EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 

El principio de Aufbau (del alemán Aufbau, construcción) establece que los electrones no sean ocupados en niveles superiores de energía hasta que los orbitales menos energéticos hayan sido ocupados. Así pues, contiene una serie de instrucciones relacionadas con la ubicación de electrones en los orbitales de un átomo. El modelo, formulado por el físico Niels Bohr, recibió el nombre de Aufbau (del alemán Aufbauprinzip: principio de construcción) en vez del nombre del científico. También se conoce popularmente con el nombre de diagrama de Moeller .

Los orbitales se 'llenan' respetando la regla de Hund, que dice que ningún orbital puede tener dos orientaciones del giro del electrón sin antes de que los restantes números cuánticos magnéticos de la misma subcapa tengan al menos uno. Se comienza con el orbital de menor energía.

Primero debe llenarse el orbital 1s (hasta un máximo de dos electrones), esto de acuerdo con el número cuántico azimutal l.

Seguido se llena el orbital 2s (también con dos electrones como máximo).

La subcapa 2p tiene tres orbitales degenerados en energía denominados, según su posición tridimensional, 2p_x, 2p_y, 2p_z. Así, los tres orbitales 2p pueden llenarse hasta con seis electrones, dos en cada uno. De nuevo, de acuerdo con la regla de Hund, deben tener todos por lo menos un electrón antes de que alguno llegue a tener dos.

Y así, sucesivamente:

1s²2s²2p⁶3s²3p⁶4s²3d¹⁰4p⁶5s²4d¹⁰5p⁶6s²4f¹⁴5d¹⁰6p⁶7s²5f¹⁴6d¹⁰7p⁶

El principio de exclusión de Pauli nos advierte, además, que ningún electrón en un átomo puede tener la misma combinación de números cuánticos como descripción de su estado energético.

Diagrama de Moeller

Artículo principal: Diagrama de Moeller

Para llenar los orbitales correctamente, siga la dirección de la flecha tal como se muestra en la gráfica. Primero 1s, luego 2s, después sube a 2p y baja 3s, 3p y baja a 4s. En este punto, el siguiente nivel de energía más bajo no es 4p, sino que sube a 3d para luego bajar a 4p y 5s. Y así, sucesivamente.

A este método se le llama diagrama de Moeller, la regla del serrucho o de las diagonales, o método de la lluvia, debido a la acción de subir y bajar del modo descrito:

(1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f, 5d, 6p, 7s, 5f, 6d)

La regla del serrucho también sirve para ordenar los orbitales según sus niveles.

Los potenciales de Liénard-Wiechert describen campos electromagnéticos de una distribución de cargas en movimiento en términos del potencial vectorial y el potencial escalar. Obtenidas directamente de las ecuaciones de Maxwell, estos potenciales describen completamente y de forma relativista el campo electromagnético variable en el tiempo de una carga puntual en movimiento arbitrario pero sin considerar fenómenos mecano-cuánticos. Se puede obtener a partir de estos potenciales la radiación electromagnética en forma ondulatoria.

Estas expresiones fueron deducidas en parte por Alfred-Marie Liénard en 1898 e independientemente por Emil Wiechert en 1900 y continuadas a principios de los años 1900. Los potenciales de Liénard-Wiechert son la base de la electrodinámica clásica y pueden ser generalizados de acuerdo a la teoría gauge. Recientemente se ha publicado un nuevo estudio en el que se propone un método analítico directo para la obtención de la radiación electromagnética.^[1]

Implicaciones

El estudio de la electrodinámica clásica fue el punto de partida de Einstein para la creación de la teoría de la relatividad. El análisis del movimiento y propagación de las ondas electromagnéticas permitió a la relatividad especial una descripción del espacio y el tiempo: La formulación de Liénard-Wiechert es un importante salto para un análisis más complejo del movimiento relativista de las partículas.

La descripción de Liénard–Wiechert funciona para toda distribución de cargas clásica, pero falla al entrar a un nivel cuántico. La mecánica cuántica impone un gran obstáculo a la capacidad de radiación de una partícula. La formulación clásica descrita por estas ecuaciones viola expresamente los fenómenos observados. Por ejemplo, un electrón en un átomo en su estado fundamental no puede emitir radiación. Si el electrón se encuentra en un estado excitado solo podrá emitir radiación a unas ciertas frecuencias. En las últimas décadas del siglo XX la electrodinámica cuántica ayudó a resolver estas deficiencias de la electrodinámica clásica.

Límite universal de velocidades

La fuerza de una partícula en una posición dada r y un tiempo dado t depende de la posición del resto de las partículas en un tiempo anterior ${\displaystyle t_r}$ debido a la velocidad finita de la luz a la que viaja la información electromagnética.Por ejemplo, una partícula en la Tierra 've' una partícula cargada en la Luna donde estuvo hace 1.5 segundos y una partícula cargada en el Sol donde estuvo hace 500 segundos. Este tiempo anterior donde ocurre el evento que la partícula en la posición r ve en un tiempo posterior t se denomina tiempo retardado t_r. El tiempo retardado varía con la posición; por ejemplo el tiempo retardado en la Luna es 1.5 segundos anterior al tiempo normal y el tiempo retardado en el Sol es 500 segundos anterior. El tiempo retardado viene dado por:

${\displaystyle t_r=t-\frac{\mathcal{R}}{c},}$

Donde R es la distancia a la partícula de la fuente del campo en tiempo retardado.

Ecuaciones

Definición de los potenciales de Liénard-Wiechert

Los Liénard-Wiechert ${\displaystyle \mathrm{\Phi }}$ y A, donde ${\displaystyle \mathrm{\Phi }}$ es el potencial escalar y A es el potencial vectorial, forma una representación potencial de los campos de una carga en movimiento de carga q tal que (en sistema cgs ):

${\displaystyle \mathrm{\Phi }(\mathbf{x},t)={\left(\frac{q}{(R-\mathit{\beta }\cdot \mathbf{R})}\right)}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}}}$

y

${\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{x},t)={\left(\frac{q\mathit{\beta }}{(R-\mathit{\beta }\cdot \mathbf{R})}\right)}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}}}$

donde ${\displaystyle \mathit{\beta }}$ es el vector velocidad de la carga multiplicada por un factor 1/c y ${\displaystyle \mathbf{R}}$ es el vector posición de la carga. El 'ret' enfatiza que estamos considerando solo las soluciones retardadas.

Valor correspondientes de los campos eléctrico y magnético

Se pueden calcular los campos eléctrico y magnético de los potenciales usando las definiciones:

${\displaystyle \mathbf{E}=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }-{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\mathbf{A}}{\mathrm{\partial }t}}}$

${\displaystyle \mathbf{B}=\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A}}$

Los cálculos son no triviales y requieren un cierto número de pasos. La ecuación para un campo eléctrico es:

${\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{x},t)=q{\left(\frac{\mathbf{n}-\mathit{\beta }}{{\gamma }^2(1-\mathit{\beta }\cdot \mathbf{n}{)}^3{R}^2}\right)}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}}+\frac{q}{c}{\left(\frac{\mathbf{n}\times [(\mathbf{n}-\mathit{\beta })\times \dot{\mathit{\beta }}]}{(1-\mathit{\beta }\cdot \mathbf{n}{)}^{3}R}\right)}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}}}$

y

${\displaystyle \mathbf{B}=\mathbf{n}\times \mathbf{E}}$

donde ${\displaystyle \gamma }$ es el factor de Lorentz y ${\displaystyle \mathbf{n}}$ es un vector unitario desde la posición retardada de la carga al observador.

El campo magnético puede obtenerse aplicando el rotacional.

Derivación

Soluciones del potencial retardado

La solución para los potenciales escalar y vectorial retardados son (en unidades cgs) de la ecuación de ondas inhomogénea.

${\displaystyle \phi (\mathbf{r},t)=\int \frac{\delta \left(t^{\prime }+\frac{\left|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }\right|}{c}-t\right)}{\left|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }\right|}\rho ({\mathbf{r}}^{\prime },t^{\prime })d^3{r}^{\prime }d{t}^{\prime }}$

y

${\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\int \frac{\delta \left(t^{\prime }+\frac{\left|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }\right|}{c}-t\right)}{\left|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }\right|}\frac{\mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime },t^{\prime })}{c}{d}^3{r}^{\prime }d{t}^{\prime }}$

donde

${\displaystyle \delta \left(t^{\prime }+\frac{\left|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }\right|}{c}-t\right)}$, es la función delta de Dirac y las densidades de carga y corriente son:

${\displaystyle \mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime },t^{\prime })=e{\mathbf{v}}_0(t^{\prime })\delta \left({\mathbf{r}}^{\prime }-{\mathbf{r}}_0(t^{\prime })\right)}$, es la densidad de corriente de la distribución de cargas que crea el campo.

${\displaystyle \rho ({\mathbf{r}}^{\prime },t^{\prime })=e\delta \left({\mathbf{r}}^{\prime }-{\mathbf{r}}_0(t^{\prime })\right)}$, es la densidad de carga eléctrica de la misma distribución.

Para una carga puntual que ocupa la posición ${\displaystyle {\mathbf{r}}_0(t^{\prime })}$ y viaja a una velocidad ${\displaystyle {\mathbf{v}}_0(t^{\prime })}$ las dos densidades anteriores son:

${\displaystyle \mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime },t^{\prime })=e{\mathbf{v}}_0(t^{\prime })\delta \left({\mathbf{r}}^{\prime }-{\mathbf{r}}_0(t^{\prime })\right)}$

${\displaystyle \rho ({\mathbf{r}}^{\prime },t^{\prime })=e\delta \left({\mathbf{r}}^{\prime }-{\mathbf{r}}_0(t^{\prime })\right)}$

Derivación del campo creado por cargas en movimiento

Para derivar el campo electromagnético creado por una partícula a partir de su potencial de Liénard-Wiechert hay que aplicar las fórmulas del campo en función del potencial: ${\displaystyle \mathbf{E}=-\tilde{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Phi }-{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\mathbf{A}}{\tilde{\mathrm{\partial }}t}}}$ y ${\displaystyle \mathbf{B}=\tilde{\mathrm{\nabla }}\times \mathbf{A}}$ teniendo en cuenta que los potenciales de L-W contienen variables que no son independientes entre sí, puesto que el vector R es el resultado de restar a la posición destino la posición inicio donde se encontraba la carga en el instante retardado y dicha posición cambiará si cambia el instante retardado, lo cual sucede si cambiamos el instante en que evaluamos el campo o si movemos su posición en la dirección radial.

Podemos reemplazar las variables espacio-temporales ${\displaystyle \tilde{\mathrm{\nabla }}}$ y ${\displaystyle \tilde{\mathrm{\partial }}t}$ por otras variables independientes de la siguiente manera:

${\displaystyle \tilde{\mathrm{\nabla }}=\mathrm{\nabla }+\left(\frac{\mathbf{R}|\beta |}{R-\beta \cdot \mathbf{R}}\right)\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\hat{\beta }}+\left(\frac{\mathbf{R}}{R-\beta \cdot \mathbf{R}}\right)\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }tr}}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{\tilde{\mathrm{\partial }}t}=\left(\frac{R}{R-\beta \cdot \mathbf{R}}\right)(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }tr}-|\beta |\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\hat{\beta }})}$

Donde ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\hat{\beta }}}$ representa la derivada en la dirección de la velocidad de la carga y ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }tr}}$ es la derivada temporal del instante retardado. Hay que tener en cuenta que una variación de posición en el origen es equivalente a una variación de posición en sentido opuesto en destino.

Las siguientes derivadas son útiles para la obtención del campo electromagnético:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{R-\beta \cdot \mathbf{R}}\right)=-\frac{\mathbf{n}-\beta }{{\left(R-\beta \cdot \mathbf{R}\right)}^2}}$

${\displaystyle \beta \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\hat{\beta }}\left(\frac{1}{R-\beta \cdot \mathbf{R}}\right)=-\frac{\beta \cdot \mathbf{n}-{\beta }^2}{{\left(R-\beta \cdot \mathbf{R}\right)}^2}}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }tr}\left(\frac{1}{R-\beta \cdot \mathbf{R}}\right)=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{R}}{{\left(R-\beta \cdot \mathbf{R}\right)}^2}}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }tr}\left(\frac{\beta }{R-\beta \cdot \mathbf{R}}\right)=\frac{\mathbf{a}}{R-\beta \cdot \mathbf{R}}+\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{R}}{{\left(R-\beta \cdot \mathbf{R}\right)}^2}}$

Lo anterior nos lleva a los siguientes campos:

${\displaystyle \mathbf{E}=q\left(\frac{\mathbf{n}(1-{\beta }^2)-\beta (1-\beta \cdot \mathbf{n})}{R^2(1-\beta \cdot \mathbf{n}{)}^3}+\frac{\mathbf{n}(\mathbf{a}\cdot \mathbf{n})}{R(1-\beta \cdot \mathbf{n}{)}^3}-\frac{\mathbf{a}}{R(1-\beta \cdot \mathbf{n}{)}^2}-\frac{\beta (\mathbf{a}\cdot \mathbf{n})}{R(1-\beta \cdot \mathbf{n}{)}^3}-\frac{\beta ((\beta \cdot \mathbf{n})-{\beta }^2)}{R^2(1-\beta \cdot \mathbf{n}{)}^3}\right)}$

Los dos primeros términos de la fórmula anterior vienen de ${\displaystyle -\tilde{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Phi }}$ y los tres siguientes de ${\displaystyle -{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\mathbf{A}}{\tilde{\mathrm{\partial }}t}}}$, los términos que no dependen de a dan lugar al campo inducido mientras que los que dependen de a dan lugar al campo radiado, para ver la equivalencia con el campo radiado conviene aprovechar la identidad vectorial ${\displaystyle A\times B\times C=(A\cdot C)B-(A\cdot B)C}$.

Por otro lado, el campo magnético puede expresarse como:

${\displaystyle \mathbf{B}=q\left(\frac{\beta \times \mathbf{n}}{R^2(1-\beta \cdot \mathbf{n}{)}^2}+|\beta |(\beta \times \mathbf{n})\frac{((\beta /|\beta |)\cdot \mathbf{n}-|\beta |)}{R^2(1-\beta \cdot \mathbf{n}{)}^3}+\frac{\mathbf{a}\times \mathbf{n}}{R(1-\beta \cdot \mathbf{n}{)}^2}+\frac{(\beta \times \mathbf{n})(\mathbf{a}\cdot \mathbf{n})}{R(1-\beta \cdot \mathbf{n}{)}^3}\right)}$

Los dos primeros términos de la expresión anterior son el campo magnético inducido y los dos siguientes términos que dependen de la aceleración son el campo radiado, puede demostrarse que son equivalentes a ${\displaystyle \mathbf{n}\times (\mathbf{n}\times ((\mathbf{n}-\beta )\times \mathbf{a}))}$ si bien dicha demostración es tediosa.

Campo de cargas aceleradas

El campo de una carga en movimiento respecto a un observador se complica notablemente respecto al caso de movimiento uniforme si además de un movimiento relativo la carga presenta un movimiento acelerado respecto a un observador inercial. Los sistemas de referencia relativistas acelerados se denominan Coordenadas de Rindler. A partir de los potenciales de Lienard-Wiechert se obtiene que el campo creado por una carga en movimiento viene dado por:

${\displaystyle \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi ϵ}\left[\frac{q(1-\frac{v^2}{c^2})}{(r-\frac{\mathbf{r}\cdot \mathbf{v}}{c}{)}^3}(\mathbf{r}-\frac{\mathbf{v}}{c}r)+\frac{q}{c^2(r-\frac{\mathbf{r}\cdot \mathbf{v}}{c}{)}^3}\left[\mathbf{r}\times \left((\mathbf{r}-\frac{\mathbf{v}}{c}r)\times \dot{\mathbf{v}}\right)\right]\right]}$

El primer miembro sólo depende de la velocidad y coincide con el campo eléctrico provocado por una carga en movimiento uniforme, a grandes distancias varía según una ley de la inversa del cuadrado 1/R² y, por tanto, no supone emisión de energía, el segundo miembro depende de la "aceleración retardada" ${\displaystyle \dot{\mathbf{v}}}$ y tiene una variación 1/R que representa la intensidad decreciente de una onda esférica de radiación electromagnética, ya que las cargas en movimiento acelerado emiten radiación. La "aceleración retardada" se relaciona con la aceleración convencional mediante:

${\displaystyle \dot{\mathbf{v}}=\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{v}}{\mathrm{\partial }{t}^{\prime }}=\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{v}}{\mathrm{\partial }t}\frac{\mathrm{\partial }t}{\mathrm{\partial }{t}^{\prime }}=\mathbf{a}\left(1-\frac{\mathbf{r}\cdot \mathbf{v}}{rc}\right)}$

siendo ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\mathbf{v}}{\mathrm{\partial }{t}^{\prime }}}$ la variación de velocidad por unidad de tiempo de la carga medida desde el sistema de referencia inercial del laboratorio. No se debe confundir con la aceleración propia de la carga que sería la variación de velocidad por unidad de tiempo en relación con un sistema inicialmente en reposo con la carga. El término "a" anterior tampoco es la aceleración propia.

De todos los caminos posibles de la luz, solo son caminos reales cuyo camino óptico sea máximo o mínimo.

El principio de Fermat, en óptica, es un principio de tipo extremal y que establece:

El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es un mínimo.

Este enunciado no es completo y no cubre todos los casos, por lo que existe una forma moderna del principio de Fermat. Esta dice que:

El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es estacionario respecto a posibles variaciones de la trayectoria.

Esto quiere decir que, si se expresa el trayecto recorrido por la luz entre dos puntos ${\displaystyle O_1}$ y ${\displaystyle O_2}$ por medio de una funcional llamada camino óptico definida como ${\displaystyle {\mathcal{L}}_{O_1{O}_2}[n(\overrightarrow{r})]}$ la trayectoria real de la luz seguirá un camino extremal respecto de esta funcional:

${\displaystyle \delta {\mathcal{L}}_{O_1{O}_2}[n(\overrightarrow{r})]=\delta {\int }_{O_1}^{O_2}n(\overrightarrow{r})ds=0.}$

La característica importante, como dice el enunciado, es que los trayectos próximos al verdadero requieren tiempos aproximadamente iguales. En esta forma, el principio de Fermat recuerda al principio de Hamilton o a las ecuaciones de Euler-Lagrange.

El principio en su forma moderna fue declarado por Pierre de Fermat en una carta de 1662, de ahí que lleve su nombre.

Siguen ahora algunos ejemplos de la aplicación del principio para deducir las leyes de la óptica geométrica.

Ecuación de la trayectoria de un rayo luminoso

La ecuación de la trayectoria de un rayo luminoso real en un sistema óptico es:

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n(\mathbf{\text{r}})-\frac{d}{ds}\left[n(\mathbf{\text{r}})\frac{\mathbf{\text{dr}}}{ds}\right]=0}$

y se deduce a partir del principio de Fermat.

Deducción de la ecuación

Tenemos un rayo de luz que se desplaza por un medio con índice de refracción continuo desde un punto ${\displaystyle A}$ a un punto ${\displaystyle B}$.

Sea ${\displaystyle \mathbf{\text{r}}}$ el vector posición y ${\displaystyle \mathbf{\text{u}}}$ el vector unitario tangente a la trayectoria.

Tenemos que ${\displaystyle L={\int }_A^{B}n(\mathbf{\text{r}})ds=\int dL}$. De esto se deduce que ${\displaystyle nds=dL}$. Además se tiene que ${\displaystyle ds=\mathbf{\text{u}}\cdot \mathbf{\text{dr}}}$ y que ${\displaystyle dL=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}L\cdot \mathbf{\text{dr}}}$.

Por lo tanto ${\displaystyle n\mathbf{\text{u}}\cdot \mathbf{\text{dr}}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}L\cdot \mathbf{\text{dr}}}$. Al ser ${\displaystyle \mathbf{\text{dr}}}$ de un vector arbitrario tenemos que ${\displaystyle n\mathbf{\text{u}}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}L}$ y por tanto que ${\displaystyle \mid \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}L\mid =n}$.

De esto se obtiene que ${\displaystyle \frac{d(n\mathbf{\text{u}})}{ds}=\frac{d}{ds}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}L}$. Notamos que${\displaystyle \frac{d(n\mathbf{\text{u}})}{ds}=\frac{d}{ds}\left[n(\mathbf{\text{r}})\frac{\mathbf{\text{dr}}}{ds}\right]}$.

Por otro lado tenemos que (se empleará cartesianas pero sirve para el resto de bases ortonormales):

${\displaystyle \frac{d}{ds}\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x}\right)=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x}\right)\cdot \frac{\mathbf{\text{dr}}}{ds}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x}\right)\cdot \mathbf{\text{u}}}$; porque ${\displaystyle d\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x}\right)=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x}\right)\cdot \mathbf{\text{dr}}}$.

${\displaystyle \frac{d}{ds}\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x}\right)=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x}\right)\cdot \frac{1}{n}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}L}$; porque ${\displaystyle n\mathbf{\text{u}}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}L}$.

${\displaystyle \frac{d}{ds}\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x}\right)=\frac{1}{n}\left(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x},\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x},\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }z}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x}\right)\cdot \left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x},\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }y},\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }z}\right)=\frac{1}{n}\left[\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x}+\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }y}+\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }z}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }z}\right]}$.

${\displaystyle \frac{d}{ds}\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x}\right)=\frac{1}{n}\left[\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x}+\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }y}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }y}+\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }z}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }z}\right]=\frac{1}{2n}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\left[{\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }y}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }z}\right)}^2\right]}$; porque ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\beta }{\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }\alpha }\right)}^2=2\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\beta }\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }\alpha }\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }\alpha }}$.

${\displaystyle \frac{d}{ds}\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x}\right)=\frac{1}{2n}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}{n}^2=\frac{1}{2n}2n\frac{\mathrm{\partial }n}{\mathrm{\partial }x}=\frac{\mathrm{\partial }n}{\mathrm{\partial }x}}$; porque${\displaystyle \left[{\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }y}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }z}\right)}^2\right]=\mid \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}L{\mid }^2=n^2}$.

Realizando las mismas componentes para ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$ se obtiene que:

${\displaystyle \frac{d}{ds}\left(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}L\right)=\frac{d}{ds}\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }x}\right)\mathbf{\text{i}}+\frac{d}{ds}\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }y}\right)\mathbf{\text{j}}+\frac{d}{ds}\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }z}\right)\mathbf{\text{k}}=\frac{\mathrm{\partial }n}{\mathrm{\partial }x}\mathbf{\text{i}}+\frac{\mathrm{\partial }n}{\mathrm{\partial }y}\mathbf{\text{j}}+\frac{\mathrm{\partial }n}{\mathrm{\partial }z}\mathbf{\text{k}}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n}$.

Reemplazando se obtiene que:

${\displaystyle \frac{d(n\mathbf{\text{u}})}{ds}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n}$ o ${\displaystyle \frac{d}{ds}\left[n(\mathbf{\text{r}})\frac{\mathbf{\text{dr}}}{ds}\right]=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n}$.

Analogía con la mecánica lagrangiana

El camino óptico se puede equiparar a la acción en la mecánica lagrangiana. Se puede tratar el índice de refracción como un lagrangiano compuesto por un potencial. De este modo el problema se puede resolver con las ecuaciones de Lagrange. El rayo de luz se dirige hacia la zona de mayor índice de refracción, de lo que el potencial equivalente sería el opuesto del índice de refracción.

Tenemos: ${\displaystyle {\int }_A^{B}n(\{q_i\})ds={\int }_A^{B}n(\{q_i\})Rd\lambda \equiv {\int }_A^{B}L(\{q_i\})d\lambda }$ .

Con: ${\displaystyle L(\{q_i\})=n(\{q_i\})R}$ , además ${\displaystyle R=\sqrt{\sum {\left(\frac{d{q}_i}{d\lambda }\right)}^2}=\sqrt{\sum {{\dot{q}}_i}^2}}$ y ${\displaystyle d\lambda =\frac{ds}{R}}$ .

De modo que si definimos ${\displaystyle q_i(\lambda )}$ obtenemos que: ${\displaystyle \frac{d}{d\lambda }\left(\frac{\mathrm{\partial }(nR)}{\mathrm{\partial }{\dot{q}}_i}\right)-\frac{\mathrm{\partial }(nR)}{\mathrm{\partial }{q}_i}=0}$.

Se obtiene: ${\displaystyle R\frac{d}{ds}\left(\frac{\mathrm{\partial }(n)}{\mathrm{\partial }{\dot{q}}_i}R+\frac{\mathrm{\partial }(R)}{\mathrm{\partial }{\dot{q}}_i}n\right)-R\frac{\mathrm{\partial }(n)}{\mathrm{\partial }{q}_i}=0}$ con ${\displaystyle \frac{d}{d\lambda }=\frac{1}{1/R}\frac{d}{ds}=R\frac{d}{ds}}$

Además se tiene que ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }(n)}{\mathrm{\partial }{\dot{q}}_i}=0}$ y que ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }R}{\mathrm{\partial }{\dot{q}}_i}=\frac{2{\dot{q}}_i}{2R}=\frac{{\dot{q}}_i}{R}=\frac{1}{R}\frac{d{q}_i}{d\lambda }=\frac{1}{R}R\frac{d{q}_i}{ds}=\frac{d{q}_i}{ds}}$.

De donde: ${\displaystyle R\frac{d}{ds}\left(n\frac{d{q}_i}{ds}\right)-R\frac{\mathrm{\partial }(n)}{\mathrm{\partial }{q}_i}=0}$ o ${\displaystyle \frac{d}{ds}\left(n\frac{d{q}_i}{ds}\right)-\frac{\mathrm{\partial }(n)}{\mathrm{\partial }{q}_i}=0}$.

Creando un sistema con las tres coordenas se obtiene que: ${\displaystyle \frac{d}{ds}\left(n\frac{\mathbf{\text{dr}}}{ds}\right)-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n=0}$.

Ecuación de la trayectoria de un rayo luminoso en un medio homogéneo

Partimos de que:

${\displaystyle \frac{d}{ds}\left[n(\mathbf{\text{r}})\frac{\mathbf{\text{dr}}}{ds}\right]=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n}$.

Con ${\displaystyle n}$constante, de lo que:

${\displaystyle \frac{d}{ds}\left[n(\mathbf{\text{r}})\frac{\mathbf{\text{dr}}}{ds}\right]=n\frac{d}{ds}\frac{\mathbf{\text{dr}}}{ds}}$y ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n=0}$.

Por tanto:

${\displaystyle \frac{d}{ds}\frac{\mathbf{\text{dr}}}{ds}=0}$ de lo que ${\displaystyle \frac{\mathbf{\text{dr}}}{ds}=\mathbf{\text{l}}}$ siendo ${\displaystyle \mathbf{\text{l}}}$ una constante, de lo que ${\displaystyle \mathbf{\text{r}}=\mathbf{\text{l}}s+C}$ siendo ${\displaystyle \mathbf{\text{C}}}$ una constante.

El resultado es una recta de punto inicial ${\displaystyle \mathbf{\text{C}}}$ y vector director ${\displaystyle \mathbf{\text{l}}}$.

Teorema de Malus-Dupin

Artículo principal: Teorema de Malus-Dupin

Si sobre cada rayo emitido por un foco recorremos caminos ópticos iguales, entonces los puntos que los delimitan forman una superficie normal a todos los rayos. Denominamos a dicha superficie frente de ondas. Coincide con el frente de onda dado por la teoría oscilatoria. Al deducirse del principio de Fermat es válido a pesar del número de reflexiones o refracciones que pueda sufrir el rayo antes de llegar a su destino.

Ley de la reflexión

Artículo principal: Ley de Snell

Si se supone que un rayo de luz sale del punto A en dirección a la superficie plana, que suponemos reflectora, y viaja hasta el punto B ¿Cuál será la trayectoria seguida por la luz? En este caso la luz viaja durante todo el camino por el mismo medio, con el mismo índice de refracción y, por tanto, a la misma velocidad. Así, el tiempo necesario para recorrer el camino entre A y B (pasando por la superficie P) será la distancia APB dividida por la velocidad de la luz en ese medio. Como la velocidad es una constante, la trayectoria real, según el principio de Fermat, será la más corta.

Es fácil ver que la distancia APB es la misma que la distancia A'PB, donde A' es la imagen de A. A' está sobre la recta perpendicular al espejo que pasa por A, a la misma distancia del espejo que A y al otro lado del mismo. La distancia mínima A'PB es, obviamente, la línea recta A'P2B, con lo que la trayectoria real es AP2B. El análisis completo de la situación muestra que P2 es tal que los ángulos de incidencia y de reflexión en el punto son iguales, de lo que se deduce la fórmula de la ley de la reflexión: ${\displaystyle {\theta }_i={\theta }_r}$

Ley de la refracción

Artículo principal: Ley de Snell

Sea un medio de propagación con índice de refracción ${\displaystyle n_1}$ y un segundo medio de propagación con índice de refracción ${\displaystyle n_2}$ tales que situamos la superficie que separa los dos medios de modo que coincida con el eje de las abcisas.

Sean ${\displaystyle A=(x_A,y_A)}$ y ${\displaystyle B=(x_B,y_B)}$ dos puntos fijos situados del plano, de modo que A está situado en el primer medio, y B en el segundo medio.

Sea un rayo de luz que se propaga de A a B atravesando la superficie que separa los dos medios en el punto ${\displaystyle P=(x,0)}$.

El siguiente paso es deducir el tiempo que tarda el rayo en recorrer ${\displaystyle \overline{AP}}$ y ${\displaystyle \overline{PB}}$.

Sean ${\displaystyle v_1}$ y ${\displaystyle v_2}$ la velocidad de propagación de la luz en el primer y segundo medio respectivamente.

${\displaystyle t_1=\frac{\overline{AP}}{v_1}=\frac{\sqrt{(x_A-x{)}^2+{y_A}^2}}{v_1}}$; ${\displaystyle t_2=\frac{\overline{PB}}{v_2}=\frac{\sqrt{(x-x_B{)}^2+{y_B}^2}}{v_2}}$

${\displaystyle t=\frac{\sqrt{(x_A-x{)}^2+{y_A}^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{(x-x_B{)}^2+{y_B}^2}}{v_2}}$

Si se busca el valor de ${\displaystyle x}$ cuando ${\displaystyle t}$ es mínimo, es equivalente si encontramos el valor de ${\displaystyle x}$ para el cual la función derivada de ${\displaystyle t}$ toma el valor 0.

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\frac{x_A-x}{v_1\sqrt{(x_A-x{)}^2+{y_A}^2}}+\frac{x-x_B}{v_2\sqrt{(x-x_B{)}^2+{y_B}^2}}=0}$

${\displaystyle \frac{x_A-x}{v_1\sqrt{(x_A-x{)}^2+{y_A}^2}}=\frac{x_B-x}{v_2\sqrt{(x-x_B{)}^2+{y_B}^2}}}$

${\displaystyle \frac{x_A-x}{v_1\overline{AP}}=\frac{x_B-x}{v_2\overline{PB}}}$

${\displaystyle \frac{1}{v_1}\sin {\alpha }_1=\frac{1}{v_2}\sin {\alpha }_2}$

${\displaystyle \frac{c}{v_1}\sin {\alpha }_1=\frac{c}{v_2}\sin {\alpha }_2}$

${\displaystyle n_1\sin {\alpha }_1=n_2\sin {\alpha }_2}$

Historia

Pierre de Fermat

Herón de Alejandría (Heron) (c. 60) describió un principio de reflexión, que declaraba que un rayo de luz que va desde el punto A al punto B, sufriendo cualquier número de reflexiones en espejos planos, en el mismo medio, tiene un trayecto con menor longitud que cualquier trayecto cercano.^[1]

Ibn al-Haytham (Alhazen), en su Libro de Óptica (1021), amplió el principio tanto a la reflexión como a la refracción, y expresó una temprana versión del principio del menor tiempo. Sus experimentos se basaron en trabajos anteriores sobre la refracción realizados por el científico griego Claudio Ptolomeo.^[2]

El principio generalizado del menor tiempo en su forma moderna fue declarado por Pierre de Fermat en una carta fechada el 1 de enero de 1662 enviada a Cureau de la Chambre.^[3] Se encontró con las objeciones efectuadas en mayo de 1662 por Claude Clerselier, un experto en óptica y líder portavoz de los cartesianos en ese momento. Entre sus objeciones, Clerselier establecía:

(...) Fermat's principle can not be the cause, for otherwise we would be attributing knowledge to nature: and here, by nature, we understand only that order and lawfulness in the world, such as it is, which acts without foreknowledge, without choice, but by a necessary determination.

El principio de Fermat no puede ser la causa, pues de lo contrario estaríamos atribuyendo conocimiento a la naturaleza: y aquí, por naturaleza, entendemos sólo que el orden y la legalidad en el mundo, tal como es, que actúa sin conocimiento previo, sin elección, sino por una determinación necesaria.

Claude Clerselier (1622)

El original, en francés, de Mahoney, es el siguiente:

Le principe que vous prenez pour fondement de votre démonstration, à savoir que la nature agit toujours par les voies les plus courtes et les plus simples, n’est qu’un principe moral et non point physique, qui n’est point et qui ne peut être la cause d’aucun effet de la nature.

El principio que usted toma para fundamentar su demostración, a saber, que la naturaleza actúa siempre por las vías más cortas y las más simples, no es más que un principio moral y no uno físico, que no es ni puede ser la causa de ningún efecto de la naturaleza.

Mahoney

De hecho el principio de Fermat no se sostiene por sí solo, y ahora se sabe que se puede derivar de principios anteriores, como el principio de Huygens. Históricamente, el principio de Fermat ha servido como principio rector en la formulación de las leyes de la Física con el uso del cálculo variacional (véase el principio de mínima acción).