EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 La ecuación de Born-Lande es una forma de calcular la energía de red de un compuesto iónico cristalino. En 1918^[1],[2] Max Born y Alfred Landé propusieron que la energía de red se podría derivar del potencial electrostático de la red iónica y un término de energía potencial repulsiva.^[3][4]

${\displaystyle E=-\frac{N_{\mathrm{A}}M{z}^{+}{z}^{-}{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_0}\left(1-\frac{1}{n}\right)}$

Símbolo	Nombre	Valor	Unidad
${\displaystyle E}$	Energía de red de un compuesto iónico		J
${\displaystyle N_{\mathrm{A}}}$	Constante de Avogadro
${\displaystyle M}$	Constante de Madelung, relacionada con la geometría del cristal
${\displaystyle z^{+}}$	Número de carga del catión
${\displaystyle z^{-}}$	Número de carga del anión
${\displaystyle e}$	Carga elemental	1.6022E-19	C
${\displaystyle {\epsilon }_0}$	Permitividad del vacío
${\displaystyle 4\pi {ϵ}_0}$		1.112E-10	C2 / (J m)
${\displaystyle r_0}$	Distancia al ion más cercano		m
${\displaystyle n}$	Exponente de Born, un número entre 5 y 12, determinado experimentalmente mediante la medición de la compresibilidad del sólido, o derivado teóricamente.[5]

Derivación

La red iónica se modela como un conjunto de esferas duras elásticas que se comprimen entre sí por la atracción mutua de las cargas electrostáticas de los iones. Estos alcanzan la distancia de equilibrio observada separadamente debido a una repulsión de equilibrio de corto alcance.

Potencial electrostático

El potencial electrostático, ${\displaystyle E_c}$, entre un par de iones de carga igual y opuesta es la siguiente:

${\displaystyle E_c=-\frac{z^{+}{z}^{-}{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_0}}$

Símbolo	Nombre	Valor	Unidad
${\displaystyle E_c}$	Potencial electrostático
${\displaystyle z^{+}}$	Número de carga del catión
${\displaystyle z^{-}}$	Número de carga del anión
${\displaystyle e}$	Carga elemental	1.6022E-19	C
${\displaystyle {\epsilon }_0}$	Permitividad del vacío
${\displaystyle 4\pi {ϵ}_0}$		1.112E-10	C2 / (J m)
${\displaystyle r_0}$	Distancia de separación

En física, la ecuación de Callan–Symanzik es la ecuación diferencial que describe la evolución de la función de correlación a n puntos bajo la variación de la escala de la energía a la que la teoría está definida, e involucra a la función beta de la teoría y a las dimensiones anómalas.

Esta ecuación tiene la siguiente estructura:

${\displaystyle \left[M\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }M}+\beta (g)\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }g}+n\gamma \right]G^{(n)}(x_1,x_2,\dots ,x_n;M,g)=0}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle \beta (g)}$	Función beta
${\displaystyle \gamma }$	Variable de escala de los campos

En el caso particular de la electrodinámica cuántica, esta ecuación toma la siguiente forma

${\displaystyle \left[M\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }M}+\beta (e)\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }e}+n{\gamma }_2+m{\gamma }_3\right]G^{(n,m)}(x_1,x_2,\dots ,x_n;M,e)=0}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle n}$	Número de campos de electrones
${\displaystyle m}$	Número de campos de fotones
${\displaystyle G^{(n,m)}}$	Función de correlación
${\displaystyle e}$	Carga elemental

Esta ecuación fue descubierta independientemente por Curtis Callan^[1] y Kurt Symanzik^[2][3] en 1970. Posteriormente, fue usada para entender el concepto de libertad asintótica.

Esta ecuación aparece en el estudio del grupo de renormalización. Es posible estudiar esta ecuación usando teoría de perturbaciones.

Índice de refracción vs. longitud de onda para vidrio BK7. Las cruces rojas muestran valores medidos. Sobre la región visible (sombreado rojo), la ecuación de Cauchy (línea azul) concuerda bien con los índices de refracción medidos y la ecuación de Sellmeier (línea discontinua verde). Se desvía en las regiones ultravioleta e infrarroja.

No debe confundirse con Ecuación funcional de Cauchy o Ecuación de momentum de Cauchy.

La ecuación de Cauchy es una relación empírica entre el índice de refracción y la longitud de onda de la luz para un material transparente particular. Lleva el nombre del matemático Augustin Louis Cauchy, quien la definió en 1836.

La ecuación

La forma más general de la ecuación de Cauchy es:

${\displaystyle n(\lambda )=A+\frac{B}{{\lambda }^2}+\frac{C}{{\lambda }^4}+\cdots }$^[1]

Símbolo	Nombre
${\displaystyle n}$	Índice de refracción
${\displaystyle \lambda }$	Longitud de onda
${\displaystyle A,B,C,\cdots }$	Coeficientes

${\displaystyle A,B,C,\cdots }$, son coeficientes que se pueden determinar para un material ajustando la ecuación a los índices de refracción medidos en longitudes de onda conocidas. Los coeficientes generalmente se citan para λ como la longitud de onda en el vacío en micrómetros.

En general, es suficiente usar una forma de dos términos de la ecuación:

${\displaystyle n(\lambda )=B+\frac{C}{{\lambda }^2},}$

donde los coeficientes B y C se determinan específicamente para esta forma de la ecuación.

Coeficientes

A continuación se muestra una tabla de coeficientes para materiales ópticos comunes:)

Material	B	C (μm²)
Vidrio de cuarzo	1.4580	0.00354
Vidrio de borosilicato BK7	1.5046	0.00420
Vidrio crown duro K5	1.5220	0.00459
Vidrio crown de bario BaK4	1.5690	0.00531
Vidrio flint de bario BaF10	1.6700	0.00743
Vidrio flint denso SF10	1.7280	0.01342

Validez

Posteriormente, la teoría de la interacción luz-materia en la que se basa esta ecuación de Cauchy se vio que era incorrecta. En particular, la ecuación sólo es válida para las regiones de dispersión normal en la región de longitud de onda visible. En el infrarrojo, la ecuación no es válida, y no se puede representar regiones de dispersión anómala. Sin embargo, su simplicidad matemática la hace útil en algunas aplicaciones.^[2]

La ecuación de Sellmeier es un desarrollo posterior de la ecuación de Cauchy que se encarga de las regiones anormalmente dispersas, y modelos con mayor precisión de índice de refracción de un material a través de la radiación ultravioleta, visible e infrarroja del espectro.

La ecuación de Clausius-Mossotti lleva el nombre del físico italiano Octavio Fabricio Mossotti, cuyo libro de 1850^[1] analizó la relación entre las constantes dieléctricas de dos medios diferentes, y el físico alemán Rudolf Clausius, quien dio la fórmula de forma explícita en su libro de 1879^[2] en el contexto no de constantes dieléctricas, sino de los índices de refracción.

La ley de Clausius-Mossotti se aplica a la constante dieléctrica de un dieléctrico que es perfecto, homogéneo e isotrópico:^[3]

${\displaystyle (\frac{{\epsilon }_r-1}{{\epsilon }_r+2})\frac{M}{\rho }=\frac{N_A\alpha }{3{\epsilon }_0}}$

Símbolo	Nombre	Unidad	Fórmula
${\displaystyle {\epsilon }_r}$	Permitividad relativa		${\displaystyle {\epsilon }_r=\frac{\epsilon }{{\epsilon }_0}}$
${\displaystyle \epsilon }$	Permitividad absoluta	F / m
${\displaystyle {\epsilon }_0}$	Permitividad del vacío	F / m
${\displaystyle N_A}$	Número de Avogadro	mol-1	${\displaystyle N_A=\frac{MN}{\rho }}$
${\displaystyle M}$	Masa molar de la sustancia	kg / mol
${\displaystyle N}$	Número de moléculas por unidad de volumen	m-3
${\displaystyle \rho }$	Densidad	kg / m3
${\displaystyle \alpha }$	Polarizabilidad molecular	F m2

Ecuación

La ecuación relaciona la permitividad del medio (${\displaystyle \epsilon }$) en términos de las propiedades moleculares, por tanto, asumiendo la expresión aproximada para el campo total en un medio dieléctrico:

${\displaystyle {\mathbf{E}}_{tot}={\mathbf{E}}_{externo}+\frac{\mathbf{P}}{3{\epsilon }_0}}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle \mathbf{P}}$	Vector polarización eléctrica

El factor que acompaña a ${\displaystyle \mathbf{P}}$ puede diferir de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ aunque se ha asumido que es el orden correcto de magnitud. Para dieléctricos lineales,

${\displaystyle \mathbf{P}=N\alpha \left(\mathbf{E}+\frac{\mathbf{P}}{3{\epsilon }_0}\right)}$^[4]

${\displaystyle ({\epsilon }_r-1)\mathbf{E}=\frac{N\alpha }{{\epsilon }_0}\left(\mathbf{E}+\frac{({\epsilon }_r-1)}{3}\mathbf{E}\right)}$

${\displaystyle \frac{({\epsilon }_r-1)}{({\epsilon }_r+2)}=\frac{N\alpha }{3{\epsilon }_0}}$

Símbolo	Nombre	Unidad
${\displaystyle {\epsilon }_r}$	Permitividad relativa
${\displaystyle {\epsilon }_0}$	Permitividad del vacío	F / m
${\displaystyle N}$	Número de moléculas por unidad de volumen	m-3
${\displaystyle \alpha }$	Polarizabilidad molecular	F m2

Puesto que ${\displaystyle ϵ=(4\pi \chi +1)}$, sustituyendo en la ecuación anterior:

${\displaystyle \chi =\frac{N\alpha }{1-4\pi N\alpha /3}}$

Dado que esta expresión fue derivada originalmente para valores con bajos valores de N, se cumple para materiales no polares más densos.

Factor de Clausius-Mossotti

El factor de Clausius-Mossotti puede ser expresada en términos de permitividades complejas:^[5][6][7]

${\displaystyle K(\omega )=\frac{{ϵ}_p^{\ast }-{ϵ}_m^{\ast }}{{ϵ}_p^{\ast }+2{ϵ}_m^{\ast }}}$

${\displaystyle {ϵ}^{\ast }=ϵ+\frac{\sigma }{i\omega }=ϵ-\frac{i\sigma }{\omega }}$

donde:

• ${\displaystyle ϵ}$ es la permitividad (el subíndice p se refiere a una esfera dieléctrica sin pérdidas en suspensión en un medio m)
• ${\displaystyle \sigma }$ es la conductividad
• ${\displaystyle \omega }$ es la frecuencia angular de la aplicación del campo eléctrico
• ${\displaystyle i}$ es la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de -1

En el contexto de manipulación electrocinético, la parte real del factor de Clausius-Mossotti es un factor determinante para la fuerza dielectroforética sobre una partícula, mientras que la parte imaginaria es un factor determinante para el par electrorotational sobre la partícula. Otros factores son, por supuesto, las geometrías de la partícula para ser manipulado y el campo eléctrico. Mientras que ${\displaystyle Re(K(\omega ))}$ se puede medir directamente por la aplicación de diferentes potenciales de CA directamente en los electrodos,,^[8] ${\displaystyle Im(K(\omega ))}$ se puede medir por electro-rotación gracias a los métodos de captura de las mediciones ópticas.