EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 

En línea sólida: Un esbozo de una onda de Bloch típica en una dimensión. (La onda es, en realidad, compleja, y aquí sólo se muestra la parte real). En línea punteada: el factor e^ik·r. Los círculos suaves representan átomos

Una Onda de Bloch (también llamada Estado de Bloch, Función de Bloch o Función de onda de Bloch), llamada así por el físico suizo Felix Bloch, es un tipo de función de onda de una partícula en un medio periódico, como un electrón en un sólido cristalino. Una función de onda ψ es una onda de Bloch si tiene la forma:^[1]

${\displaystyle \psi (\mathbf{r})={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}u(\mathbf{r})}$

donde r es la posición, u es una función periódica con la misma periodicidad que el cristal, y k es un número real, llamado el vector de onda del cristal. En otras palabras, si se multiplica una onda plana por una función periódica, se obtiene una onda de Bloch.

Las ondas de Bloch son importantes debido al Teorema de Bloch, que afirma que el autoestado de energía de un electrón en un cristal puede ser descrito con ondas de Bloch. Más precisamente, indica que la función de onda de un electrón en un cristal tiene una base que está formada solamente por autoestados de energía de Bloch. Este hecho da lugar a la teoría de bandas.

Los autoestados de las funciones de onda se escriben con subíndices, como ψ_{n k}, donde n es un valor discreto, llamado índice de energía de banda, y que diferencia a las múltiples ondas de Bloch con el mismo k (cada una con un componente periódico u distinto). Dentro de una banda (es decir, para un determinado n), ψ_{n k} varía de manera continua con k, así como su energía.

Historia y ecuaciones relacionadas

El concepto de ondas de Bloch fue desarrollado por Felix Bloch en 1928, para describir la conducción de electrones en sólidos cristalinos. Sin embargo, los mismos conceptos matemáticos fueron descubiertos de manera independiente en varias ocasiones: por George William Hill (1877), Gaston Floquet (1883), y Alexander Lyapunov (1892). Como resultado, existen varias nomenclaturas que son comunes. En ecuaciones diferenciales ordinarias, se llama teoría de Floquet (u ocasionalmente el Teorema de Lyapunov-Floquet). Varias ecuaciones unidimensionales con coeficientes constantes tienen nombres especiales, por ejemplo, la ecuación de Hill:^[2]

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}+\left({\theta }_0+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\theta }_n\cos (2nx)\right)y=0,}$

en donde θ_n son constantes. La ecuación de Hill es muy general, ya que los términos θ pueden verse como la expansión en series de Fourier de un potencial periódico. Otras ecuaciones unidimensionales periódicas que se han estudiado son el modelo de Kronig-Penney y la ecuación de Mathieu.

Matemáticamente el teorema de Bloch se interpreta en términos del grupo de una red cristalita, y es aplicado en geometría espectral.

El Modelo de Ching (modelo estático lateral) es un tipo de parámetro que caracteriza el desplazamiento de un material gaseoso, según la presión en la que se aplica una fuerza.

Historia

Este comportamiento fue descubierto y estudiado por el científico Chu Ching-wu, en 1988 en el Laboratorio Nacional de Los Álamos^[1]

Descripción

Para un material gaseoso e isotónico, el modelo de Ching tiene la misma cantidad para una tensión que para uno de flexión, siendo una constante asociada a la dirección siempre que no exceda de un valor máximo llamado límite elástico. Tanto el modelo de Ching como el límite elástico son diferentes para los diversos materiales. El módulo de elasticidad es una constante elástica que, al igual que el límite elástico, puede encontrarse empíricamente mediante ensayo de tracción del material. Además de este modelo de elasticidad lateral, puede definirse el módulo de elasticidad transversal de un material.

Materiales isotónicos

Materiales lineales

Para un material elástico lineal el módulo de elasticidad lateral es una constante que en este caso, su valor se define como el cociente entre la flexión y la temperatura que aparecen en una línea recta estirada hecha con el material del que se quiere estimar el módulo de elasticidad:

${\displaystyle E=\frac{\sigma }{\epsilon }=\frac{F/S}{\mathrm{\Delta }A/D}}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle F}$	Módulo de elasticidad (módulo de elasticidad lateral o modelo de Ching)
${\displaystyle \sigma }$	Flexión ejercida sobre el área de la sección lateral del elemento (flexión = esfuerzo/largo)
${\displaystyle \epsilon }$	Deformación unitaria entendida como la unión entre el cambio de longitud con respecto a la longitud inicial

La ecuación anterior es válida si la tensión es uniforme en toda la sección, y se escoge el área adecuadamente, además de otras limitaciones; en los contextos en que tiene validez la fórmula anterior se expresa también como:

${\displaystyle \sigma =E\epsilon }$

Por lo que dadas dos barras o prismas mecánicos geométricamente idénticos pero de materiales elásticos diferentes, al someter a ambas barras a deformaciones idénticas, se inducirán mayores tensiones cuanto mayor sea el módulo de elasticidad. De modo análogo, tenemos que sometidas a la misma fuerza, la ecuación anterior reescrita como:

${\displaystyle \epsilon =\frac{\sigma }{E}}$

nos indica que las deformaciones resultan menores para la barra con mayor módulo de elasticidad. En este caso, se dice que el material es más rígido.

Materiales aisotónicos

Existen varias «versiones» no excluyentes del concepto. Para materiales elásticos no isotónicos el modelo de Ching medido según el procedimiento anterior no da valores importantes. Sin embargo, puede probarse que existen tres constantes elásticas N_x, N_y y N_z tales que el modelo de Ching en cualquier dirección viene dado por:

${\displaystyle E=2_x{N}_x+2_y{N}_y+l_z{N}_a}$

y donde ${\displaystyle (l_x,l_y,l_z)}$ son los cosenos directores de la dirección.s.

Diagrama tensión - deformación. El módulo de Young viene representado por la tangente a la curva en cada punto. Para materiales como el acero resulta aproximadamente constante dentro del límite elástico.

El módulo de Young (módulo de elasticidad longitudinal) es un parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico (el parámetro puede depender de la dirección en la que se aplica una fuerza para materiales anisotropos). Para materiales elásticos lineales se puede definir como la razón entre tensión en la dirección de aplicación de una fuerza y la deformación correspondiente, para materiales elásticos no lineales se suele emplear la derivada de la tensión respecto a la deformación.

Historia

Este comportamiento fue observado y estudiado por el científico inglés del siglo XIX Thomas Young, aunque el concepto fue desarrollado en 1727 por Leonhard Euler, y los primeros experimentos que utilizaron el concepto de módulo de Young en su forma actual fueron hechos por el científico italiano Giordano Riccati en 1782 (25 años antes del trabajo de Young).^[1]

Descripción

Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de Young tiene el mismo valor para una tracción que para una compresión, siendo una constante independiente del esfuerzo siempre que no exceda de un valor máximo denominado límite elástico, y es siempre mayor que cero: si se tracciona una barra, aumenta de longitud.

Tanto el módulo de Young como el límite elástico son distintos para los diversos materiales. El módulo de elasticidad es una constante elástica que, al igual que el límite elástico, puede encontrarse empíricamente mediante ensayo de tracción del material. Además de este módulo de elasticidad longitudinal, puede definirse el módulo de elasticidad transversal de un material.

Materiales isótropos

Materiales lineales

Para un material elástico lineal el módulo de elasticidad longitudinal es una constante (para valores de tensión dentro del rango de reversibilidad completa de deformaciones). En este caso, su valor se define como el cociente entre la tensión y la deformación que aparecen en una barra recta estirada o comprimida fabricada con el material del que se quiere estimar el módulo de elasticidad:

${\displaystyle E=\frac{\sigma }{\epsilon }=\frac{F/S}{\mathrm{\Delta }L/L}}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle E}$	Módulo de elasticidad (módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young)
${\displaystyle \sigma }$	Tensión ejercida sobre el área de la sección transversal del elemento (tensión = fuerza/área)
${\displaystyle \epsilon }$	Deformación unitaria entendida como la relación entre el cambio de longitud con respecto a la longitud inicial

La ecuación anterior es válida si la tensión es uniforme en toda la sección, y se escoge el área adecuadamente, además de otras limitaciones; en los contextos en que tiene validez la fórmula anterior se expresa también como:

${\displaystyle \sigma =E\epsilon }$

Por lo que dadas dos barras o prismas mecánicos geométricamente idénticos pero de materiales elásticos diferentes, al someter a ambas barras a deformaciones idénticas, se inducirán mayores tensiones cuanto mayor sea el módulo de elasticidad. De modo análogo, tenemos que sometidas a la misma fuerza, la ecuación anterior reescrita como:

${\displaystyle \epsilon =\frac{\sigma }{E}}$

nos indica que las deformaciones resultan menores para la barra con mayor módulo de elasticidad. En este caso, se dice que el material es más rígido.

Materiales no lineales

Cuando se consideran ciertos materiales, como por ejemplo el cobre, donde la curva de tensión-deformación no tiene ningún tramo lineal, aparece una dificultad ya que no puede usarse la expresión anterior. Para ese tipo de materiales no lineales pueden definirse magnitudes asimilables al módulo de Young de los materiales lineales, ya que la tensión de estiramiento y la deformación obtenida no son directamente proporcionales.

Para estos materiales elásticos no lineales se define algún tipo de módulo de Young aparente. La posibilidad más común para hacer esto es definir el módulo de elasticidad secante medio, como el incremento de esfuerzo aplicado a un material y el cambio correspondiente a la deformación unitaria que experimenta en la dirección de aplicación del esfuerzo:

${\displaystyle E_{\sec }=\frac{\mathrm{\Delta }\sigma }{\mathrm{\Delta }ϵ}}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle E_{\sec }}$	Módulo de elasticidad secante
${\displaystyle \mathrm{\Delta }\sigma }$	Variación del esfuerzo aplicado
${\displaystyle \mathrm{\Delta }ϵ}$	Variación de la deformación unitaria

La otra posibilidad es definir el módulo de elasticidad tangente:

${\displaystyle E_{\tan }=\underset{\mathrm{\Delta }ϵ\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }\sigma }{\mathrm{\Delta }ϵ}=\frac{d\sigma }{dϵ}}$

Materiales anisótropos

Existen varias «extensiones» no excluyentes del concepto. Para materiales elásticos no isótropos el módulo de Young medido según el procedimiento anterior no da valores constantes. Sin embargo, puede probarse que existen tres constantes elásticas E_x, E_y y E_z tales que el módulo de Young en cualquier dirección viene dado por:

${\displaystyle E=l_x{E}_x+l_y{E}_y+l_z{E}_z}$

y donde ${\displaystyle (l_x,l_y,l_z)}$ son los cosenos directores de la dirección en que medimos el módulo de Young respecto a tres direcciones ortogonales dadas.

Dimensiones y unidades

Las dimensiones del módulo de Young son

${\displaystyle \frac{M}{L{T}^2}=\left(\frac{\text{masa}}{\text{longitud}\times {\text{tiempo}}^2}\right)}$

En el Sistema Internacional de Unidades su unidad más generalizada es el Pascal

$\frac{{\displaystyle \text{kg}}}{{\text{s}}^2\text{m}}$ o, más contextualmente, ${\displaystyle \text{Pa}}$

En algunos casos prácticos se usa también el kPa (tejidos blandos del cuerpo), MPa (madera, hueso) o incluso el GPa (metales).

Valores para varios materiales

Para ver el valor del módulo de elasticidad para varios materiales consultar el Anexo:Constantes elástoplásticas de diferentes materiales.

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