son los términos extremos. Los términos (b y c), (200 y 1) son los términos medios.

En toda proporción, el producto de los valores de los términos extremos es igual al producto de las medidas de los términos medios.

De un modo más breve se acostumbra decir: “Producto de medios igual al producto de extremos”.

THALES DE MILETO

Thales nació en la ciudad de Mileto (Grecia) alrededor del año 624 antes de Cristo y murió después de más de 70 años en la misma ciudad que ahora pertenece a Turquía.

Ha sido uno de los hombres más sabios con muchos conocimientos de astronomía, matemáticas y filosofía.

La frase: “La esperanza es el único bien común a todos los hombres, los que todo lo han perdido la poseen aún” es de Thales.

Para nosotros, en este momento, es importante por su teorema.

Teorema es algo que se expone, se ofrece o se propone como verdad que la podemos demostrar.

TEOREMA DE THALES

Dos rectas concurrentes r y s cortadas por paralelas (a, b, c y d) los segmentos que se han creado en una de las rectas son proporcionales a sus correspondientes en la otra recta.

Nota. En algunas medidas de los próximos problemas los decimales de algunas medidas están redondeadas.

Comprueba detenidamente cuanto acabamos de decir observando la siguiente figura:

Formamos las razones siguientes:

Sustituimos los segmentos indicados por sus valores:

Hallamos los cocientes:

Los cocientes son iguales, luego:

es decir, que los segmentos creados en una recta son proporcionales a los correspondientes formados en la otra.

Encontramos más proporciones entre los valores de los segmentos formados en una y otra recta.

Vemos que:

También podemos establecer la siguiente proporción:

15.161 Calcula la distancia  en el ejemplo siguiente:

Respuesta: 4,5 cm.

Solución:

La respuesta la obtenemos de la proporción:

15.162 Calcula el valor de x en la siguiente figura:

Respuesta: 3 cm.

Solución:

15.163 Hallar la longitud del segmento en la siguiente figura:

Respuesta: 2,5 cm.

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