EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 

La ecuación del diodo de Shockley es el modelo matemático más empleado para el estudio del diodo. Nombrada así en honor a William Bradford Shockley, la ecuación permite aproximar el comportamiento del diodo en la mayoría de las aplicaciones. La ecuación que relaciona la intensidad de corriente y la diferencia de potencial en este dispositivo es:

${\displaystyle I_{\text{D}}=I_{\mathrm{S}}\left(T\right)\left(e^{\frac{V_{\text{D}}}{n{V}_{\text{T}}}}-1\right)}$

Donde:

I_D es la intensidad de la corriente que atraviesa el diodo.

I_S es la corriente de saturación dependiente de la temperatura de juntura (${\displaystyle I_{\text{S}}(T)\approx {10}^{-12}\dots {10}^{-6}\mathrm{A}}$).

V_D es la diferencia de potencial en sus terminales.

n es el coeficiente de emisión, dependiente del proceso de fabricación del diodo y que suele adoptar valores entre 1 (para el germanio) y del orden de 2 (para el silicio).

V_T es la tensión térmica de juntura ${\displaystyle V_{\text{T}}=\frac{k_{\mathrm{B}}\cdot T}{q}\approx 25\mathrm{m}\mathrm{V}}$ a 20 °C

T es la temperatura absoluta de juntura

k_B es la constante de Boltzmann

q es la carga elemental del electrón .

Origen

Shockley propone una ecuación para la tensión en una unión p-n en un extenso artículo publicado en 1949.^[1] Luego encuentra una expresión para la corriente como una función de la tensión bajo algunas consideraciones, la cual se denomina ecuación ideal de Shockley para el diodo.^[2] Él la llamó "una fórmula teórica de rectificación para dar máxima rectificación", con una nota al pie referenciando un trabajo de Carl Wagner, Physikalische Zeitschrift 32, pp. 641–645 (1931).

La ecuación del momento de Cauchy es una ecuación diferencial parcial en función de una variable vectorial propuesta por Augustin Louis Cauchy, que describe el transporte no relativista de momento en cualquier medio continuo. En forma convectiva (o Lagrangiana) es descrita por la ecuación:

${\displaystyle \frac{D\mathbf{u}}{Dt}=\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\sigma }+\mathbf{g}}$

donde: ρ es la densidad en el punto considerado en el medio continuo (en el cual se mantiene la ecuación de continuidad), σ es el tensor, y g representa la fuerza aplicada sobre el cuerpo por unidad de masa (en ocasiones simplemente la aceleración gravitacional). Mientras que u es la velocidad de flujo en el campo del vector, esta depende del tiempo y espacio.

Después de un cambio de variables, también se puede expresar en forma de la ecuación de conservación (también conocida como Euleriana):

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\mathbf{j}}{\mathrm{\partial }t}+\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F}=\mathbf{s}}$

Donde j es el flujo asociado a la masa en un punto dado del espacio-tiempo, F es el flujo asociado con la densidad del momento, y s se refiere a todas las fuerzas contenidas sobre un cuerpo por unidad de volumen.

Deducción

Aplicando la segunda ley de Newton a un volumen de control en el medio continuo que se está modelando:

${\displaystyle m{a}_i=F_i}$

y basándose en el teorema de transporte de Reynolds y en la notación de derivada:

${\displaystyle \begin{array}{rl}{\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho \frac{D{u}_i}{Dt}dV& amp;={\int }_{\mathrm{\Omega }}{\mathrm{\nabla }}_j{\sigma }_i^{j}dV+{\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho g_{i}dV\\ {\int }_{\mathrm{\Omega }}\left(\rho \frac{D{u}_i}{Dt}-{\mathrm{\nabla }}_j{\sigma }_i^j-\rho g_i\right)dV& amp;=0\\ \rho \frac{D{u}_i}{Dt}-{\mathrm{\nabla }}_j{\sigma }_i^j-\rho g_i& amp;=0\\ \frac{D{u}_i}{Dt}-\frac{{\mathrm{\nabla }}_j{\sigma }_i^j}{\rho }-g_i& amp;=0\end{array}}$

donde Ω representa el control de volumen. Dado que esta ecuación debe ser válida para cualquier volumen de control, el integrando debe ser cero, a partir de la ecuación del momento de Cauchy. El primer paso para derivar esta ecuación es establecer que la derivada del tensor de tensión es una de las fuerzas que constituyen.

Ecuación de conservación

Véase también: Ley de conservación

Las ecuaciones de Cauchy también se pueden representar de la siguiente manera:

Ecuación del momento de Cauchy (forma conservativa) ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\mathbf{j}}{\mathrm{\partial }t}+\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F}=\mathbf{s}}$

definiendo:

${\displaystyle \begin{array}{r}\mathbf{j}=\rho \mathbf{u}\\ \mathbf{F}=\rho \mathbf{u}\otimes \mathbf{u}-\mathit{\sigma }\\ \mathbf{s}=\rho \mathbf{g}\end{array}}$

donde j es el flujo asociado a la masa para el punto considerado en el medio continuo, (el cual sigue la ecuación de continuidad) F es el flujo asociado con la densidad del momento, y s representa todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo por unidad de volumen. u ⊗ u es el producto tensorial de la velocidad.

Aquí j y s tienen el mismo número de dimensiones N que la velocidad de flujo y la aceleración del cuerpo, mientras que F, al ser un tensor, tiene N².

En las formas de Euler , es evidente que la suposición de que no hay tensión desviadora lleva las ecuaciones de Cauchy a las ecuaciones de Euler.

Aceleración convectiva

Un ejemplo de aceleración convectiva. El flujo es constante (independiente del tiempo), pero el fluido se desacelera a medida que se desplaza hacia abajo por el conducto divergente (suponiendo un flujo incompresible o compresible subsónico).

Una característica importante de las ecuaciones de Navier-Stokes es la presencia de aceleración por convección: el efecto de la aceleración independiente del tiempo de un flujo con respecto al espacio. Si bien las partículas continuas individuales experimentan una aceleración dependiente del tiempo, la aceleración por convección del campo de flujo es un efecto espacial, un ejemplo es la aceleración del fluido en una boquilla.

Independientemente del tipo de continuidad que se esté tratando, la aceleración por convección es un efecto no lineal. La aceleración por convección está presente en la mayoría de los flujos (las excepciones incluyen el flujo incompresible unidimensional), pero su efecto dinámico no se tiene en cuenta en el flujo progresivo (también llamado flujo de Stokes). La aceleración convectiva está representada por la cantidad no lineal u · ∇u , que puede interpretarse como (u · ∇)u o como u · (∇u) , con ∇u la derivada tensorial del vector de velocidad u. Ambas interpretaciones dan el mismo resultado.^[1]

Operador de advección frente a derivada tensorial

El término de convección ${\displaystyle D\mathbf{u}/Dt}${\ displaystyle D \ mathbf {u} / Dt} puede escribirse como (u · ∇)u, donde u · ∇ es el operador de advección. Dicha representación puede ser comparada con uno de los términos de la derivada tensorial.^[1] La derivada del tensor ∇u es resultado de la derivación componente por componente del vector de velocidad, definido por [∇u]_mi = ∂_m v_i, de manera que

${\displaystyle {\left[\mathbf{u}\cdot \left(\mathrm{\nabla }\mathbf{u}\right)\right]}_i=\sum _m{v}_m{\mathrm{\partial }}_m{v}_i={\left[(\mathbf{u}\cdot \mathrm{\nabla })\mathbf{u}\right]}_i.}$

Forma de Lamb

La identidad de cálculo vectorial del producto vectorial del rotacional dice que

${\displaystyle \mathbf{v}\times \left(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{a}\right)={\mathrm{\nabla }}_a\left(\mathbf{v}\cdot \mathbf{a}\right)-\mathbf{v}\cdot \mathrm{\nabla }\mathbf{a}}$

donde el subindice de Feynman ∇_a es usado para definir que el gradiente solo opera sobre el factor a.

Lamb^[2] usó esta identidad para cambiar el término convectivo de la velocidad del flujo en forma rotacional, es decir, sin un derivado tensorial:^[3]

${\displaystyle \mathbf{u}\cdot \mathrm{\nabla }\mathbf{u}=\mathrm{\nabla }\left(\frac{\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2}{2}\right)+\left(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{u}\right)\times \mathbf{u}}$

donde el vector {\d${\displaystyle \mathbf{l}=\left(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{u}\right)\times \mathbf{u}}$isplaystyle \mathbf {l} =\left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\times \mathbf {u} } es llamado vector de Lamb. La ecuación del momento de Cauchy se convierte en:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\mathbf{u}}{\mathrm{\partial }t}+\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }\left(u^2\right)+(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{u})\times \mathbf{u}=\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\sigma }+\mathbf{g}}$

Usando la identidad:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot \left(\frac{\mathit{\sigma }}{\rho }\right)=\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\sigma }-\frac{1}{{\rho }^2}\mathit{\sigma }\cdot \mathrm{\nabla }\rho }$

La ecuación de Cauchy cambia a:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot \left(\frac{1}{2}{u}^2+\frac{\mathit{\sigma }}{\rho }\right)-\mathbf{g}=\frac{1}{{\rho }^2}\mathit{\sigma }\cdot \mathrm{\nabla }\rho +\mathbf{u}\times (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{u})-\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{u}}{\mathrm{\partial }t}}$

En el caso de un campo conservativo externo, definido por el potencial φ:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot \left(\frac{1}{2}{u}^2+\varphi +\frac{\mathit{\sigma }}{\rho }\right)=\frac{1}{{\rho }^2}\mathit{\sigma }\cdot \mathrm{\nabla }\rho +\mathbf{u}\times (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{u})-\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{u}}{\mathrm{\partial }t}}$

En el caso de un flujo constante, la derivada temporal de la velocidad del flujo desaparece, por lo que la ecuación del momento se convierte en:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot \left(\frac{1}{2}{u}^2+\varphi +\frac{\mathit{\sigma }}{\rho }\right)=\frac{1}{{\rho }^2}\mathit{\sigma }\cdot \mathrm{\nabla }\rho +\mathbf{u}\times (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{u})}$

y al desarrollar la ecuación de impulso en la dirección del flujo, es decir, a lo largo de una línea de corriente , el producto vectorial desaparece debido a una identidad de cálculo vectorial denominada triple producto escalar.

${\displaystyle \mathbf{u}\cdot \mathrm{\nabla }\cdot \left(\frac{1}{2}{u}^2+\varphi +\frac{\mathit{\sigma }}{\rho }\right)=\frac{1}{{\rho }^2}\mathbf{u}\cdot (\mathit{\sigma }\cdot \mathrm{\nabla }\rho )}$

Si el tensor de tensión es isotrópico, solo interfiere la presión, y la ecuación del momento de Euler en el caso de un flujo incomprensible estable se convierte en:

${\displaystyle \mathbf{u}\cdot \mathrm{\nabla }\cdot \left(\frac{1}{2}{u}^2+\varphi +\frac{p}{\rho }\right)=\frac{p}{{\rho }^2}\mathbf{u}\cdot \mathrm{\nabla }\rho }$

En el caso de un flujo incomprensible estacionario, la ecuación de masa es solo:

${\displaystyle \mathbf{u}\cdot \mathrm{\nabla }\rho =0,}$

es decir, la conservación de masa para un flujo incompresible constante indica que la densidad a lo largo de una línea de corriente es constante. Esta circunstancia permite simplificar la ecuación del momento de Euler:

${\displaystyle \mathbf{u}\cdot \mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{2}{u}^2+\varphi +\frac{p}{\rho }\right)=0}$

Es conveniente definir la altura total para un fluido no viscoso.

${\displaystyle b_l\equiv \frac{1}{2}{u}^2+\varphi +\frac{p}{\rho },}$

y la ecuación anterior puede escribirse simplemente como:

${\displaystyle \mathbf{u}\cdot \mathrm{\nabla }{b}_l=0}$

Es decir, el equilibrio de momentos para un flujo viscoso e incompresible constante en un campo conservador externo indica que la altura total es constante.

Flujo irrotacional

La forma de Lamb también es útil en el flujo irrotacional, donde el rotacional de la velocidad (llamado vorticidad)ω = ∇ × u En este caso, el término de convección ${\displaystyle D\mathbf{u}/Dt}$ queda reducido a:

${\displaystyle \mathbf{u}\cdot \mathrm{\nabla }\mathbf{u}=\mathrm{\nabla }\left(\frac{\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2}{2}\right).}$

Tensión

El efecto del tensión en el flujo continuo está representado por los términos ∇p y ∇ · τ, que son gradientes de fuerzas de superficie, análogos a las tensiones en un sólido. Aquí ∇p es el gradiente de presión y surge de la parte isotrópica del tensor de tensión de Cauchy. Esta parte está dada por las tensiones normales que aparecen en casi todas las situaciones. La parte anisotrópica del tensor de tensión da lugar a ∇ · τ, que generalmente describe fuerzas viscosas. Para un flujo incompresible, esto es solo un efecto de corte. Así, τ es el tensor de desviación. y el tensor de tensión es igual a:^[4]

${\displaystyle \mathit{\sigma }=-p\mathbf{I}+\mathit{\tau }}$

donde I es la matriz de identidad en el espacio considerado y τ es el tensor de corte.

Todas las ecuaciones de conservación de momento no relativistas, como la ecuación de Navier-Stokes , pueden derivarse comenzando con la ecuación de momento de Cauchy y especificando el tensor de tensión a través de una relación constitutiva. Al expresar el tensor de corte en términos de viscosidad y velocidad del fluido, y al suponer una densidad y viscosidad constantes, la ecuación de momento de Cauchy conducirá a las ecuaciones de Navier-Stokes. Al suponer un flujo no viscoso , las ecuaciones de Navier-Stokes pueden simplificar las ecuaciones de Euler.

La divergencia del tensor de tensión se puede escribir como:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\sigma }=-\mathrm{\nabla }p+\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\tau }.}$

El efecto del gradiente de presión sobre el flujo es acelerarlo desde una zona de presión alta hacia una zona de presión baja.

Como está escrito en la ecuación del impulso de Cauchy, los términos de tensión p y τ aún no se conocen, por lo que esta ecuación por sí sola no se puede usar para resolver problemas. Además de las ecuaciones de movimiento, la segunda ley de Newton, se necesita un modelo de fuerza que relacione las tensiones con el movimiento del flujo.^[5] Por esta razón, a menudo se aplican las suposiciones basadas en observaciones naturales para especificar las tensiones en términos de las otras variables de flujo, como la velocidad y la densidad.

Fuerzas externas

El campo vectorial g representa fuerzas aplicadas sobre un cuerpo por unidad de masa. Estos consisten solo en la aceleración de la gravedad, pero pueden incluir otros, como las fuerzas electromagnéticas.

Estas fuerzas pueden ser representadas por el gradiente de alguna cantidad escalar χ, con g = ∇χ en este caso llamadas fuerzas conservativas. La gravedad en la dirección z es un ejemplo de ello, con la forma del gradiente −ρgz. Debido a que la presión de tal gravitación surge solo como un gradiente, se puede incluirla en el término de presión como una fuerza sobre un cuerpo h = p − χ. Los términos de presión y fuerza en el lado derecho de la ecuación de Navier-Stokes se convierten en:

${\displaystyle -\mathrm{\nabla }p+\mathbf{g}=-\mathrm{\nabla }p+\mathrm{\nabla }\chi =-\mathrm{\nabla }\left(p-\chi \right)=-\mathrm{\nabla }h.}$

Adimensionalidad

Para que las ecuaciones no tengan dimensiones, es necesario definir una longitud característica r₀ y una velocidad característica u₀. Estos deben elegirse de modo que las variables adimensionales sean todas de orden uno. Se obtienen así las siguientes variables adimensionales:

Sustituyendo estas relaciones se obtiene la siguiente ecuación:

${\displaystyle \frac{{\rho }_0{u}_0^2}{r_0}\frac{\mathrm{\partial }{\rho }^{\ast }{\mathbf{u}}^{\ast }}{\mathrm{\partial }{t}^{\ast }}+\frac{{\mathrm{\nabla }}^{\ast }}{r_0}\cdot \left({\rho }_0{u}_0^2{\rho }^{\ast }{\mathbf{u}}^{\ast }\otimes {\mathbf{u}}^{\ast }+p_0{p}^{\ast }\right)=-\frac{{\tau }_0}{r_0}{\mathrm{\nabla }}^{\ast }\cdot {\mathit{\tau }}^{\ast }+g_0{\mathbf{g}}^{\ast }}$

y dividiendo por el primer coeficiente:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }{\rho }^{\ast }{u}^{\ast }}{\mathrm{\partial }{t}^{\ast }}+{\mathrm{\nabla }}^{\ast }\cdot \left({\rho }^{\ast }{\mathbf{u}}^{\ast }\otimes {\mathbf{u}}^{\ast }+\frac{p_0}{{\rho }_0{u}_0^2}{p}^{\ast }\right)=-\frac{{\tau }_0}{{\rho }_0{u}_0^2}{\mathrm{\nabla }}^{\ast }\cdot {\mathit{\tau }}^{\ast }+\frac{g_0{r}_0}{u_0^2}{\mathbf{g}}^{\ast }}$.

Ahora, definiendo el número de Froude

${\displaystyle \mathrm{F}\mathrm{r}=\frac{u_0^2}{g_0{r}_0},}$

el número de Euler

${\displaystyle \mathrm{E}\mathrm{u}=\frac{p_0}{{\rho }_0{u}_0^2},}$

y el coeficiente de fricción o el coeficiente de arrastre en el campo de la aerodinámica:

${\displaystyle C_{\mathrm{f}}=\frac{2{\tau }_0}{{\rho }_0{u}_0^2},}$

usando las variables conservativas, la densidad de momento y la densidad de fuerza:

${\displaystyle \begin{array}{r}\mathbf{j}=\rho \mathbf{u}\\ \mathbf{f}=\rho \mathbf{g}\end{array}}$

finalmente las expresiones son:

Ecuación del momento de Cauchy (forma no conservadora adimensional) ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\mathbf{j}}{\mathrm{\partial }t}+\mathrm{\nabla }\cdot \left(\frac{1}{\rho }\mathbf{j}\otimes \mathbf{j}+\mathrm{E}\mathrm{u}p\right)=-\frac{C_{\mathrm{f}}}{2}\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\tau }+\frac{1}{\mathrm{F}\mathrm{r}}\mathbf{f}}$

las ecuaciones de Cauchy en el límite de Froude Fr → ∞ son nombradas ecuaciones de Cauchy libres

Ecuación del momento de Cauchy libre (forma no conservadora adimensional) ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\mathbf{j}}{\mathrm{\partial }t}+\mathrm{\nabla }\cdot \left(\frac{1}{\rho }\mathbf{j}\otimes \mathbf{j}+\mathrm{E}\mathrm{u}p\right)=-\frac{C_{\mathrm{f}}}{2}\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\tau }}$

Finalmente en forma convectiva las ecuaciones son:

Ecuación de momento de Cauchy (forma no convectiva adimensional) ${\displaystyle \frac{D\mathbf{u}}{Dt}+\mathrm{E}\mathrm{u}\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\sigma }=\frac{1}{\mathrm{F}\mathrm{r}}\mathbf{g}}$

Dos curvas de la familia que trata el principio de acción estacionaria, que como se observa en la imagen es en esencia un problema de cálculo de variaciones. La curva q(t) es el camino real que sigue la partícula, mientras que q(t)+h(t) es otro camino posible pero que no sigue porque no minimiza la acción (naturalmente, ambos caminos coinciden en los extremos del intervalo considerado)

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son las condiciones bajo las cuales cierto tipo de problema variacional alcanza un extremo. Aparecen sobre todo en el contexto de la mecánica clásica en relación con el principio de mínima acción, también aparecen en teoría clásica de campos (electromagnetismo y teoría general de la relatividad) y sirve de base para la formulación de integrales de camino para la teoría cuántica de campos.

Historia

La ecuación de Euler-Lagrange fue desarrollada en 1750 por Euler y Lagrange como solución al problema de la tautócrona (caso general de la braquistócrona): consiste en determinar la curva de la trayectoria que describiría el descenso en la que una partícula con masa cae a cierto punto, en un tiempo dado, independiente de su posición inicial.

Lagrange resolvería el problema en 1755 y enviaría la solución a Euler. Ambos desarrollarían aún más el método de Lagrange y lo aplicarían a problemas de mecánica; cosa que a su vez conduciría a formular por vez primera la mecánica lagrangiana. Dicha correspondencia también desembocaría en el desarrollo del cálculo de variaciones, un término acuñado por el mismo Euler en 1766.^[1]

Definición

La ecuación de Euler–Lagrange es una ecuación la cual se satisface con una función, ${\displaystyle \mathit{q}}$, con argumento real ${\displaystyle t}$, el cual es un punto estacionario del funcional

${\displaystyle {\displaystyle S(\mathit{q})={\int }_a^{b}L(t,\mathit{q}(t),{\mathit{q}}^{\prime }(t))\mathrm{d}t}}$

donde:

• ${\displaystyle \mathit{q}}$ es la función para hallar:

tal que ${\displaystyle \mathit{q}}$ es diferenciable, ${\displaystyle \mathit{q}(a)={\mathit{x}}_a}$, y ${\displaystyle \mathit{q}(b)={\mathit{x}}_b}$;

• ${\displaystyle {\mathit{q}}^{\prime }}$; es la derivada de ${\displaystyle \mathit{q}}$:

  

${\displaystyle T_{q(t)}X}$ es el espacio tangente a ${\displaystyle X}$ en el punto ${\displaystyle q(t)}$.

• ${\displaystyle L}$ es una función real con derivadas parciales con continuidad primera:

  

${\displaystyle TX}$ tiene fibrado tangente de ${\displaystyle X}$ definido por

${\displaystyle TX=\bigcup _{x\in X}\{x\}\times T_{x}X}$ ;

Entonces, la ecuación de Euler–Lagrange está dada por:

${\displaystyle L_x(t,q(t),q^{\prime }(t))-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{L}_v(t,q(t),q^{\prime }(t))=0.}$

donde ${\displaystyle L_x}$ y ${\displaystyle L_v}$ son las derivadas parciales de ${\displaystyle L}$ correspondientes a los argumentos segundo y tercero, respectivamente.

Si la dimensión de ${\displaystyle X}$ es mayor a 1, es un sistema de ecuaciones diferenciales, donde cada componente es:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }{q}_i}(t,\mathit{q}(t),{\mathit{q}}^{\prime }(t))-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }{\dot{q}}_i}(t,\mathit{q}(t),{\mathit{q}}^{\prime }(t))=0\text{for }i=1,\dots ,n.}$

Ecuaciones de Euler-Lagrange en física

Artículo principal: Acción (física)

Caso discreto

En mecánica clásica, estas ecuaciones establecen que la integral de acción para un sistema físico es un mínimo. Los sistemas de partículas o sistemas discretos tienen un número finito de grados de libertad, y en esos casos la integral de acción es del tipo:

${\displaystyle S={\int }_{t_1}^{t_2}L(x,\dot{x}(t))dt}$

Y su correspondiente variación viene dada por:

${\displaystyle \delta S={\int }_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }{x}^a}-\frac{d}{dt}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }{\dot{x}}^a}\right)dt}$

Si se impone ahora que ${\displaystyle \delta S=0}$ para variaciones "cercanas", esto implica que:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }{x}^a}-\frac{d}{dt}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }{\dot{x}}^a}=0}$

donde L es el lagrangiano para el sistema, y ${\displaystyle x^a}$ son las coordenadas generalizadas del sistema.

Caso continuo

La formalización de ciertos problemas físicos requiere construir una integral de acción sobre un continuum o sistema que no puede ser tratado mediante un número finito de variables o grados de libertad. Así en teoría de campos y mecánica de medios continuos la acción física puede expresarse como una integral sobre un volumen:

${\displaystyle S={\int }_{\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n}\mathcal{L}({\psi }^A,{\mathrm{\partial }}_{\mu }{\psi }^A)d^{n}x}$

Donde ${\displaystyle d^{n}x}$ es el elemento de volumen que usualmente viene dado por una n-forma y ${\displaystyle {\psi }^A,{\mathrm{\partial }}_{\mu }{\psi }^A}$ representan las variables del campo y sus derivadas respecto a las coordenadas espaciales (o espacio-temporales). Cuando la acción toma esa forma las ecuaciones de Euler-Lagrange para el campo que minimiza la anterior integral, usando el convenio de sumación de Einstein, vienen dadas por:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }{\psi }^A}-\frac{d}{d{x}^{\mu }}\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }({\mathrm{\partial }}_{\mu }{\psi }^A)}=0}$

Mecánica lagrangiana de la partícula

Un ejemplo de problema mecánica simple es el de una partícula sometida a un campo de fuerzas conservativo, en ese caso su trayectoria puede ser encontrada mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas al lagrangiano:

${\displaystyle L(x,y,z,v_x,v_y,v_z)=\frac{m}{2}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)-V(x,y,z)}$

La función lagrangiana anterior usa coordenadas cartesianas, aunque según el tipo de problema también puede escribirse un lagrangiano en términos de cualquier tipo de coordenadas generalizadas:

${\displaystyle (q_1,...q_n;{\dot{q}}_1,...,{\dot{q}}_n;t)\mapsto L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\in \mathbb{R}}$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange para el caso de las coordenadas cartesianas se reducen a la segunda ley de Newton para la partícula:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }{x}_i}-\frac{d}{dt}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }{v}_i}=0\Rightarrow -\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }{x}_i}-\frac{d(m{v}_i)}{dt}=0\Rightarrow \mathbf{F}=m\frac{d\mathbf{v}}{dt}=-\mathbf{\nabla }V(x,y,z)}$

Teoría de campos

La teoría clásica de campos es un buen ejemplo del caso multidimensional anteriormente descrito. Así por ejemplo las ecuaciones de Maxwell no son otra cosa que las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas al "lagrangiano" de Maxwell. La densidad lagrangiana de Maxwell viene dada por:

(*)${\displaystyle \mathcal{L}={\mathcal{L}}_{int}+{\mathcal{L}}_{em}=\left(\frac{1}{c}\mathbf{A}\cdot \mathbf{j}-{\rho }_e\varphi \right)+\left(-\frac{{\mathbf{E}}^2-{\mathbf{B}}^2}{8\pi }\right)}$

Donde el primer término es el lagrangiano de interacción y el segundo el lagrangiano del campo electromagnético libre y además:

${\displaystyle \mathbf{E},\mathbf{B}}$, son los campos eléctrico y magnético.

${\displaystyle {\rho }_e,\mathbf{j}}$, son la densidad de carga eléctrica y la densidad de corriente asociada a las cargas que interactúan con el campo.

${\displaystyle \varphi ,\mathbf{A}}$, son el potencial eléctrico y el potencial vectorial del campo.

Considerando aquí el campo descrito por los potenciales ${\displaystyle ({\psi }_0,{\psi }_1,{\psi }_2,{\psi }_3)=(\varphi ,A_x,A_y,A_z)}$, los campos eléctrico y magnético son expresables en términos de sus derivadas:

${\displaystyle \mathbf{E}=-\mathbf{\nabla }\varphi -\frac{1}{c}\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{A}}{\mathrm{\partial }t},\mathbf{B}=\mathbf{\nabla }\times \mathbf{A}}$

Todos estos términos substituidos en la ecuación de Euler-Lagrange (*) nos lleva a las ecuaciones de Maxwell. Si a la densidad lagrangiana anterior le agregamos, la densidad lagrangiana de la materia en interacción con el campo electromagnético viene dado por:

${\displaystyle {\mathcal{L}}_m=-\mu c^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Cuando esta parte se tiene en cuenta también se recupera la expresión para la fuerza de Lorentz.

Aplicaciones en mecánica cuántica

Un artículo influyente, para la introducción del formalismo lagrangiano en la mecánica cuántica, fue el de Paul Dirac de 1932. El artículo titulado “El lagrangiano en Mecánica Cuántica” comienza de la siguiente manera:

“La mecánica cuántica fue construida sobre la base de la analogía con el hamiltoniano de la mecánica clásica. Esto se debe a que se encontró que la clásica noción de coordenadas canónicas y momentos es similar a la análoga cuántica, como resultado del cual la totalidad de la teoría clásica hamiltoniana, la cual es justamente una estructura construida sobre esta noción, debería ser tomada sobre todos sus detalles en mecánica cuántica.

Ahora tenemos una formulación alternativa para la dinámica clásica, provista por el lagrangiano. Esto requiere trabajar en términos de coordenadas y velocidades en lugar de coordenadas y momentos. Las dos formulaciones son, sin embargo, cercanamente relacionadas, pero hay razones para creer que el lagrangiano es el más fundamental.

En primer lugar, el método lagrangiano nos permite conectar juntas todas las ecuaciones del movimiento y expresarlas como una propiedad estacionaria de una cierta función de acción. (Esta función de acción es justamente la integral en el tiempo del lagrangiano). No existe un principio de acción correspondiente en términos de las coordenadas y momentos en la teoría hamiltoniana. En segundo lugar el método lagrangiano puede fácilmente ser expresado en forma relativista, teniendo en cuenta que la función de acción es invariante relativista; mientras que el método hamiltoniano es esencialmente de forma no relativista, dado que delimita una variable de tiempo particular como la conjugada canónica de la función hamiltoniana.

Por estas razones sería deseable tomar la cuestión de lo que corresponde en la teoría cuántica al método lagrangiano de la teoría clásica. Una pequeña consideración muestra, sin embargo, que uno no puede esperar ser capaz de tomar las ecuaciones clásicas de Lagrange en una forma directa. Estas ecuaciones involucran derivadas parciales del lagrangiano respecto a las coordenadas y velocidades y no significa poder tener tales derivadas en mecánica cuántica.

El solo proceso de diferenciación que puede realizarse respecto a las variables dinámicas de la mecánica cuántica es el que forma los corchetes de Poisson y este proceso conduce a la teoría hamiltoniana.

Debemos por lo tanto mirar nuestra teoría cuántica lagrangiana de una manera indirecta. Debemos intentar tomar las ideas de la teoría lagrangiana clásica, no las ecuaciones de la teoría clásica lagrangiana”.^[2]

Síntesis de aplicaciones en física

Como se vio antes, es posible derivar las ecuaciones de la mecánica clásica como las del electromagnetismo a partir del lagrangiano respectivo introducido en las ecuaciones de Euler-Lagrange. Por ese camino, es posible ampliar el lagrangiano de Maxwell para obtener el lagrangiano de Dirac y así obtener, luego, la ecuación relativista de Dirac. También las ecuaciones de Schrödinger, de Klein-Gordon y de Proca pueden obtenerse por ese método.

Incluso es posible derivar las ecuaciones de Einstein, de la relatividad generalizada, a partir del lagrangiano de Hilbert-Einstein^[3]

Ecuaciones de Euler-Lagrange en geometría

Las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden ser usadas para encontrar fácilmente la ecuación de las curvas geodésicas en una variedad de Riemann o "espacio curvo". Para ello consideremos un conjunto de coordenadas (x¹, ...xⁿ) sobre una región abierta U de la variedad de Riemann V_R donde el tensor métrico viene dado por la expresión:

${\displaystyle g=\sum _{i,j=1}^n{g}_{ij}d{x}^i\otimes d{x}^j}$

Puesto que dados dos puntos cualquiera de V_R las geodésicas son las líneas de mínima longitud entre ellos podemos plantear el siguiente problema variacional, para el cuadrado de la longitud de una curva:

${\displaystyle s={\int }_a^b\sqrt{\sum _{i,j=1}^n{g}_{ij}\frac{d{x}^i}{dt}\frac{d{x}^j}{dt}}dt}$

La minimización de la expresión anterior al ser la raíz una función monótona, es equivalente a la minimización de una integral de acción donde el lagrangiano sea:

${\displaystyle L(x^i,{\dot{x}}^i)=\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^n{g}_{ij}{\dot{x}}^i{\dot{x}}^j}$

De ahí que la ecuación diferencial de las geodésicas venga dada por:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }{x}^k}-\frac{d}{dt}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }{\dot{x}}^k}=\sum _{i,j=1}^n\left(\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\partial }{g}_{ij}}{\mathrm{\partial }{x}^k}{\dot{x}}^i{\dot{x}}^j\right)-\frac{d}{dt}\sum _{j=1}^n\left(g_{kj}{\dot{x}}^j\right)=0}$

La ecuación anterior de hecho puede, usando la simetría del tensor métrico, escribirse como:

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^n\left(\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\partial }{g}_{ij}}{\mathrm{\partial }{x}^k}{\dot{x}}^i{\dot{x}}^j-\frac{\mathrm{\partial }{g}_{kj}}{\mathrm{\partial }{x}^i}{\dot{x}}^i{\dot{x}}^j\right)-\sum _{j=1}^n{g}_{kj}{\ddot{x}}^j=0}$

Que en términos de los símbolos de Christoffel (de primera o segunda especie) sencillamente como:

${\displaystyle \sum _{j=1}^n{g}_{kj}{\ddot{x}}^j+\sum _{i,j=1}^n{\mathrm{\Gamma }}_{k,ij}{\dot{x}}^i{\dot{x}}^j=0{\ddot{x}}^j+\sum _{i,j=1}^n{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{\dot{x}}^i{\dot{x}}^j=0}$

Donde se han definido los símbolos de Christoffel como a partir de las derivadas del tensor métrico y el tensor inverso del tensor métrico:

${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{k,ij}:=\left(\frac{\mathrm{\partial }{g}_{kj}}{\mathrm{\partial }{x}^i}+\frac{\mathrm{\partial }{g}_{ik}}{\mathrm{\partial }{x}^j}-\frac{\mathrm{\partial }{g}_{ij}}{\mathrm{\partial }{x}^k}\right){\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k:=\frac{1}{2}\sum _{p=1}^n{g}^{kp}{\mathrm{\Gamma }}_{p,ij}}$

${\displaystyle g^{ik}{g}_{kj}=g_{jk}{g}^{ki}={\delta }_j^i}$