EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 EN ASTRONOMÍA Y ASTROFÍSICA

Hamburguesa de Gómez
Datos de observación: Época J2000.0
Ascensión recta	18h 09m 13.3s
Declinación	-32° 10′ 48"
Distancia	6500 al aprox
Tamaño aparente (V)	3,5 × 5,5 segundos de arco
Constelación	Sagitario
Características físicas
Radio	0,13 al
Otras características	Disco de polvo oculta la estrella central
Otras designaciones	IRAS 18059-3211, EQ 180556-321134
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La Hamburguesa de Gómez (en inglés Gómez's Hamburger) situada en la constelación de Sagitario, descubierta en fotografías del cielo en 1985 por el astrónomo Arturo Gómez desde el Observatorio de Cerro Tololo (Chile), debe su peculiar nombre a su descubridor y a su sorprendente semejanza con una hamburguesa.^[1] Probablemente se trata de una estrella joven rodeada de un disco protoplanetario.^[2] Inicialmente se pensó que se trataba de una protonebulosa planetaria (una tipo de nebulosa eyectada por una estrella vieja) situada a gran distancia. Sin embargo, recientes estudios indican que su distancia es moderada, unos 900 años luz, y que la nebulosa es muy probablemente un disco rotando alrededor de una estrella joven,^[2][3][4] en el que se ha identificado la probable presencia de un planeta en formación.^{[4] [5]}

La imagen obtenida con el telescopio espacial Hubble permite ver la estructura de la nebulosa en alta resolución, destacando la banda oscura de polvo que la corta por la mitad. Esta banda oscura es en realidad la sombra de un grueso disco que rodea la estrella central, y que nosotros vemos de perfil.^[6] La propia estrella, con una temperatura efectiva en torno a 10 000 K, queda oculta dentro del disco. Sin embargo, la luz que emite emerge en direcciones perpendiculares al disco ilumina el polvo encima y debajo de ella. La peculiar geometría de este objeto, visto casi exactamente de canto, ha permitido su estudio con particular detalle. Se cree que este tipo de discos terminarán formando un sistema planetario similar al nuestro, del que, como se menciona más arriba, ya hay indicios.

Huecos de Kirkwood: Histograma de la distribución de asteroides con la distancia al Sol.

Los huecos de Kirkwood son zonas del cinturón de asteroides en las que la densidad de asteroides se ve notablemente reducida respecto a la media del cinturón. Coinciden con órbitas cuyos parámetros (su semieje mayor o equivalentemente su período orbital) guardan con los de la órbita de Júpiter una proporción sencilla. Se dice que los huecos coinciden con las resonancias orbitales con Júpiter. Así, por ejemplo, asteroides que se encuentren a una distancia media del Sol de 2,82 UA están en resonancia 5:2 con Júpiter, es decir, mientras que Júpiter da dos revoluciones al Sol, esos asteroides dan 5 revoluciones.^[1] El periodo de Júpiter es de 11,856525 años × 2 = 23,71305 años. A la distancia media de 2,82 UA le corresponde un periodo de 4,735585286 años × 5 = 23,67793 años; se puede ver que la diferencia es de solo 0,035 años. Un hipotético asteroide que viajase en esa órbita cada cinco vueltas coincidiría con una aproximación máxima a Júpiter, que le causaría una atracción resonante que acabaría por expulsarle de esa órbita.

Otras resonancias orbitales corresponden a períodos orbitales que forman fracciones muy simples con el periodo orbital de Júpiter. Las resonancias más débiles sólo llevan a un vaciamiento de asteroides, mientras que otras resonancias más fuertes causan lo contrario, es decir, la presencia de una familia de asteroides. La más famosa es la resonancia 1:1, que causa la presencia de los asteroides troyanos en los puntos de Lagrange L₄ y L₅, es decir 60° por delante y detrás de Júpiter.

Estos huecos fueron observados por el astrónomo estadounidense Daniel Kirkwood en 1857, que fue también el primero en explicar correctamente su origen en las resonancias orbitales con Júpiter.

Más recientemente, un número relativamente pequeño de asteroides se ha encontrado en órbitas que quedan dentro de los huecos de Kirkwood y que tienen una excentricidad elevada. Entre los ejemplos está la Familia de Alinda y la Familia de Griqua. Estas órbitas aumentan su excentricidad despacio en un escala de decenas de millones de años, y se escaparán en un futuro de la resonancia debido al encuentro cercano con un planeta mayor.

Los huecos de Kirkwood se localizan en los radios orbitales de:^[2]

• 1,9 UA (resonancia 9:2 )
• 2,06 UA (resonancia 4:1)
• 2,5 UA (resonancia 3:1), Familia de Alinda de asteroides
• 2,82 UA (resonancia 5:2)
• 2,95 UA (resonancia 7:3)
• 3,27 UA (resonancia 2:1), Familia de Griqua de asteroides

También se encuentran huecos más débiles y/o estrechos:

• 1,9 UA (resonancia 9:2)
• 2,25 UA (resonancia 7:2)
• 2,33 UA (resonancia 10:3)
• 2,71 UA (resonancia 8:3)
• 3,03 UA (resonancia 9:4)
• 3,075 UA (resonancia 11:5)
• 3,47 UA (resonancia 11:6)
• 3,7 UA (resonancia 5:3).

En 1869, Lane publicó por primera vez esta ecuación con el fin de estimar la temperatura de la surfície solar. De hecho, una zona en convección de una estrella puede ser considerada en equilibrio convectivo y modelada por la ecuación de Lane-Emden.

Soluciones de la ecuación de Lane–Emden para n = 0, 1, 2, 3, 4, 5

En astrofísica, la ecuación de Lane-Emden es una forma adimensional de la ecuación de Poisson que se utiliza para modelizar el potencial gravitatorio de un cuerpo dotado de simetría esférica y constituido por un fluido politrópico, sometido a su propia gravitación newtoniana. Lleva el nombre de los astrofísicos Jonathan Homer Lane y Robert Emden.^[1]

La ecuación toma la forma

${\displaystyle \frac{1}{{\xi }^2}\frac{d}{d\xi }\left({\xi }^2\frac{d\theta }{d\xi }\right)+{\theta }^n=0}$,

donde ${\displaystyle \xi }$ es un radio adimensional y ${\displaystyle \theta }$ está relacionada con la densidad (y por lo tanto, con la presión) por la expresión ${\displaystyle \rho ={\rho }_c{\theta }^n}$, siendo ${\displaystyle {\rho }_c}$ la densidad central. El valor ${\displaystyle n}$ es el índice politrópico que aparece en la ecuación politrópica de estado,

${\displaystyle P=K{\rho }^{1+\frac{1}{n}}}$

donde ${\displaystyle P}$ y ${\displaystyle \rho }$ son la presión y la densidad, respectivamente, y ${\displaystyle K}$ es una constante de proporcionalidad. Las condiciones de contorno estándar son ${\displaystyle \theta (0)=1}$ y ${\displaystyle {\theta }^{\prime }(0)=0}$. Las soluciones describen la variación de la presión y de la densidad con el radio, y se conocen como politropos de índice ${\displaystyle n}$.

Aplicaciones

En términos físicos, el equilibrio hidrostático relaciona el gradiente del potencial con la densidad y con el gradiente de la presión, mientras que la ecuación de Poisson conecta el potencial con la densidad. Por lo tanto, si además se tiene una ecuación que determina cómo la presión y la densidad varían una con respecto a la otra, se puede llegar a una solución del sistema de ecuaciones. La elección particular de un gas politrópico anteriormente indicada, hace el planteamiento matemático del problema particularmente sucinto y conduce a la ecuación de Lane-Emden. Esta ecuación es una aproximación útil para las esferas autogravitantes de plasma, tales como las estrellas, aunque es una suposición bastante limitante con respecto a otros campos de aplicación.

Demostración

Según el equilibrio hidrostático

Considérese un fluido autogravitante con simétrica esférica en equilibrio hidrostático. La masa se conserva y, por lo tanto queda descrita por la ecuación de continuidad

${\displaystyle \frac{dm}{dr}=4\pi r^2\rho }$

donde ${\displaystyle \rho }$ es una función de ${\displaystyle r}$. La ecuación de equilibrio hidrostático es

${\displaystyle \frac{1}{\rho }\frac{dP}{dr}=-\frac{Gm}{r^2}}$

donde ${\displaystyle m}$ es también una función de ${\displaystyle r}$. La diferenciación de nuevo da

donde la ecuación de continuidad se ha usado para reemplazar el gradiente de masas. Multiplicando ambos lados por ${\displaystyle r^2}$ y desarrollando la derivada de ${\displaystyle P}$ en el lado izquierdo de la ecuación, se puede escribir

${\displaystyle r^2\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{\rho }\frac{dP}{dr}\right)+\frac{2r}{\rho }\frac{dP}{dr}=\frac{d}{dr}\left(\frac{r^2}{\rho }\frac{dP}{dr}\right)=-4\pi G{r}^2\rho }$

Dividiendo ambos lados por ${\displaystyle r^2}$, en cierto sentido resulta una forma dimensional de la ecuación deseada. Si, además, se sustituye la ecuación de estado politrópico por ${\displaystyle P=K{\rho }_c^{1+\frac{1}{n}}{\theta }^{n+1}}$ y ${\displaystyle \rho ={\rho }_c{\theta }^n}$, se tiene

${\displaystyle \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^{2}K{\rho }_c^{\frac{1}{n}}(n+1)\frac{d\theta }{dr}\right)=-4\pi G{\rho }_c{\theta }^n}$

Reuniendo las constantes y sustituyendo ${\displaystyle r=\alpha \xi }$, donde

${\displaystyle {\alpha }^2=(n+1)K{\rho }_c^{\frac{1}{n}-1}/4\pi G}$,

se obtiene la ecuación de Lane-Emden,

${\displaystyle \frac{1}{{\xi }^2}\frac{d}{d\xi }\left({\xi }^2\frac{d\theta }{d\xi }\right)+{\theta }^n=0}$

A partir de la ecuación de Poisson

De manera equivalente, se puede comenzar con la ecuación de Poisson,

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\mathrm{\Phi }}{dr}\right)=4\pi G\rho }$

Se puede reemplazar el gradiente del potencial mediante el equilibrio hidrostático, a través de

${\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dr}=-\frac{1}{\rho }\frac{dP}{dr}}$

de lo que a su vez se obtiene la forma dimensional de la ecuación de Lane-Emden.

Soluciones

Para un valor dado del índice politrópico ${\displaystyle n}$, la solución a la ecuación de Lane-Emden se denota como ${\displaystyle {\theta }_n(\xi )}$. En general, la ecuación de Lane-Emden debe resolverse numéricamente para encontrar ${\displaystyle {\theta }_n}$. Existen soluciones analíticas exactos para ciertos valores de ${\displaystyle n}$, en particular: ${\displaystyle n=0,1,5}$. Para ${\displaystyle n}$ entre 0 y 5, las soluciones son continuas y de extensión finita, con el radio de la estrella dado por ${\displaystyle R=\alpha {\xi }_1}$, donde ${\displaystyle {\theta }_n({\xi }_1)=0}$.

Para una solución dada ${\displaystyle {\theta }_n}$, el perfil de la densidad viene dado por

${\displaystyle \rho ={\rho }_c{\theta }_n^n}$.

La masa total ${\displaystyle M}$ de la estrella modelo se puede encontrar mediante la integración de la densidad respecto al radio, de 0 a ${\displaystyle {\xi }_1}$.

La presión se puede encontrar utilizando la ecuación politrópica de estado, ${\displaystyle P=K{\rho }^{1+\frac{1}{n}}}$, es decir,

${\displaystyle P=K{\rho }_c^{1+\frac{1}{n}}{\theta }_n^{n+1}}$

Finalmente, si el gas es ideal, la ecuación de estado es ${\displaystyle P=k_B\rho T/\mu }$, donde ${\displaystyle k_B}$ es la constante de Boltzmann y ${\displaystyle \mu }$ es el peso molecular medio. El perfil de temperatura viene dado entonces por

${\displaystyle T=\frac{K\mu }{k_B}{\rho }_c^{1/n}{\theta }_n}$

Soluciones exactas

En los casos de simetría esférica, la ecuación de Lane-Emden es integrable para solo tres valores del índice politrópico ${\displaystyle n}$.

Para n = 0

Si ${\displaystyle n=0}$, la ecuación se convierte en

${\displaystyle \frac{1}{{\xi }^2}\frac{d}{d\xi }\left({\xi }^2\frac{d\theta }{d\xi }\right)+1=0}$

reorganizando la expresión e integrando de nuevo, se tiene

${\displaystyle {\xi }^2\frac{d\theta }{d\xi }=C_1-\frac{1}{3}{\xi }^3}$

Dividiendo ambos lados de la ecuación por ${\displaystyle {\xi }^2}$ e integrando de nuevo resulta

${\displaystyle \theta (\xi )=C_0-\frac{C_1}{\xi }-\frac{1}{6}{\xi }^2}$

Las condiciones de contorno ${\displaystyle \theta (0)=1}$ y ${\displaystyle {\theta }^{\prime }(0)=0}$ implican que las constantes de integración son ${\displaystyle C_0=1}$ y ${\displaystyle C_1=0}$.

Para n = 1

Cuando ${\displaystyle n=1}$, la ecuación se puede ampliar en la forma

${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{\xi }^2}+\frac{2}{\xi }\frac{d\theta }{d\xi }+\theta =0}$

Si se supone una solución en serie de potencias:

${\displaystyle \theta (\xi )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\xi }^n}$

esto conduce a una relación recursiva para los coeficientes de expansión:

${\displaystyle a_{n+2}=-\frac{a_n}{(n+3)(n+2)}}$

Esta relación puede ser resuelta, llevando a la solución general:

${\displaystyle \theta (\xi )=a_0\frac{\sin \xi }{\xi }+a_1\frac{\cos \xi }{\xi }}$

La condición de contorno para un politropo físico exige que ${\displaystyle \theta (\xi )\to 1}$ como ${\displaystyle \xi \to 0}$. Esto requiere que ${\displaystyle a_0=1,a_1=0}$, lo que conduce a la solución:

${\displaystyle \theta (\xi )=\frac{\sin \xi }{\xi }}$

Para n = 5

Se parte de la ecuación de Lane-Emden:

${\displaystyle \frac{1}{{\xi }^2}\frac{d}{d\xi }({\xi }^2\frac{d\theta }{d\xi })+{\theta }_5^5=0}$

Reescrita como ${\displaystyle \frac{d{\theta }_5}{d\xi }}$ produce:

${\displaystyle \frac{d{\theta }_5}{d\xi }=\frac{1}{2}(1+\frac{{\xi }^2}{3}{)}^{\frac{3}{2}}\frac{2\xi }{3}=\frac{{\xi }^3}{3[1+\frac{{\xi }^2}{3}{]}^{\frac{3}{2}}}}$

Diferenciando con respecto a xi conduce a:

${\displaystyle {\theta }_5^5=\frac{{\xi }^2}{[1+\frac{{\xi }^2}{3}{]}^{\frac{3}{2}}}+\frac{3{\xi }^2}{9[1+\frac{{\xi }^2}{3}{]}^{\frac{5}{2}}}=\frac{9}{9[1+\frac{{\xi }^2}{3}{]}^{\frac{5}{2}}}}$

Una vez reducida, se llega a:

${\displaystyle {\theta }_5^5=\frac{1}{[1+\frac{{\xi }^2}{3}{]}^{\frac{5}{2}}}}$

Por lo tanto, la ecuación de Lane-Emden tiene la solución

${\displaystyle \theta (\xi )=\frac{1}{\sqrt{1+{\xi }^2/3}}}$

cuando ${\displaystyle n=5}$. Esta solución es finita en masa pero infinita en extensión radial, y por lo tanto, el politropo completo no representa una solución física.

Soluciones numéricas

En general, las soluciones se determinan por integración numérica. Muchos métodos estándar requieren que el problema se formule como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Por ejemplo,

${\displaystyle \frac{d\theta }{d\xi }=-\frac{\varphi }{{\xi }^2}}$

${\displaystyle \frac{d\varphi }{d\xi }={\theta }^n{\xi }^2}$

Aquí, ${\displaystyle \varphi (\xi )}$ se interpreta como la masa adimensional, que se define por ${\displaystyle m(r)=4\pi {\alpha }^3{\rho }_c\varphi (\xi )}$. Las condiciones iniciales relevantes son ${\displaystyle \varphi (0)=0}$ y ${\displaystyle \theta (0)=1}$. La primera ecuación representa el equilibrio hidrostático y la segunda representa la conservación de la masa.

Variables homólogas

Ecuación homóloga invariante

Se sabe que si ${\displaystyle \theta (\xi )}$ es una solución de la ecuación de Lane-Emden, entonces ${\displaystyle C^{2/n+1}\theta (C\xi )}$ también lo es.^[2] Soluciones que están relacionadas de esta manera se denominan homólogas; y el proceso que transforma unas en otras es una homología. Si se eligen variables que son invariantes a la homología, entonces se puede reducir el orden de la ecuación de Lane-Emden en uno.

Existen varias de estas variables. Una elección adecuada es

${\displaystyle U=\frac{d\log m}{d\log r}=\frac{{\xi }^3{\theta }^n}{\varphi }}$

y

${\displaystyle V=\frac{d\log P}{d\log r}=(n+1)\frac{\varphi }{\xi \theta }}$

Se pueden diferenciar los logaritmos de estas variables con respecto a ${\displaystyle \xi }$, lo que da

${\displaystyle \frac{1}{U}\frac{dU}{d\xi }=\frac{1}{\xi }(3-n(n+1{)}^{-1}V-U)}$

y

${\displaystyle \frac{1}{V}\frac{dV}{d\xi }=\frac{1}{\xi }(-1+U+(n+1{)}^{-1}V)}$.

Por último, se pueden dividir estas dos ecuaciones para eliminar la dependencia de ${\displaystyle \xi }$, lo que deja

${\displaystyle \frac{dV}{dU}=-\frac{V}{U}\left(\frac{U+(n+1{)}^{-1}V-1}{U+n(n+1{)}^{-1}V-3}\right)}$

El resultado es una única ecuación de primer orden.

Topología de la ecuación de homología invariante

La ecuación de homología invariante puede ser considerada como el par de ecuaciones autónomas

${\displaystyle \frac{dU}{d\log \xi }=-U(U+n(n+1{)}^{-1}V-3)}$

y

${\displaystyle \frac{dV}{d\log \xi }=V(U+(n+1{)}^{-1}V-1)}$.

El comportamiento de las soluciones de estas ecuaciones puede determinarse por análisis de estabilidad lineal. Los puntos críticos de la ecuación (donde ${\displaystyle dV/d\log \xi =dU/d\log \xi =0}$) y los valores propios y los vectores propios de la matriz jacobiana se tabulan a continuación.^[3]

Punto crítico	Autovalores		Autovectores
${\displaystyle (0,0)}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle (1,0)}$	${\displaystyle (0,1)}$
${\displaystyle (3,0)}$	${\displaystyle -3}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle (1,0)}$	${\displaystyle (-3n,5+5n)}$
${\displaystyle (0,n+1)}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3-n}$	${\displaystyle (0,1)}$	${\displaystyle (2-n,1+n)}$
${\displaystyle \left(\frac{n-3}{n-1},2\frac{n+1}{n-1}\right)}$	${\displaystyle \frac{n-5\pm {\mathrm{\Delta }}_n}{2-2n}}$		${\displaystyle \left(1-n\mp {\mathrm{\Delta }}_n,4+4n\right)}$