EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria, no lineal de primer orden, inventada y desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica. En 1724 publicó una investigación multilateral de la ecuación, llamada, por iniciativa de D'Alembert (1769): Ecuación de Riccati. La investigación de la ecuación de Riccati convocó el esfuerzo de varios matemáticos: Leibniz, Goldbach, Juan Bernoulli y sus hijos Nicolás y Daniel Bernoulli, y posteriormente, a Euler.^[1]

Generalmente, esta ecuación la presentan en la forma:

${\displaystyle \frac{dy}{dx}+p(x)y+q(x)y^2=f(x)}$.

Integración

Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, sea ${\displaystyle y_1(x)}$.

Conocida dicha solución, se hace el cambio:

${\displaystyle y(x)=z(x)+y_1(x)}$

y reemplazando, se obtiene:

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-p(x)y-q(x)y^2+f(x)=\frac{dz}{dx}+\frac{d{y}_1}{dx}}$

es decir:

${\displaystyle -p(x)y-q(x)y^2+f(x)=\frac{dz}{dx}-p(x)y_1-q(x)y_1^2+f(x)}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{dz}{dx}=p(x)(y_1-y)+q(x)(y_1^2-y^2)}$

lo que equivale a:

${\displaystyle \frac{dz}{dx}=-p(x)z-q(x)(z^2+2z{y}_1)}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{dz}{dx}=-(p(x)+2q(x)y_1)z-q(x)z^2}$

que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.

Observación

Obsérvese que si se hace la sustitución:

${\displaystyle y(x)=y_1(x)+\frac{1}{z(x)}}$

propuesta por Euler en la década de 1760^[2] esto lleva directamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden.

Demostración:

Ejemplo:

Aplicación a la ecuación Schwarziana

Una aplicación importante de la ecuación de Riccati es en la ecuación diferencial Schwarziana de 3.er orden

${\displaystyle S(w):=(w^{″}/w^{\prime }{)}^{\prime }-(w^{″}/w^{\prime }{)}^2/2=f}$

que aparece en la teoría del mapeo conforme y funciones univalentes. En este caso, las ecuaciones están en el dominio complejo y la diferenciación es con respecto a una variable compleja. (El derivado de Schwarzian ${\displaystyle S(w)}$ tiene la notable propiedad de que es invariante bajo las transformaciones de Möbius, es decir, ${\displaystyle S((aw+b)/(cw+d))=S(w)}$ siempre que ${\displaystyle ad-bc}$ sea no cero.) La función ${\displaystyle y=w^{″}/w^{\prime }}$ satisface la ecuación de Riccati

${\displaystyle y^{\prime }=y^2/2+f.}$

Por lo anterior ${\displaystyle y=-2u^{\prime }/u}$ donde ${\displaystyle u}$ es una solución del ODE lineal

${\displaystyle u^{″}+(1/2)fu=0.}$

Dado que ${\displaystyle w^{″}/w^{\prime }=-2u^{\prime }/u}$, la integración da ${\displaystyle w^{\prime }=C/u^2}$ por alguna constante ${\displaystyle C}$. Por otro lado, cualquier otra solución independiente ${\displaystyle U}$ o de la ODE lineal tiene un Wronskiano constante distinto de cero ${\displaystyle U^{\prime }u-U{u}^{\prime }}$ que se puede tomar para ser ${\displaystyle C}$ después de escalar.

Entonces

${\displaystyle w^{\prime }=(U^{\prime }u-U{u}^{\prime })/u^2=(U/u{)}^{\prime }}$

para que la ecuación de Schwarz tenga solución ${\displaystyle w=U/u.}$

La ecuación de ionización de Saha, también conocida como ecuación de Saha-Langmuir, es una expresión que relaciona el estado de ionización de un elemento con la temperatura y la presión.

Fue obtenida por vez primera en 1920 por el astrofísico indio Meghnad Saha (1893–1956) y más tarde (1923) por Irving Langmuir.

Introducción

Según la teoría atómica, el número de especies de un átomo depende de la cantidad de protones en su núcleo. Por ejemplo, el helio que tiene dos protones cuenta con tres especies: HeI (neutro), HeII (una vez ionizado) y HeIII (helio dos veces ionizado).

La ecuación de Saha calcula la cantidad de especies a partir de la densidad, la temperatura y la composición química de un gas. Asume la hipótesis de equilibrio termodinámico y tiene en cuenta las interacciones por impacto electron-ion, pero no considera explícitamente la fotoionización. Así, permite calcular las cantidades de cada ion y de electrones libres en el sistema.

Idea física

Un gas compuesto por diversos átomos: hidrógeno, helio, carbono, etc. se encuentran a cierta temperatura T, cada átomo tiene a su vez electrones en diferentes niveles cuánticos. Cuando el sistema se encuentra en equilibrio, la cantidad de electrones que caen en el potencial de un átomo es igual a la cantidad de electrones que son expulsados del potencial atómico.

La tasa de interacción electrón-ion depende de la distribución de velocidades de Maxwell mientras que las poblaciones de niveles energéticos de cada especie depende de la ecuación de Boltzmann, este par de ecuaciones depende de la temperatura del sistema y debido a la suposición de equilibrio termodinámico las temperaturas son iguales.

Al poblar los niveles energéticos con la distribución de Boltzmann y calcular la tasa de interacción de electrones asumiendo una distribución de velocidades de Maxwell, se llega a la ecuación de Saha.

Calculando especies con la ecuación de Saha

La ecuación de Saha permite calcular la cantidad de partículas en cada una de las especies iónicas y de electrones en un gas formado por un solo elemento. Para resolver numéricamente, la ecuación de Saha se puede escribir [1]:

${\displaystyle \frac{n_{(i+1)}}{n_i}=\frac{2}{n_e}(\frac{{\mathcal{Z}}_{(i+1)}}{{\mathcal{Z}}_i})\left(\frac{1}{{\lambda }^3}\right)\exp (-\frac{{\xi }_i}{k_{B}T})}$

Símbolo	Nombre	Unidad	Fórmula
${\displaystyle n_{(i+1)}}$	Densidad numérica de la especie "i+1"
${\displaystyle n_i}$	Densidad numérica de la especie "i"
${\displaystyle n_e}$	Densidad numérica de electrones
${\displaystyle {\mathcal{Z}}_i}$	Función de partición para la misma especie "i"
${\displaystyle {\xi }_i}$	Energía de ionización de la especie "i"	eV	${\displaystyle {\xi }_i={ϵ}_{(i+1)}-{ϵ}_i}$
${\displaystyle ϵ}$	Energía requerida para remover "i" electrones de un átomo neutro, creando un ion de nivel "i"	eV
${\displaystyle \lambda }$	Longitud de onda térmica de De Broglie	m	${\displaystyle \lambda =\sqrt{\frac{h^2}{2\pi m_e{k}_{B}T}}}$
${\displaystyle m_e}$	Masa del electrón	eV / c2
${\displaystyle c}$	Velocidad de la luz	m / s
${\displaystyle h}$	Constante de Planck	eV s
${\displaystyle k_B}$	Constante de Boltzmann	eV / K
${\displaystyle T}$	Temperatura	K

Tomando los valores correspondientes, la ecuación de Saha puede reducirse a una expresión práctica:

${\displaystyle f_i(T,n_e)=\log \frac{n_{(i+1)}}{n_i}}$

${\displaystyle f_i(T,n_e)=-0.1761-\log P_e+\log \frac{{\mathcal{Z}}_{(i+1)}}{{\mathcal{Z}}_i}+2.5\log T-{\xi }_i\frac{5040}{T}}$

donde ${\displaystyle P_e}$ es la presión electrónica de un gas ideal:

${\displaystyle P_e=n_e{k}_{B}T}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle P_e}$	Presión electrónica

Calculando especies de un gas de Hidrógeno-Helio

Para calcular las especies de un gas de Hidrógeno-Helio (HI, HII, HeI, HeII, HeIII, n_e) se tiene que cumplir el siguiente conjunto de ecuaciones (se considera que no hay reacciones entre el H y el He):

${\displaystyle \begin{array}{l}{n}_{HII}={10}^{f_{HI}(T,n_e)}{n}_{HI}\\ n_{HeII}={10}^{f_{HeI}(T,n_e)}{n}_{HeI}\\ n_{HeIII}={10}^{f_{HeII}(T,n_e)}{n}_{HeII}\\ n_{HI}+n_{HII}=n_H\\ n_{HeI}+n_{HeII}+n_{HeIII}=n_{He}\\ n_{HII}+n_{HeII}+2n_{HeIII}=n_e\end{array}}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle f_i(T,n_e)}$	Ecuación de Saha para la especie "i"
${\displaystyle n_H}$	Hidrógeno total
${\displaystyle n_{He}}$	Helio total

Este conjunto de ecuaciones se resuelve simultáneamente y de manera iterativa, con la condición de que la carga neta del sistema permanezca constante. Para una dada temperatura electrónica y una dada concentración total de gas, imponer la condición de equilibrio de ionización-recombinación colisional por impacto electrónico permite determinar el grado de ionización parcial de cada gas componente y la concentración electrónica [2].

Para obtener un resultado análogo, correspondiente al equilibrio de ionización-recombinación por fotoionización, deben expresarse las tasas de fotoionización-fotorecombinación, relacionadas con la densidad de flujo de la radiación incidente y su espectro [3].

Las ecuaciones de Saint-Venant en 1D son un conjunto de ecuaciones diferenciales, que modelan los cambios de caudal y nivel de un líquido a lo largo del espacio unidimensional y el tiempo de manera no permanente como en un canal o tubería a superficie libre o abierto.^[1] Este conjunto de ecuaciones reciben su nombre en honor al matemático e ingeniero francés del siglo XIX Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant.

El conjunto de ecuaciones puede ser utilizado en múltiples contextos como en la transformación de lluvia en escorrentía en una cuenca para luego ser transitada o trasladada a través de una corriente de agua como un río o de un sistema de tuberías drenaje, también puede ser utilizada para transitar flujos de aguas someras como en los sistemas de irrigación a través de un sistema de canales o de ríos. En general estos procesos se presentan en tres dimensiones pero para muchas aplicaciones prácticas es suficiente utilizar una aproximación unidimensional en la dirección de mayor relevancia que usualmente es longitudinal al canal o dirección de flujo.^[1][2]

Historia

Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant^[3]

Las ecuaciones de Saint-Venant fueron desarrolladas por primera vez por el matemático e ingeniero francés Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant en 1871 en su trabajo Théorie du mouvement non permanent des eaux, avec application aux crues des rivières et à l'introduction des marées dans leur lit, publicado por la Academia de Ciencias de Francia,^[1] aunque la forma de la ecuación de continuidad fue publicada en 1848 en su trabajo Études théoriques et pratiques sur le mouvement des eaux courantes.^[4]

Las ecuaciones de Saint-Venant pueden ser deducidas hoy a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes realizando un proceso de integración en dos dimensiones. Sin embargo, se desconocen las relaciones históricas que existen en los procesos originales deductivos entre estos dos conjuntos de ecuaciones ya que para muchos el conjunto de ecuaciones publicado por George Gabriel Stokes en 1845 fue presentado antes por Barré de Saint-Venant en 1843, siete años después de la muerte de Claude-Louis Navier, quien a su vez había publicado una parte de las bases de estas ecuaciones en 1822; de esta manera, Saint-Venant habría encontrado de manera correcta la solución dos años antes que Stokes. Sin embargo, su nombre y su trabajo intermedio no ha sido reconocido para referirse a estas ecuaciones a través de la historia.^[5]

Cronología de autores relacionados con la deducción de las ecuaciones

Barras verticales en azul corresponden a publicaciones relevantes previas Barra vertical en rojo corresponde a la publicación del conjunto de ecuaciones de Saint-Venant

Supuestos de las ecuaciones

El desarrollo de las ecuaciones requiere de las siguientes suposiciones para su uso:^[1]

• La profundidad y la velocidad de flujo solamente varía en la dirección longitudinal del canal.
• Las variaciones de profundidad y velocidad a lo largo del canal se realizan de manera gradual.
• El canal es aproximadamente lineal.
• La pendiente es pequeña.
• El lecho es fijo, es decir que no hay erosión ni acreción.
• La resistencia puede ser calculada a partir de los modelos de flujo uniforme permanente.
• El fluido es incompresible y de densidad constante.

Sistema de ecuaciones

El sistema de ecuaciones de Saint-Venant está compuesto por dos conjuntos de ecuaciones: las ecuaciones de continuidad y las ecuaciones de cantidad de movimiento o momentum.^[1]

Ecuación de continuidad

Esquema de balance de masa y continuidad para ecuaciones de Saint Venant

La ecuación de continuidad tiene en cuenta un balance de masa sobre un volumen de control. En forma conservativa puede escribirse en términos del caudal ${\displaystyle (Q)}$ y del área ${\displaystyle (A)}$ de la siguiente manera:

${\displaystyle \begin{array}{r}\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }x}+\frac{\mathrm{\partial }A}{\mathrm{\partial }t}=0\end{array}}$

O de manera no conservativa en términos de la velocidad media longitudinal ${\displaystyle (V)}$ y la profundidad ${\displaystyle (y)}$ así:

${\displaystyle \begin{array}{r}V\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }x}+y\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }x}+\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}=0\end{array}}$

Ecuación de momentum

Esquema de balance de fuerzas para ecuaciones de Saint Venant

La ecuación de momentum surge al igualar las fuerzas externas aplicadas al volumen de control como la gravedad, la presión, la fricción, el viento entre otras. En forma conservativa puede escribirse esta ecuación en términos del caudal ${\displaystyle (Q)}$, área ${\displaystyle (A)}$, profundidad ${\displaystyle (y)}$, pendiente del canal ${\displaystyle (S_0)}$, pendiente de fricción ${\displaystyle (S_f)}$ y de la gravedad ${\displaystyle (g)}$ de la siguiente manera:

${\displaystyle \begin{array}{r}\frac{1}{A}\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }t}+\frac{1}{A}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\left(\frac{Q^2}{A}\right)+g\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }x}-g\left(S_0-S_f\right)=0\end{array}}$

O de manera no conservativa en términos de la velocidad media longitudinal ${\displaystyle (V)}$ así:

${\displaystyle \begin{array}{r}\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }t}+V\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }x}+g\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }x}-g\left(S_0-S_f\right)=0\end{array}}$

Aproximaciones y simplificaciones

Debido a que en varios contextos la solución de las ecuaciones de Saint-Venant presenta dificultades para encontrar una respuesta satisfactoria o que en ocasiones no es necesario utilizar todos los términos de las ecuaciones existen tres simplificaciones básicas conocidas como «onda dinámica», «onda difusiva» y «onda cinemática», que se diferencian entre sí de acuerdo con los términos de la ecuación de momentum tenidos en cuenta, como se muestra a continuación:

Términos de la ecuación de conservación de momentum^[1]

Aproximación	${\displaystyle \frac{1}{A}\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }t}}$	${\displaystyle +\frac{1}{A}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\left(\frac{Q^2}{A}\right)}$	${\displaystyle +g\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }x}}$	${\displaystyle -g{S}_0}$	${\displaystyle +g{S}_f}$	${\displaystyle =0}$
	Término de aceleración local	Término de aceleración convectiva	Término de fuerza de presión	Término de fuerza gravitacional	Término de fuerza de fricción
	Términos inerciales
Onda dinámica	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí
Onda difusiva	No	No	Sí	Sí	Sí	Sí
Onda cinemática	No	No	No	Sí	Sí	Sí

También es posible a partir de la ecuación de momentum al expresar la pendiente de pérdida de energía ${\displaystyle S_f}$ en función de los otros términos, definiendo tres tipos de flujo diferentes como se muestra a continuación:

${\displaystyle S_f}$ en términos de la ecuación de conservación de momentum^[1]

Aproximación	${\displaystyle S_f=}$	${\displaystyle -\frac{1}{gA}\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }t}}$	${\displaystyle -\frac{1}{gA}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\left(\frac{Q^2}{A}\right)}$	${\displaystyle -\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }x}}$	${\displaystyle +S_0}$
		Término de aceleración local	Término de aceleración convectiva	Término de fuerza de presión	Término de fuerza gravitacional
		Términos inerciales
Flujo no uniforme, no permanente		Sí	Sí	Sí	Sí
Flujo no uniforme, permanente		No	Sí	Sí	Sí
Flujo uniforme, permanente		No	No	No	Sí

Onda dinámica frente a onda cinemática

Comparación de los hidrogramas obtenidos al aplicar solucionar las ecuaciones para onda cinemática, onda dinámica y flujo uniforme en un canal rectangular de n = 0.030, L = 1000 m y s0 = 0.001 m/m

En principio la aproximación de la onda dinámica sería el mejor modelo ya que utiliza todos los términos de la ecuación diferencial de momentum. Sin embargo, en la práctica esto no siempre es cierto pues se ha encontrado que en algunas situaciones las ondas dinámicas se disipan rápidamente dejando como predominantes las ondas cinemáticas, que viajan a menor velocidad. Otros autores han encontrado que para ondas de inundación el comportamiento de la atenuación de la onda en condiciones reales es más semejante al caso de la onda cinemática que al de la onda dinámica ya que la atenuación es nula o muy baja, como se espera de la solución de la aproximación de la onda cinemática y no de la onda dinámica.^[6]

En estudios experimentales y numéricos realizados en el laboratorio de la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign y publicados en 2015 se encontró que en cuencas sometidas a tormentas móviles de longitud menor a la cuenca la aproximación de la onda cinemática tiene a sobrestimar los caudales de salida de la cuenca, cuando la tormenta tiene un movimiento en dirección hacia aguas abajo como consecuencia de la imposibilidad de este modelo de manejar los efectos de remanso producidos en la condición de frontera. Sin embargo, en el caso de tormentas con un movimiento ascendente el modelo de la onda cinemática simula las condiciones de manera adecuada.^[7] Por otro lado el modelo de la onda dinámica si es capaz de simular los efectos de remanso observados experimentalmente fundamentalmente al retener el término de presión para la condición de la tormenta descendente y presenta resultados similares a los de la onda cinemática para la situación de la tormenta ascendente.^[7]

Implementaciones en paquetes de software

HEC-RAS

EPASWMM

La solución de las ecuaciones de Saint-Venant en 1D ha sido implementada en varias aplicaciones de software comunes usualmente a través de métodos numéricos y en particular por diferencias finitas, entre los más reconocidos se pueden mencionar los siguientes:

• HEC-HMS, aplicación hidrológica desarrollada por el cuerpo de ingenieros de los Estados Unidos de América.
• HEC-RAS, aplicación hidrodinámica desarrollada por el cuerpo de ingenieros de los Estados Unidos de América.
• MIKE 11, resuelve el modelo de onda dinámica, pero en el caso de condiciones de flujo supercrítico desprecia el efecto del término convectivo de la ecuación de momentum.^[8]
• EPASWMM, resuelve el modelo de la onda dinámica completa o la onda cinemática, y el usuario puede elegir si desea despreciar totalmente o atenuar el efecto de los términos inerciales de la ecuación de momentum.
• Storm and Sanitary Analysis, ofrecido por Autodesk y utiliza como motor de cálculo una adaptación del modelo de EPASWMM.
• SewerGems, y CivilStorm ofrecidos por Bentley, utiliza bien el motor de cálculo del modelo EPASWMM, bien los códigos implícito y explícito desarrollados por Haestad