EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 

Representación del modelo de Drude: los electrones, en azul, son movidos por el gradiente de campo eléctrico, y chocan con los iones de la red cristalina, en rojo.

El modelo de Drude o modelo de Lorentz-Drude para la conducción eléctrica fue desarrollado hacia el 1900 por Paul Drude para explicar las propiedades de transporte de electrones en materiales (especialmente en los metales).^[1][2] El modelo de Drude proporciona una base de la mecánica clásica para la conductividad de los metales, se basa en la aplicación de la teoría cinética a los electrones en un sólido. Proporciona unos resultados razonables, aun cuando actualmente ha sido superado por el correspondiente modelo cuántico basado en la teoría de bandas de conducción.

Explicación

El modelo clásico de Drude describe un material conductor como una red de iones positivos inmóviles atravesada por un "gas" de electrones libres de densidad n. Estos electrones pueden moverse bajo la influencia de un campo eléctrico externo, pero su movimiento se ve amortiguado por colisiones con los iones del retículo cristalino, caracterizadas por un tiempo de relajación τ. Es precisamente este conjunto de electrones libres el que da lugar a la conductividad eléctrica del metal.^[3]

Sin embargo, en muchos materiales también existen electrones *ligados* a los núcleos atómicos, que no pueden moverse libremente pero pueden oscilar alrededor de su posición de equilibrio cuando se someten a un campo eléctrico oscilante, como el de una onda electromagnética. El modelo de Lorentz describe esta contribución de los electrones ligados mediante osciladores armónicos, con una frecuencia propia de oscilación ω₀ y un término amortiguador que representa pérdidas.^[4]

La combinación de ambos enfoques —el de Drude para los electrones libres y el de Lorentz para los electrones ligados— da lugar al llamado modelo de Lorentz–Drude. En este modelo, un mismo material puede tener dos tipos de respuesta electrónica simultáneas:^[3]

• La respuesta de los electrones libres (modelo de Drude), que domina la conductividad eléctrica y explica cómo los portadores de carga contribuyen al transporte de corriente.
• La respuesta de los electrones ligados (modelo de Lorentz), que domina la dispersión óptica a frecuencias más altas y permite describir la interacción del material con la luz, incluyendo fenómenos de absorción, resonancia y reflexión.

En resumen, el modelo de Drude–Lorentz combina los efectos de los electrones libres y ligados, ofreciendo una descripción más completa de las propiedades tanto eléctricas como ópticas de los materiales. Por ello, el modelo recibe el nombre conjunto de ambos autores: Drude por la parte conductiva y Lorentz por la parte óptica.

La siguiente tabla muestra de manera clara las contribuciones que realizó cada autor al modelo:

Autor	Aportación principal	Contribución al modelo final
Hendrik A. Lorentz	Propuso que los electrones están ligados al núcleo y responden a los campos eléctricos como osciladores armónicos con una frecuencia natural de resonancia. Su modelo explicó la dispersión y absorción óptica en materiales dieléctricos.	Aporta el concepto de electrones ligados y la idea de resonancia óptica, fundamentales para describir cómo la luz interactúa con los átomos.
Paul Drude	Aplicó la teoría cinética de los gases a los metales, considerando los electrones como un gas de partículas libres que chocan con los iones. Explicó la conductividad eléctrica y térmica, e introdujo la frecuencia de plasma.	Aporta la descripción de los electrones libres y la base de la conductividad y la respuesta óptica de los metales.
Modelo de Drude–Lorentz	Integra ambas ideas: los electrones libres de Drude y los ligados de Lorentz, describiendo así la respuesta completa de los materiales frente a campos eléctricos y radiación.	Permite explicar simultáneamente la conductividad, la reflectividad y la dispersión óptica, siendo la base clásica de la óptica y electrónica de materiales.

Desarrollo del modelo

El modelo de Drude supone que un portador promedio de carga eléctrica está sujeto a la acción de una "fuerza de resistencia" ${\displaystyle \gamma }$. En presencia de un campo eléctrico externo E se satisface la siguiente ecuación diferencial:

${\displaystyle m\frac{d}{dt}⟨\overrightarrow{v}⟩=q\overrightarrow{E}-\gamma ⟨\overrightarrow{v}⟩}$

donde ${\displaystyle ⟨\overrightarrow{v}⟩}$ es la velocidad promedio, m es la masa efectiva y q la carga eléctrica del portador de carga. La solución estacionaria:

${\displaystyle \frac{d}{dt}⟨\overrightarrow{v}⟩=0}$

de esta ecuación diferencial es:

${\displaystyle ⟨\overrightarrow{v}⟩=\frac{q\tau }{m}\overrightarrow{E}=\mu \overrightarrow{E}}$

donde:

${\displaystyle \tau =\frac{m}{\gamma }}$ es el tiempo libre medio de un portador de carga, y

${\displaystyle \mu }$ es la movilidad eléctrica.

Si se introduce la densidad del gas de portadores de carga n (partículas por unidad de volumen), podemos relacionar a la velocidad promedio con una corriente eléctrica:

${\displaystyle \overrightarrow{J}=nq⟨\overrightarrow{v}⟩}$

Se puede demostrar que el material satisface la ley de Ohm con una conductividad eléctrica en corriente eléctrica continua ${\displaystyle {\sigma }_0}$.

${\displaystyle \overrightarrow{J}=\frac{n{q}^2\tau }{m}\overrightarrow{E}={\sigma }_0\overrightarrow{E}}$

El modelo de Drude permite también predecir la corriente como una respuesta a un campo eléctrico variable en el tiempo con una frecuencia angular ${\displaystyle \omega }$, en cuyo caso:

${\displaystyle \sigma (\omega )=\frac{{\sigma }_0}{1+i\omega \tau }}$

donde se ha supuesto que:

${\displaystyle E(t)=\mathrm{\Re }(E_0{e}^{i\omega t})}$

${\displaystyle J(t)=\mathrm{\Re }(\sigma (\omega )E_0{e}^{i\omega t})}$

Existe otra convención en la que, ${\displaystyle i}$ es reemplazado por ${\displaystyle -i}$ en todas las ecuaciones. La parte imaginaria indica que la corriente está retrasada respecto al campo eléctrico, lo que se produce porque los electrones necesitan aproximadamente un tiempo ${\displaystyle \tau }$ para acelerarse en respuesta a un cambio en el campo eléctrico aplicado. En el caso previo el modelo de Drude se aplicó a los electrones; pero también puede ser aplicado a los huecos, es decir a los portadores de carga positiva en los semiconductores.

Denotando mediante n_A la densidad de electrones por unidad de volumen se obtiene una ecuación que relaciona el vector de polarización y el campo eléctrico:

${\displaystyle \overrightarrow{P}=n_A⟨\pi ⟩=-n_{A}e\overrightarrow{r}(t)}$

Donde ${\displaystyle ⟨\pi ⟩}$ representa el valor medio del momento dipolar eléctrico del electrón ligado. El movimiento de los electrones ligados vendría dado por la siguiente ecuación:

${\displaystyle m\frac{d\overrightarrow{v}(t)}{dt}=-e({\overrightarrow{E}}_m+\overrightarrow{v}\times {\overrightarrow{B}}_m)-k\overrightarrow{r}-\beta \overrightarrow{v}}$

donde E_m y B_m son los campos eléctrico y magnético a nivel microscópico. Los otros términos del segundo miembro representan respectivamente la fuerza elástica y una fuerza "viscosa", que en el modelo trata de simular la continua pérdida de energía debida al efecto Joule. Dividiendo ahora por la masa y multiplicando por el factor –e n_A se obtiene:

${\displaystyle -e{n}_A\frac{{\mathrm{\partial }}^2⟨\overrightarrow{r}⟩}{\mathrm{\partial }{t}^2}+\frac{e^2{n}_A}{m}\overrightarrow{E}+e{n}_A{\omega }_0^2⟨\overrightarrow{r}⟩=e{n}_a\gamma \frac{\mathrm{\partial }⟨\overrightarrow{r}⟩}{\mathrm{\partial }t}}$

${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^2\overrightarrow{P}}{\mathrm{\partial }{t}^2}+\gamma \frac{\mathrm{\partial }\overrightarrow{P}}{\mathrm{\partial }t}+{\omega }_0^2\overrightarrow{P}=\frac{e^2{n}_A}{m}\overrightarrow{E}}$

Donde se ha introducido ${\displaystyle k/m={\omega }_0^2}$ y ${\displaystyle \beta /m=\gamma }$.

Consecuencias en la interacción con la luz

El modelo de Drude no solo permite describir el transporte eléctrico en los metales, sino también su comportamiento óptico frente a la radiación electromagnética.^[5] Cuando una onda luminosa incide sobre un metal el campo eléctrico de la luz induce un movimiento oscilatorio de los electrones libres. Este fenómeno es responsable de la alta reflectividad característica de los metales en el rango visible.

Frecuencia de plasma

Las oscilaciones colectivas de los electrones se conocen como oscilaciones de plasma y dan lugar a la frecuencia de plasma. Dicha frecuencia marca el límite entre reflexión y la transmisión de la radiación electromagnética en materiales con electrones libres. ^[6]

A partir de la solución estacionaria del modelo, se puede relacionar el desplazamiento medio de los electrones con el campo eléctrico aplicado. Con esto se obtiene la polarización macroscópica del material. Finalmente, al sustituir esta polarización en la ecuación de la permitividad dieléctrica (ε_r), se obtiene la expresión correspondiente:

${\displaystyle {\displaystyle {\epsilon }_r(\omega )=1-\frac{N{e}^2}{{\epsilon }_0{m}_0\left({\omega }^2+i\gamma \omega \right)}}}$

Donde:

• N_e es la densidad de electrones libres (número de electrones por unidad de volumen
• ε₀ es la permitividad del vacío
• ω  la frecuencia angular de la radiación incidente.

La expresión anterior se reescribe definiendo un nuevo parámetro característico:

${\displaystyle {\displaystyle {\omega }_p^2=\frac{N{e}^2}{{\epsilon }_0{m}_0}}}$

De modo que la permitividad puede escribirse como:

${\displaystyle {\displaystyle {\epsilon }_r(\omega )=1-\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }^2+i\gamma \omega }}}$

El término ω_p recibe el nombre de frecuencia de plasma, y representa la frecuencia natural de resonancia de los electrones libres en el material, siendo independiente del tipo de material siempre que el comportamiento de los portadores pueda considerarse libre.^[7]

Reflexión de los metales

La reflectividad, ${\displaystyle R}$, de un metal puede aproximarse, en ausencia de pérdidas significativas, mediante la ecuación de Fresnel para incidencia normal:^[5]

${\displaystyle R={\left|\frac{n-1}{n+1}\right|}^2}$

donde ${\displaystyle n=\sqrt{\epsilon (\omega )/{\epsilon }_0}}$ es el índice de refracción complejo del material.

Introduciendo esta definición de n en la expresión anterior para la reflectividad, tendremos que:

Para ω < ω_p: La parte real de la permitividad es negativa, lo que implica que el índice de refracción es imaginario. Por ello, las ondas electromagnéticas no pueden propagarse en el material y son reflejadas casi totalmente. Este comportamiento explica la alta reflectividad de los metales en el visible y el infrarrojo y en consecuencia el brillo metálico de sustancias como el oro o la plata.

Para ω > ω_p: la parte real de la permitividad se hace positiva, permitiendo la propagación de las ondas electromagnéticas. Por este motivo, los metales se vuelven transparentes en el ultravioleta. El valor de la frecuencia de plasma suele situarse en el rango del ultravioleta para la mayoría de los metales, razón por la cual reflejan la luz visible, pero permiten el paso de radiación de energía más alta.^[8]

Interpretación física

En resumen, el modelo de Drude predice correctamente que los metales reflejan la luz visible debido a su alta densidad de electrones libres y a la existencia de la frecuencia de plasma.^[9] La mayoría de los metales presentan valores de ${\displaystyle {\omega }_p}$ en el ultravioleta, por lo que el rango visible (${\displaystyle \sim {10}^{15}\text{Hz}}$) queda por debajo de dicha frecuencia, haciendo que la luz visible no penetre y se refleje casi por completo.

Problemas del modelo

Este modelo ofrece una buena explicación para la conductividad de CC y CA en metales, el efecto Hall, y la conductividad térmica (debida a electrones) en metales, pero falla al no proveer una explicación para la disparidad entre las capacidades caloríficas de los metales en comparación con la de los materiales aislantes. En un aislador eléctrico, se esperaría que la capacidad calórica sea cero dado que no existen electrones libres. En la realidad, los metales y los aisladores eléctricos poseen aproximadamente la misma capacidad calorífica a temperatura ambiente. El modelo de Drude también falla en explicar la existencia de portadores de carga aparentemente positivos como demuestra el efecto Hall.

El modelo de Einstein o sólido de Einstein es un modelo de sustancia sólida basado en dos suposiciones:

• Cada átomo en la red es un oscilador armónico cuántico tridimensional independiente.
• Todos los átomos oscilan con la misma frecuencia (a diferencia del modelo de Debye).

Mientras que la suposición de que en un sólido las oscilaciones son independientes es muy exacta, estas oscilaciones son ondas sónicas o fonones, modos colectivos que involucran muchos átomos. En el modelo de Einstein, cada átomo oscila en forma independiente. Einstein era consciente de la dificultad en calcular la frecuencia de las oscilaciones, sin embargo propuso su teoría porque era una demostración clara que la mecánica cuántica podía resolver el problema del calor específico en la mecánica clásica.

Impacto histórico

La teoría original que Albert Einstein propuso en 1907 posee una gran relevancia histórica. La mecánica clásica daba una explicación para la capacidad calorífica de los sólidos tal como la predecía la ley empírica de Dulong y Petit, que justificaba que el calor específico de los sólidos fuera independiente de la temperatura. Sin embargo los experimentos a bajas temperaturas mostraban que la capacidad calorífica variaba, tendiendo a cero para una temperatura igual al cero absoluto. Para temperaturas mayores, el calor específico aumenta hasta que se aproxima a temperaturas elevadas con las predicciones de Dulong y Petit.

Al utilizar la suposición de cuantización de Planck, la teoría de Einstein era consistente por primera vez con las tendencias observadas en los experimentos. Junto con el efecto fotoeléctrico, se convirtió en una de las más importantes evidencias de la necesidad de la cuantización. Einstein utilizó los niveles del oscilador mecánico cuántico muchos años antes que se desarrollara la mecánica cuántica moderna.

En el modelo de Einstein, el calor específico tiende a cero en forma exponencial a bajas temperaturas. Esto se debe a que todas las oscilaciones tienen una frecuencia común. El comportamiento correcto se obtiene cuantizando los modos normales del sólido tal como Einstein sugirió. Entonces resulta que las frecuencias de las ondas no son todas iguales, y el calor específico tiende a cero con la dependencia ${\displaystyle T^3}$, que ajusta con los resultados de los experimentos. Esta modificación es denominada el modelo de Debye, que fue publicado en 1912.

Capacidad calorífica (ensamble microcanónico)

Representación de la capacidad calorífica adimensional dividida por tres, en función de la temperatura, según el modelo de Debye y el primer modelo de Einstein. El eje de ordenadas corresponde con la temperatura dividida por la temperatura de Debye. Nótese que la capacidad calorífica adimensional es cero en el cero absoluto de temperatura y aumenta hasta el valor 3 cuando la temperatura aumenta muy por encima de la temperatura de Debye. La línea roja representa el límite clásico dado por la ley de Dulong-Petit.

La capacidad calorífica de un objeto a volumen constante V queda definido por su energía interna U como

${\displaystyle C_V={\left(\frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }T}\right)}_V.}$

${\displaystyle T}$, la temperatura del sistema, se obtiene a partir de la entropía

${\displaystyle \frac{1}{T}=\frac{\mathrm{\partial }S}{\mathrm{\partial }U}.}$

Para obtener la entropía, analicemos el caso de un sólido constituido por ${\displaystyle N}$ átomos, cada uno de los cuales tiene 3 grados de libertad. Por lo tanto hay ${\displaystyle 3N}$ osciladores cuánticos armónicos (en lo sucesivo abreviados OAS por osciladores armónicos simples).

${\displaystyle N^{\mathrm{\prime }}=3N}$

Las energías posibles de un OAS quedan expresadas por

${\displaystyle E_n=\hslash \omega \left(n+\frac{1}{2}\right)}$

en otras palabras, los niveles de energía se encuentran equiespaciados y se puede definir un quantum de energía

${\displaystyle \epsilon =\hslash \omega }$

que es la cantidad más pequeña y única por medio de la cual se puede aumentar la energía de un OAS. A continuación se debe calcular la multiplicidad del sistema. Ello es el número de formas en que se pueden distribuir ${\displaystyle q}$ quantos de energía entre ${\displaystyle N^{\mathrm{\prime }}}$ OASs. Esta tarea se simplifica si uno imagina la distribución de ${\displaystyle q}$ bolillas en ${\displaystyle N^{\mathrm{\prime }}}$ cajas

o separando filas de bolillas con ${\displaystyle N^{\mathrm{\prime }}-1}$ particiones

u ordenando las ${\displaystyle q}$ bolillas y las ${\displaystyle N^{\mathrm{\prime }}-1}$ particiones

Esta última figura es la más interesante. El número de configuraciones de ${\displaystyle n}$ objetos es ${\displaystyle n!}$. Por lo tanto el número de configuraciones posibles de ${\displaystyle q}$ bolillas y ${\displaystyle N^{\mathrm{\prime }}-1}$ particiones es ${\displaystyle \left(q+N^{\mathrm{\prime }}-1\right)!}$. Sin embargo, si las particiones #2 y #5 se intercambian, uno no lo percibiría. La misma consideración es válida para los quantos. Para obtener el número de configuraciones distinguibles posibles se debe dividir el número total de configuraciones por el número de configuraciones indistinguibles. Hay ${\displaystyle q!}$ configuraciones idénticas de quantos, y ${\displaystyle (N^{\mathrm{\prime }}-1)!}$ configuraciones idénticas de particiones. Por lo tanto, la multiplicidad del sistema es

${\displaystyle \mathrm{\Omega }=\frac{\left(q+N^{\mathrm{\prime }}-1\right)!}{q!(N^{\mathrm{\prime }}-1)!}}$

Lo cual tal como se indicó previamente, es el número de formas en que se pueden depositar ${\displaystyle q}$ quantos de energía en ${\displaystyle N^{\mathrm{\prime }}-1}$ osciladores. La entropía del sistema tiene la forma

${\displaystyle S/k=\ln \mathrm{\Omega }=\ln \frac{\left(q+N^{\mathrm{\prime }}-1\right)!}{q!(N^{\mathrm{\prime }}-1)!}.}$

${\displaystyle N^{\mathrm{\prime }}}$ es un número muy grande—por lo tanto restarle uno no tiene ningún efecto significativo:

${\displaystyle S/k\approx \ln \frac{\left(q+N^{\mathrm{\prime }}\right)!}{q!N^{\mathrm{\prime }}!}}$

Es posible simplificar la entropía con ayuda de la aproximación de Stirling:

${\displaystyle S/k\approx \left(q+N^{\mathrm{\prime }}\right)\ln \left(q+N^{\mathrm{\prime }}\right)-N^{\mathrm{\prime }}\ln N^{\mathrm{\prime }}-q\ln q.}$

La energía total de un sólido queda expresada como

${\displaystyle U=\frac{N^{\mathrm{\prime }}\epsilon }{2}+q\epsilon ,}$

dado que hay en total q quantos de energía en el sistema además del estado de energía base de cada oscilador. Algunos autores, como por ejemplo Schroeder, omiten este estado base de energía en su definición de la energía total de un sólido de Einstein.

Se procede ahora a calcular la temperatura

${\displaystyle \frac{1}{T}=\frac{\mathrm{\partial }S}{\mathrm{\partial }U}=\frac{\mathrm{\partial }S}{\mathrm{\partial }q}\frac{dq}{dU}=\frac{1}{\epsilon }\frac{\mathrm{\partial }S}{\mathrm{\partial }q}=\frac{k}{\epsilon }\ln \left(1+N^{\mathrm{\prime }}/q\right)}$

La eliminación de q entre las dos fórmulas precedentes permire despejar U:

${\displaystyle U=\frac{N^{\mathrm{\prime }}\epsilon }{2}+\frac{N^{\mathrm{\prime }}\epsilon }{e^{\epsilon /kT}-1}.}$

El primer término está asociado con la energía en el punto cero y no contribuye al calor específico. Por lo tanto desaparece en el paso siguiente.

Diferenciando con respecto a la temperatura para obtener ${\displaystyle C_V}$ se obtiene:

${\displaystyle C_V=\frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }T}=\frac{N^{\mathrm{\prime }}{\epsilon }^2}{k{T}^2}\frac{e^{\epsilon /kT}}{{\left(e^{\epsilon /kT}-1\right)}^2}}$

o

${\displaystyle C_V=3Nk{\left(\frac{\epsilon }{kT}\right)}^2\frac{e^{\epsilon /kT}}{{\left(e^{\epsilon /kT}-1\right)}^2}.}$

Si bien el modelo de sólido de Einstein predice correctamente los calores específicos a temperaturas altas, se desvia de manera apreciable en sus predicciones con respecto de los datos experimentales en el rango de bajas temperaturas. Véase el modelo de Debye para calcular con precisión los calores específicos a bajas temperaturas.

Una figura esquemática del modelo bidimensional de Hubbard, donde t es el parámetro de salto y U es la energía repulsiva para la doble ocupación de un sitio. Las flechas hacia arriba y hacia abajo corresponden a electrones de giro ascendente y descendente, respectivamente.

En física, el modelo Hubbard es un modelo aproximado usado, especialmente en física del estado sólido, para describir la transición entre sistemas conductores y aislantes.^[1] El modelo Hubbard, así llamado en referencia a John Hubbard, es el modelo más sencillo de interacción de partículas en una red, con sólo dos términos en el hamiltoniano: un término cinético permite efecto túnel de partículas entre sitios de la red y un término potencial que consiste de una interacción in situ. Las partículas pueden ser tanto fermiones (como en el trabajo original de Hubbard) como bosones (cuando el modelo es llamado de Bose-Hubbard, o modelo Hubbard de bosones).

Este modelo es una buena aproximación a partículas en un potencial periódico de temperaturas suficientemente bajas para que todas las partículas estén en la banda de Bloch más baja, así como también cualquier interacción de rango amplio entre partículas puede ser ignorado. Si se incluye la interacción entre partículas de distintos sitios de la red, suele hacerse referencia al modelo como modelo Hubbard extendido.

El modelo fue propuesto originalmente (en 1963) para describir electrones en sólidos y ha sido desde entonces foco de interés particular como modelo para superconductividad de alta temperatura. Más recientemente, el modelo Bose-Hubbard fue empleado para describir el comportamiento de átomos ultrafríos atrapados en redes ópticas. También se han realizado experimentos recientes con átomos ultrafríos sobre el modelo fermiónico original de Hubbard, con la esperanza de que podrían producir un diagrama de fase.^[2]

Para electrones en un estado sólido, el modelo Hubbard puede considerarse como una mejora del modelo de enlace fuerte. Para interacciones fuertes, puede dar comportamientos cualitativamente distintos del modelo de enlace fuerte, y predice correctamente la existencia de los llamados aislantes Mott, que no se convierten en conductores a causa de la fuerte repulsión en partículas.