EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 En Mecánica estadística la ecuación de Ornstein-Zernike (llamada así en honor de Leonard Ornstein y Frits Zernike) es una ecuación integral para definir la función de correlación directa. Básicamente describe la forma en que puede calcularse la correlación entre dos moléculas. Sus aplicaciones se encuentran principalmente en teoría de fluidos.

Derivación

La derivación presentada aquí es de naturaleza heurística; una derivación rigurosa requiere de extensivos análisis gráficos o técnicas funcionales.^{[N. 1]}

Es conveniente definir la función de correlación total:

${\displaystyle h(r_{12})=g(r_{12})-1,}$

que es una medida de la «influencia» de la molécula 1 sobre la molécula 2, separadas una distancia r₁₂, con g(r₁₂) la función de distribución radial. En 1914, Ornstein y Zernike propusieron separar esta influencia en dos contribuciones: una directa y una indirecta.^[1] La contribución directa está definida como dada por la función de correlación directa, denotada por c(r₁₂). La parte indirecta es debida a la influencia de la molécula 1 sobre una tercera molécula, etiquetada con 3, la cual, a su vez, afecta a la molécula 2, directa e indirectamente. Este efecto indirecto se pondera con la densidad y se promedia sobre todas las posibles posiciones de la partícula 3. Esta descomposición puede escribirse matemáticamente como

${\displaystyle h(r_{12})=c(r_{12})+\rho \int d{\mathbf{r}}_{3}c(r_{13})h(r_{23})}$

La ecuación anterior es conocida como ecuación de Ornstein–Zernike. Su interés es que, al eliminar la influencia indirecta, c(r) actúa a distancias menores que h(r) y puede ser descrita más fácilmente.

Si definimos el vector de distancia entre dos moléculas comor_ij ≡ r_i − r_j para i,j = 1,2,3, la ecuación de Ornstein-Zernike puede reescribirse usando una convolución.

${\displaystyle h({\mathbf{r}}_{12})=c({\mathbf{r}}_{12})+\rho \int d{\mathbf{r}}_{3}c({\mathbf{r}}_{12}-{\mathbf{r}}_{32})h(-{\mathbf{r}}_{32})=c({\mathbf{r}}_{12})+\rho \int d{\mathbf{r}}_{32}c({\mathbf{r}}_{12}-{\mathbf{r}}_{32})h({\mathbf{r}}_{32})=c({\mathbf{r}}_{12})+\rho (c\ast h)({\mathbf{r}}_{12})}$.

Si ahora denotamos las transformada de Fourier de h(r) y de c(r) como Ĥ(k) y Ĉ(k), respectivamente, y utilizamos el teorema de convolución, obtenemos:

${\displaystyle \hat{H}(\mathbf{k})=\hat{C}(\mathbf{k})+\rho \hat{H}(\mathbf{k})\hat{C}(\mathbf{k}),}$

lo cual conduce a

${\displaystyle \hat{C}(\mathbf{k})=\frac{\hat{H}(\mathbf{k})}{1+\rho \hat{H}(\mathbf{k})}\hat{H}(\mathbf{k})=\frac{\hat{C}(\mathbf{k})}{1-\rho \hat{C}(\mathbf{k})}.}$

Es necesario resolver tanto para h(r) como para c(r) (o, de forma equivalente, para sus transformadas de Fourier). Esto requiere de una ecuación adicional conocida como relación de cerradura. La ecuación de Ornstein–Zernike puede verse formalmente como una definición de la función de correlación directa c(r) en términos de la función de correlation total h(r). Los detalles del sistema que se esté estudiando —principalmente la forma del potencial de interacción u(r)— deben ser tomados en cuenta al escoger la relación de cerradura. Comúnmente se utilizan las relaciones de cerradura de la aproximación de Percus-Yevick, que se adapta bien a partículas con núcleo impenetrable, y la ecuación de cadena hipertejida, muy usada para potenciales más «suaves».

En fisicoquímica, el paramagnetismo de Van Vleck se refiere a una contribución positiva a la susceptibilidad magnética, independiente de la temperatura. En los materiales donde este efecto domina, el efecto es muy diferente al de los materiales paramagnéticos usuales que siguen la ley de Curie (susceptibilidad inversamente proporcional a la temperatura).

La primera descripción teórica del fenómeno fue desarrollada por John Hasbrouck van Vleck en el auge del desarrollo de una descripción cuántica del magnetismo.^[1] La susceptibilidad de Van Vleck viene de correcciones al efecto Zeeman, en segundo orden en el desarrollo de la energía en función del campo magnético. Este efecto es importante para explicar la respuesta magnética de algunas sales de tierras raras.^[2]

Ecuación estadística

Se parte del siguiente par de aproximaciones:

• es posible expresar la energía W_i de cada nivel i del total de n niveles como serie de potencias en función de la intensidad de campo magnético H:

${\displaystyle W_i=W_i^{(0)}+W_i^{(1)}H+W_i^{(2)}{H}^2\dots }$

• la susceptibilidad magnética es independiente del campo. En la práctica esto suele traducirse en que la ecuación sólo es aplicable a sistemas lejos de la saturación y en los que la interacción entre centros magnéticos es despreciable.

La segunda aproximación es equivalente a descartar los términos de orden igual o superior a tres en la primera expresión: la primera derivada de la energía frente al campo se relaciona con el momento magnético y la segunda con la susceptibilidad.

A partir de estas aproximaciones es posible llegar a la ecuación de van Vleck:^[3]

${\displaystyle {\chi }_{\mathrm{V}\mathrm{V}}=n\left[\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(\frac{{\left(W_i^{(1)}\right)}^2}{kT}-2W_i^{(2)}\right)\exp \left(-\frac{W_i^{(0)}}{kT}\right)}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\exp \left(-\frac{W_i^{(0)}}{kT}\right)}}\right]}$

donde:

• k es la constante de Boltzmann
• T es la temperatura y
• n es el número de átomos por unidad de volumen.

Bajo la interacción de Zeeman, los términos perturbativos se pueden escribir como ${\displaystyle W_i^{(1)}=⟨i|V_{\mathrm{Z}}|i⟩}$, y

${\displaystyle W_i^{(2)}=\sum _{j(i\ne j)}\frac{|⟨i|V_{\mathrm{Z}}|j⟩{|}^2}{E_i-E_j}}$,

donde ${\displaystyle V_{\mathrm{Z}}\propto L_z+g{S}_z}$ es la interacción de Zeeman, L_z es el operador momento angular en la dirección del campo, gS_z es la proyección del espín en la dirección del campo multiplicada por el factor-g y E_i indica la energía a campo magnético nulo del estado ${\displaystyle |i⟩}$.

Sistemas de interés

Si el estado fundamental no tiene momento magnético y el estado excitado próximo con momento magnético no nulo se encuentra a una energía muy superior a kT, la única contribución significativa a la susceptibilidad proviene de los términos W⁽²⁾_i de i>1. Puesto que todos los términos que dependen de la temperatura se anulan. Lo que resulta en una susceptibilidad paramagnética independiente de la temperatura.^[2] Este efecto es de especial relevancia cuando es la única contribución al magnetismo, pero en general puede ser una corrección significativa a la susceptibilidad de muchos sistemas, comparable en orden de magnitud a la corrección diamagnética que se calcula con las tablas de Pascal, sólo que de signo opuesto.

En matemática y física, la ecuación de Poisson es una ecuación en derivadas parciales con un amplio uso en electrostática, ingeniería mecánica y física teórica. Se debe al matemático, geómetra y físico francés Siméon-Denis Poisson, que la publicó en 1812 como corrección de la ecuación diferencial parcial de segundo orden de Laplace para la energía potencial.^[1]

La ecuación de Poisson se define como:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }\phi =f}$

donde ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ es el operador laplaciano, y f y ${\displaystyle \phi }$ son funciones reales o complejas. En un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, toma la forma:

${\displaystyle \left(\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{z}^2}\right)\phi (x,y,z)=f(x,y,z).}$

Si ${\displaystyle f=0}$, la ecuación se convierte en la ecuación de Laplace

${\displaystyle \mathrm{\Delta }\phi =0.}$

Problema de Poisson

La ecuación de Poisson junto con las condiciones de contorno homogéneas, constituye uno de los tres problemas clásicos relacionados con el operador laplaciano que se detallan a continuación. Concretamente, el problema de Poisson es el problema de encontrar una función ${\displaystyle \phi }$ definida sobre el dominio ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ que satisfaga:

(1)

Este tipo de problema puede ser resuelto de manera sencilla, mediante el método de la función de Green, para n > 2:

${\displaystyle \phi (\mathbf{x})=\frac{-c_n}{4\pi }\int \frac{\rho (\overline{\mathbf{x}})d^n\overline{\mathbf{x}}}{\Vert \mathbf{x}-\overline{\mathbf{x}}{\Vert }^{n-2}}.}$

Problemas de potencial

La ecuación anterior aparece en problemas electrostáticos y de potencial gravitatorio. En esos problemas, ρ representa la densidad de carga eléctrica o bien la densidad de masa. Además la constante c_n debe ser tomada 1/ε₀ para problemas electrostáticos (en SI), mientras que en problemas de potencial gravitatorio se toma como c_n = 4π G.

Problema de Dirichlet

Artículo principal: Problema de Dirichlet

El problema de Dirichlet es un problema de encontrar una función armónica sobre un dominio ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ tal que sea igual a otra función dada sobre el contorno de tal dominio:

(2)

En electrostática, el problema de Dirichlet se corresponde con el problema de encontrar el campo dentro de una cavidad metálica "conectada a tierra" (potencial constante) de forma ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ dentro de la cual hay una distribución de carga dada por ${\displaystyle \rho }$.

Relación con el problema de Poisson

Existe un medio para reducir el problema de Dirichlet a un problema de Poisson. Si ${\displaystyle f(\overline{\mathbf{x}})}$ es una función de clase C¹ sobre la frontera del dominio y ${\displaystyle \tilde{f}(\overline{\mathbf{x}})}$ es una extensión de ${\displaystyle f}$ a todo el dominio ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ que sea de clase C², es decir:

${\displaystyle \tilde{f}(\overline{\mathbf{x}})=f(\overline{\mathbf{x}})\mathrm{\forall }\overline{\mathbf{x}}\in \mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }}$

Entonces la solución del problema de Dirichlet (2) viene dada por una función suma de la extensión anterior y otra función que es solución de un problema de Poisson como (1):

${\displaystyle \phi (\mathbf{x})=\tilde{f}(\mathbf{x})+{\phi }_1(\mathbf{x})}$

${\displaystyle \mathrm{\Delta }{\phi }_1(\mathbf{x})=-c_n\tilde{\rho }\tilde{\rho }:=\frac{\mathrm{\Delta }\tilde{f}}{c_n}{\phi }_1(\overline{\mathbf{x}})=0}$

Problema de Neumann

Artículo principal: Problema de Neumann

El problema de Neumann es similar al anterior, pero en lugar de fijar el valor de la función incógnita sobre la frontera, fija el valor de la derivada perpendicularmente a la superficie.

(3)