EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 La Ecuación de Colebrook-White es una fórmula usada en hidráulica para el cálculo del factor de fricción de Darcy también conocido como coeficiente de rozamiento. Se trata del mismo factor que aparece en la ecuación de Darcy-Weisbach.

La expresión de la fórmula de Colebrook-White (1937, 1939)^[1][2] es la siguiente:

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\lambda }}=-2{\log }_{10}\left(\frac{k/D}{3,7}+\frac{2,51}{Re\sqrt{\lambda }}\right)}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle Re}$	Número de Reynolds
${\displaystyle k/D}$	Rugosidad relativa
${\displaystyle \lambda }$	Factor de fricción

El campo de aplicación de esta fórmula se encuentra en la zona de transición de flujo laminar a flujo turbulento y flujo turbulento. Para la obtención de ${\displaystyle \lambda }$ es necesario el uso de métodos iterativos. Otra forma más sencilla y directa de obtener el valor de ${\displaystyle \lambda }$ es hacer uso del diagrama de Moody.

Para el caso particular de tuberías lisas la rugosidad relativa, es decir la relación entre la rugosidad en las paredes de la tubería y el diámetro de la misma, es muy pequeño con lo que el término ${\displaystyle k/D}$ es muy pequeño y puede despreciarse el primer sumando situado dentro del paréntesis de la ecuación anterior. Quedando en este caso particular la ecuación del siguiente modo:

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\lambda }}=2{\log }_{10}\left(Re\sqrt{\lambda }\right)-0,8}$

Para números de Reynolds muy grandes el segundo sumando situado dentro del logaritmo de la ecuación de Colebrook-White es despreciable. En este caso la viscosidad no influye en la práctica a la hora de determinar el coeficiente de fricción, este únicamente depende de la rugosidad relativa ${\displaystyle k/D}$ de la tubería. Esto se manifiesta en el diagrama de Moody en que en la curva para valores elevados de ${\displaystyle Re}$ se hacen rectas horizontales.

Aproximaciones conocidas para el cálculo del factor de fricción

Para la solución de la ecuación implícita de Colebrook-White se han planteado diversos técnicas divididas en dos tipos principalmente^[3]

Métodos iterativos implícitos.

Existen varias formas de solucionar la ecuación de Colebrook-White de forma iterativa pero se presenta aquí solo el algoritmo de Newton-Raphson.^[4]

Solución implícita por Iteración de Método de Newton-Raphson

La ecuación se plantea con un proceso iterativo en ${\displaystyle \lambda }$.

Primero es necesario suponer un valor de ${\displaystyle \lambda =0.001}$

Calcular:

${\displaystyle x=\frac{1}{{\lambda }^{0.5}}}$

${\displaystyle a=\frac{k/D}{3.70}}$

${\displaystyle b=\frac{2.51}{Re}}$

${\displaystyle f(x)=-2.0\cdot lo{g}_{10}(a+b\cdot x)}$

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{-2.0}{ln(10)}\cdot (\frac{b}{a+b\cdot x})}$

${\displaystyle \mathrm{\Delta }=\frac{f(x)-x}{f^{\prime }(x)-1}}$

Si entonces

${\displaystyle x=x-\mathrm{\Delta }}$

Repetir hasta lograr convergencia en ${\displaystyle x}$.

Por último calcular ${\displaystyle \lambda }$ a partir de ${\displaystyle x}$.

${\displaystyle \lambda =\frac{1}{x^2}}$

Donde ${\displaystyle \lambda }$ está en función de:

Símbolo	Nombre	Unidad
${\displaystyle k}$	Rugosidad de la tubería	(mm) o (pulg)
${\displaystyle D}$	Diámetro	(mm) o (pulg)
${\displaystyle Re}$	Número de Reynolds

Métodos directos, explícitos.

Existen muchas ecuaciones explícitas a la ecuación de Colebrook-White como:

• Moody (1944,^[5] 1947^[6]),

• Wood (1966^[7]),

• Eck (1973^[8]),

• Churchill (1973^[9]),

• Swamee & Jain (1976^[10]),

• Chen (1979^[11]),

• Round (1980^[12]),

• Barr (1981^[13]),

• Zigrang and Sylvester (1982^[14]),

• Haaland (1983^[15]),

• Serghides (1984^[16]),

• Manadilli (1997^[17]),

• Romeo et al (2002^[18]),

• Sonnad and Goudar (2006^[19]),

• Buzelli (2008^[20]),

• Avci and Karagoz (2009^[21]),

• Papaevangelou et al. (2010^[22]) and

• Brkic (2011^[23]).

Sin embargo debe recordarse que estas ecuaciones corresponden a aproximaciones y regresiones de valores calculados a partir de métodos implícitos como el de Newton-Raphson. Tan sólo la ecuación de Avci and Karagoz (2009) ha sido desarrollada a partir de datos de laboratorio recientes conocidos como "Princeton University super-pipe data".^[24]

Solución explícita con la ecuación de Goudar–Sonnad

La ecuación de Goudar es una de las aproximaciones para hallar el factor de fricción ${\displaystyle \lambda }$ de Darcy–Weisbach, en tuberías circulares; la cual ha sido calculada de la ecuación de Colebrook–White. Teniéndose:

${\displaystyle a=\frac{2}{\ln (10)}}$

${\displaystyle b=\frac{k/D}{3.7}}$

${\displaystyle d=\frac{\ln (10)Re}{5.02}}$

${\displaystyle s=bd+\ln (d)}$

${\displaystyle q=s^{s/(s+1)}}$

${\displaystyle g=bd+\ln \frac{d}{q}}$

${\displaystyle z=\ln \frac{q}{g}}$

${\displaystyle D_{LA}=z\frac{g}{g+1}}$

${\displaystyle D_{CFA}=D_{LA}\left(1+\frac{z/2}{(g+1{)}^2+(z/3)(2g-1)}\right)}$

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\lambda }}=a\left[\ln \left(\frac{d}{q}\right)+D_{CFA}\right]}$

Donde λ está en función de:

• Rugosidad de la tubería, ${\displaystyle k}$ (mm, pulgada)
• Diámetro, ${\displaystyle D}$ (mm, pulgada)
• Número de Reynolds, ${\displaystyle Re}$ (adimensional).

Discusión acerca del error de las aproximaciones

Brkic,^[3] encontró que las aproximaciones con menor error máximo (<0.14%) son las de Romeo-Royo-Monzon, Buzelli, Serghides, Zigrang-Silvester. Mientras que del otro lado de la balanza, las aproximaciones con mayor error relativo (>8.0%) fueron las de Eck, Round, Moody, Wood, Rao-Kumar.

Un resultado interesante de este trabajo radica en que la aproximación más usada para aproximar la ecuación de Colebrook suele ser la de Swamee y Jain, pero esta presenta un error máximo relativo superior al 2.0%.

En dinámica de fluidos, la ecuación de Darcy-Weisbach es una ecuación empírica que relaciona la pérdida de carga hidráulica (o pérdida de presión) debido a la fricción a lo largo de una tubería dada con la velocidad media del flujo del fluido. La ecuación obtiene su nombre en honor al francés Henry Darcy y al alemán Julius Weisbach (ingenieros que proporcionaron las mayores aportaciones en el desarrollo de tal ecuación).

Contiene un factor adimensional, conocido como el factor de fricción de Darcy o de Darcy-Weisbach, el cual es cuatro veces el factor de fricción de Fanning (en honor al ingeniero estadounidense John Fanning), con el cual no puede ser confundido.^[1]

Definición

La ecuación de Darcy-Weisbach es una ecuación ampliamente usada en hidráulica. Permite el cálculo de la pérdida de carga debida a la fricción dentro una tubería llena. La ecuación fue inicialmente una variante de la ecuación de Prony, desarrollada por el francés Henry Darcy. En 1845 fue refinada por Julius Weisbach, de Sajonia.

Esta fórmula permite la evaluación apropiada del efecto de cada uno de los factores que inciden en la pérdida de energía en una tubería. Es una de las pocas expresiones que agrupan estos factores. La ventaja de ésta fórmula es que puede aplicarse a todos los tipos de flujo hidráulico (laminar, transicional y turbulento), debiendo el coeficiente de fricción tomar los valores adecuados, según corresponda.

Fórmula general

La forma general de la ecuación de Darcy-Weisbach es:

${\displaystyle h_f=f\cdot \frac{L}{D}\cdot \frac{u^2}{2g}}$

Símbolo	Nombre	Unidad
${\displaystyle h_f}$	Pérdida de carga debida a la fricción	m
${\displaystyle f}$	Factor de fricción de Darcy
${\displaystyle L}$	Longitud de la tubería	m
${\displaystyle D}$	Diámetro interno de la tubería	m
${\displaystyle u}$	Velocidad media del fluido	m / s
${\displaystyle g}$	Aceleración de la gravedad (≈ 9,80665 m / s2)[2]	m / s2

Ecuaciones empíricas, principalmente la ecuación de Hazen-Williams, son ecuaciones que, en la mayoría de los casos, eran significativamente más fáciles de calcular. No obstante, desde la llegada de las calculadoras la facilidad de cálculo no es mayor problema, por lo que la ecuación de Darcy-Weisbach es la preferida.

Previo al desarrollo de la computación otras aproximaciones como la ecuación empírica de Prony eran preferibles debido a la naturaleza implícita del factor de rozamiento.

Fórmula en función del caudal

La fórmula de Darcy–Weisbach puede ser escrita, en función del caudal ${\displaystyle Q}$, como:

${\displaystyle h_f=f\frac{8\cdot L\cdot Q^2}{g\cdot {\pi }^2\cdot D^5}}$

La fórmula de Darcy–Weisbach puede ser reescrita en el formato estándar de pérdida de carga como:

${\displaystyle h_f=\left(f\frac{8}{g\cdot {\pi }^2\cdot D^5}\right)\cdot L\cdot Q^2}$

o simplificando por el valor estándar de ${\displaystyle g}$ para el sistema internacional de unidades

siendo:

${\displaystyle B=\left(f\frac{8}{g\cdot {\pi }^2\cdot D^5}\right)}$

${\displaystyle R=B\cdot L}$

${\displaystyle n=2}$

Fórmula estándar de la pérdida de carga

La pérdida de carga hidráulica o de energía en una conducción forzada o tubería es igual a:

${\displaystyle h_{f_i}=B_i\cdot L_i\cdot (Q_i{)}^n}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle h_{f_i}}$	Pérdida de carga o de energía en una tubería
${\displaystyle B_i}$	Coeficiente en función del diámetro de tubería y de un factor de pérdida adimensional (En algunos casos se considera el Número de Reynolds)
${\displaystyle L_i}$	Longitud de tubería
${\displaystyle Q_i}$	Caudal que circula por la tubería
${\displaystyle n}$	Exponente que afecta al caudal. Usualmente este toma el valor de 2, como en la fórmula de Darcy-Weisbach. En otros casos adquiere un valor fraccionario o decimal, como en la fórmula de Hazen-Williams (lo que hace alusión a su origen estadístico)

La fórmula estándar de la pérdida de carga hidráulica o de energía en una conducción forzada debe ser reescrita en la forma resumida:

(1)${\displaystyle h_{f_i}=R_i\cdot (Q_i{)}^n}$

siendo:

${\displaystyle h_{f_i}}$ ~ Pérdida de Carga o de energía en una tubería

${\displaystyle R_i}$ ~ Rugosidad hidráulica, cuyo valor esta en función de la Longitud, el Diámetro de tubería y de un factor de pérdida adimensional, según diversos autores.

${\displaystyle Q_i}$ ~ Caudal que circula por la tubería.

${\displaystyle n}$ ~ Exponente que afecta al caudal. Usualmente este toma el valor de 2, como en la fórmula de Darcy-Weisbach. En otros casos adquiere un valor fraccionario o decimal, como en la fórmula de Hazen-Williams.

La expresión estándar presentada aquí, es una forma general de agrupar a casi todas las fórmulas existentes para el cálculo de la pérdida de carga en una conducción cerrada.

El teorema de Oros establece una relación de afinidad entre sistemas eléctricos simples (circuitos de resistores en serie y paralelo, sistemas mixtos serie-paralelo y/o paralelo-serie) con los sistemas de tuberías en serie y paralelo, sistemas mixtos de tuberías serie-paralelo y/o paralelo-serie.

La Pérdida de carga ${\displaystyle h_f}$, el Caudal ${\displaystyle Q}$ circulante por la tubería y la Rugosidad de las tuberías ${\displaystyle R}$, están relacionados entre sí.

La pérdida de carga por rugosidad hidráulica

Para comprender el concepto de Rugosidad Hidráulica, se deben considerar las siguientes observaciones:

• la viscosidad del fluido es uniforme a través del sistema de tubería. Esta magnitud física solo es afectada directamente por la temperatura del mismo fluido;
• la temperatura del fluido es uniforme a través del sistema de tuberías, mientras circula a través del sistema de tuberías;
• los efectos combinados de la viscosidad y de la temperatura no ejercen influencia sobre el comportamiento físico del flujo en el sistema de tuberías.

La “rugosidad hidráulica”, en su nueva concepción debe ser igual a:

${\displaystyle R_i=B_i\cdot L_i}$

Reescribiendo la fórmula de la pérdida de carga hidráulica o de energía, esta toma la forma:

(2)${\displaystyle h_{f_i}=R_i\cdot (Q_i{)}^n}$

Que es la forma reducida de la fórmula de la pérdida de carga hidráulica o de energía, presentada en (1).

Factor de fricción

El factor de fricción ${\displaystyle f}$ es adimensional y varía de acuerdo a los parámetros de la tubería (rugosidad y diámetro) y del tipo de flujo (número de Reynolds).

Para flujos laminares

Como consecuencia de la Ley de Poiseuille, ${\displaystyle f}$ se relaciona con el número de Reynolds (${\displaystyle Re}$) como:

${\displaystyle f=\frac{64}{Re}}$

Para flujo en transición y turbulento

Para un número de Reynolds 2300 < ${\displaystyle Re}$ < 4000, se considera que el fluido presenta régimen de flujo transicional. En la zona de transición, los valores de ${\displaystyle f}$ son inciertos, ya que el flujo se comporta de manera dual, laminar y turbulentamente, mostrando gran inestabilidad.

Para ${\displaystyle Re}$ > 4000, en el régimen de flujo turbulento, muchos investigadores se han esforzado en calcular ${\displaystyle f}$ tanto a partir de resultados de experimentos propios como de resultados obtenidos por otros investigadores.

La ecuación más usada para calcular el factor de fricción en este tipo de régimen de flujo es la Ecuación de Colebrook-White.

Distribución de iones en una disolución

La ecuación de Debye-Hückel es un modelo que describe una mezcla de iones (electrolitos), inmersos en un medio dieléctrico continuo de temperatura T, presión P y concentración molar ${\displaystyle c_i}$, en donde los iones de diferente tipo se denotan como i.

En 1923, Peter Debye con su asistente Erich Hückel, desarrolló una mejora en la teoría de Svante Arrhenius sobre la conductividad eléctrica en soluciones electrolíticas, conocida como ecuación de Debye-Hückel, que hoy en día aún se considera como un importante paso en la comprensión de las soluciones electrolíticas. Las consideraciones retomadas por Debye y Huckel se basan en que las únicas interacciones presentes en ese medio son las electrostáticas.

Aproximaciones

El medio en el que los electrolitos están inmersos es un dieléctrico continuo sin tener en cuenta una estructura molecular que pertenezca a ella, con constante dieléctrica ${\displaystyle {\epsilon }_0}$, que es dependiente de la temperatura y la presión. Los iones son del tipo Van der Waals, esféricos e impenetrables no polarizables, de radio ${\displaystyle a_i(}$tipo i) y carga eléctrica ${\displaystyle z_i}$, sometidos a una campo eléctrico de simetría esférica con un potencial eléctrico ${\displaystyle \phi (r)}$.

La energía de interacción electrostática es pequeña comparada con la energía térmica: ${\displaystyle z_{i}F\phi (r)}$ mayor que ${\displaystyle RT}$ y además todos los electrolitos están disociados.

Las condiciones de contorno se presentan por las siguientes consideraciones:

1. El sistema (soluto y electrolitos) es eléctricamente neutro.
2. El valor medio temporal de la densidad volúmica de carga eléctrica ${\displaystyle \rho }$ es nula en cualquier diferencial de volumen ${\displaystyle \mathrm{d}V}$, además su potencial eléctrico también es nulo respecto a otro diferencial de volumen.
3. Alrededor de una carga denotada como el ion central j, estará rodeada por valores medios temporales de densidad volúmica de carga ${\displaystyle \rho (j)}$ y ${\displaystyle \phi (j)}$ finitos no nulos los cuales alrededor de la carga central j predominarán los valores de carga de signo contrario a j. Por tanto la simetría esférica y la electroneutralidad llevan a escribir lo siguiente:

${\displaystyle {\int }_{a_j}^{\mathrm{\infty }}{\rho }_j(r)4\pi r^2\mathrm{d}r=-z_{j}e}$

1. Se puede involucrar la ecuación de Poisson debido a que las cargas son estáticas.

Derivación

Ya asumidas las condiciones de contorno y las consideraciones se puede plantear el procedimiento ubicándonos en el ion central j, observando que debido a las interacciones electrostáticas, una distribución radial no uniforme de la densidad numérica ${\displaystyle n_i(r)}$ (=Na ci) de las distintas especies iónicas (i) presentes alrededor de la carga j.

${\displaystyle n_i^j(r)=n_i^j(\mathrm{\infty })f_{ij}(r)}$

donde

• ${\displaystyle n_i^j(a_j)=0}$
• ${\displaystyle n_i^j(\mathrm{\infty })=n_i}$
• ${\displaystyle f_{ij}(a_j)=0}$
• ${\displaystyle f_{ij}(\mathrm{\infty })=1}$, donde ${\displaystyle f_{ij}}$ es un factor de proporcionalidad denotado como ${\displaystyle f_{ij}=\exp \left(\frac{z_{i}e{\phi }_j(r)}{kT}\right)}$, del tipo distribución de Boltzmann que denota la dependencia del factor con la energía.

Por tanto para la densidad de carga alrededor del ion central:

${\displaystyle {\rho }_j(r)=\sum _i{z}_{i}e{n}_i^j(r)=\sum _i{z}_{i}e{n}_i\exp \left(\frac{z_{i}e{\phi }_j(r)}{kT}\right)}$

Por la condición de que la energía térmica es mucho mayor de la energía de interacción:

${\displaystyle z_{i}e{\phi }_j(r)\ll kT}$

lo que permite desarrollar en serie:

${\displaystyle {\rho }_j(r)={\cancel{\sum _i{z}_{i}e{n}_i}}^0-\sum _i{z}_{i}e{n}_i\frac{z_{i}e{\phi }_j(r)}{kT}=-\sum _i\frac{z_i^2{e}^2{n}_i}{kT}{\phi }_j(r)}$

Debye y Huckel definieron un parámetro llamado la longitud de Debye-Huckel que posee unidades de longitud inverso:

${\displaystyle {\chi }^2=\frac{4\pi e^2}{{\epsilon }_{0}kT}\sum _i{z}_i^2{n}_i=\frac{4\pi e^2}{{\epsilon }_{0}RT}\sum _i{z}_i^2{c}_i}$

Por tanto la expresión que Debye y Huckel reescriben es:

${\displaystyle {\rho }_j(r)=-\frac{{\chi }^2{\epsilon }_0}{4\pi }{\phi }_j(r).}$

La segunda parte es reemplazar el resultado anterior en la ecuación de Poisson-Boltzmann, definida como:

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^2{\phi }_j(r)=-\frac{4\pi {\rho }_j}{{\epsilon }_0}\Rightarrow \frac{1}{r}\frac{{\mathrm{\partial }}^2(r{\phi }_j(r))}{\mathrm{\partial }{r}^2}={\chi }^2(r{\phi }_j(r))}$

La solución para este tipo de ecuaciones es de la forma:

${\displaystyle r{\phi }_j(r)=A{\mathrm{e}}^{-\chi r}+B{\mathrm{e}}^{\chi r}}$

Teniendo en cuenta que para ${\displaystyle {\phi }_j(\mathrm{\infty })=0}$, entonces B=0 y la ecuación anterior queda: ${\displaystyle {\phi }_j(r)=\frac{1}{r}A{\mathrm{e}}^{-\chi r}}$

La expresión anterior se conoce como la expresión genérica del potencial de Debye-Huckel, para encontrar el valor de la constante A se reemplaza la anterior expresión en la expresión de Debye-Huckel, y luego este resultado en la integral planteada al inicio, el resultado es:

${\displaystyle A{\chi }^2{\epsilon }_0{\int }_{a_j}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{\chi r}r\mathrm{d}r=z_{j}e}$

Integrando por partes se obtiene A como:

${\displaystyle A=\frac{z_{j}e}{{\epsilon }_0}\frac{{\mathrm{e}}^{-\chi a_j}}{1+\chi a_j}}$

Por tanto la forma del potencial de Debye–Huckel queda de la forma:

${\displaystyle {\phi }_j(r)=\frac{z_{j}e}{{\epsilon }_0}\frac{{\mathrm{e}}^{-\chi a_j}}{1+\chi a_j}\frac{1}{r}{\mathrm{e}}^{-\chi r}.}$