EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 

Configuración típica de un sistema de coordenadas en una transformación de Galileo.

Una transformación de Galileo es un cambio de coordenadas y velocidades que deja invariante las ecuaciones de Newton. La condición anterior equivale a que la transformación entre las coordenadas de un sistema de referencia inercial y otro sistema inercial que se mueve respecto al primero sea también una transformación de Galileo.

Transformación de coordenadas

Galileo Galilei propuso en 1638^[1] que si se tiene un sistema ${\displaystyle A}$ en reposo y un sistema ${\displaystyle B}$ en movimiento, a velocidad constante ${\displaystyle V_x}$ respecto del primero a lo largo del sentido positivo del eje ${\displaystyle x}$, y si las coordenadas de un punto del espacio para ${\displaystyle A}$ son ${\displaystyle (x,y,z)}$ y para ${\displaystyle B}$ son ${\displaystyle (x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}$, se puede establecer un conjunto de ecuaciones de transformación de coordenadas bastante sencillo.

Así, si se quiere hallar las coordenadas de ${\displaystyle B}$ a partir de las coordenadas de ${\displaystyle A}$ se tienen las ecuaciones:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x-V_{x}t\\ y^{\prime }=y\\ z^{\prime }=z\end{array}}$

En cuanto al tiempo, se tiene que:

${\displaystyle t^{\prime }=t}$

Las anteriores relaciones se pueden reescribir en forma matricial como:

Las anteriores son las transformaciones de Galileo más simples. Generalmente se consideran transformaciones más generales, de hecho el conjunto de todas las transformaciones del tipo anterior según cualquier dirección (no necesariamente sobre el eje X) junto con las rotaciones constituyen el llamado grupo de Galileo. El grupo de Galileo completo incluyendo las traslaciones espaciales y temporales, es substancialmente más complicado que el grupo de Lorentz.

Transformaciones de otras magnitudes

Son sencillas de deducir, pero a diferencia de las transformaciones de Lorentz que actúan del mismo modo sobre todos los (cuadri)vectores, las transformaciones de Galileo son diferentes para diferentes vectores. Por ejemplo, las fuerzas y las aceleraciones son invariables bajo una transformación de Galileo simple, en cambio el momento lineal se transforma de manera similar a como lo hace el vector velocidad:

La energía cinética tiene una ley de transformación un poco más complicada, puesto que al sustituir v' obtenemos:

${\displaystyle T^{\prime }=\frac{1}{2}m{v^{\prime }}^2=\frac{1}{2}m\Vert \mathbf{v}-\mathbf{V}{\Vert }^2=\frac{1}{2}m(v^2+V^2)-m\mathbf{v}\cdot \mathbf{V}=T+\frac{1}{2}m{V}^2-\mathbf{p}\cdot \mathbf{V}}$

Grupo de Galileo

El conjunto de transformaciones de Galileo forman un grupo matemático. Esto significa que dadas dos transformaciones de Galileo la composición de las mismas es una nueva transformación de Galileo. Como grupo el grupo de Galileo es un grupo de Lie de diez dimensiones y no conmutativo. El grupo de Galileo ordinario se designa como ${\displaystyle \text{SGal}(3)}$ y pueden considerarse un subgrupo del grupo general lineal espacio euclídeo ampliado con el tiempo. Existen varias representaciones del grupo de Galileo, una de las más intuitivas es la de grupo de matrices sobre ${\displaystyle {\mathbb{R}}^5}$ donde un evento que sucede en el tiempo t y el punto del espacio euclídeo x se representa por un vector ${\displaystyle (t,\mathbf{x},1)\in {\mathbb{R}}^5}$, con esa convención el grupo ${\displaystyle \text{SGal}(3)}$ es isomorfo a las matrices de la forma:^[2]

donde:

${\displaystyle s}$ es un número real.

${\displaystyle \mathbf{v}\mathbf{,}\mathbf{x}\mathbf{,}\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^3}$ son vectores euclídeos.

${\displaystyle \mathbf{R}}$ es una matriz de rotación.

La composición de transformaciones puede llevarse a cabo a través de la multiplicación de matrices. ${\displaystyle \text{SGal}(3)}$ posee algunos subgrupos distinguidos que tienen nombre propipio. Sea ${\displaystyle m=m(\mathbf{v}\mathbf{,}\mathbf{y}\mathbf{,}\mathbf{R},s)}$ la transformación de Galileo dada por los parámetros ${\displaystyle (\mathbf{v}\mathbf{,}\mathbf{y}\mathbf{,}\mathbf{R},s)}$:

${\displaystyle G_1=\{m\in \text{SGal}(3)|s=0,\mathbf{y}=0\},}$ transformaciones uniformemente especiales.

${\displaystyle G_2=\{m\in \text{SGal}(3)|\mathbf{v}=0,\mathbf{R}={\mathbf{I}}_3\}\cong ({\mathbb{R}}^4,+),}$ desplazamientos de origen.

${\displaystyle G_3=\{m\in \text{SGal}(3)|s=0,\mathbf{y}=0,\mathbf{v}=0\}\cong \text{SO}(3),}$ rotaciones del sistema de referencia (ver SO(3)).

${\displaystyle G_4=\{m\in \text{SGal}(3)|s=0,\mathbf{y}=0,\mathbf{R}={\mathbf{I}}_3\}\cong ({\mathbb{R}}^3,+),}$ movimientos relativos uniformes.

Los parámetros ${\displaystyle (\mathbf{v}\mathbf{,}\mathbf{y}\mathbf{,}\mathbf{R},s)}$ expanden un conjunto de diez dimensiones. Puesto que las transformaciones dependen continuamente de dichos parámetros el grupo de Galileo es un grupo topológico (en particular es un grupo de Lie, como se ha dicho). La estructura completa del grupo se puede representar mediante productos semidirectos ${\displaystyle A⋊B}$):

1. ${\displaystyle G_2◃\text{SGal}(3)}$ (G₂ es un subgrupo normal)
2. ${\displaystyle \text{SGal}(3)\cong G_2⋊G_1}$
3. ${\displaystyle G_4⊴G_1}$
4. ${\displaystyle G_1\cong G_4⋊G_3}$
5. ${\displaystyle \text{SGal}(3)\cong {\mathbb{R}}^4⋊({\mathbb{R}}^3⋊\text{SO}(3))}$.

En mecánica cuántica, la transformación de Jordan-Wigner es un método teórico que usa la segunda cuantización para transformar operadores de espín en operadores creación y destrucción fermiónicos. En concreto, permite mostrar la equivalencia entre un modelo de Heisenberg unidimensional de espines 1/2 y un gas de Fermi unidimensional. El método fue publicado por Pascual Jordan y Eugene Wigner en 1928.^[1]

Esta operación transforma los espines «arriba» en fermiones o estados ocupados, y los espines «abajo» en estados sin ocupar. Si se definen ${\displaystyle \{f_1^{†},f_1\}}$ como operadores creación y destrucción de un fermión, se puede expresar el operador proyección del momento angular en el eje z y los operadores escalera de un espín aislado como:

${\displaystyle S_1^z=f_1^{†}{f}_1-\frac{1}{2}}$

${\displaystyle S_1^{+}=f_1^{†}}$

${\displaystyle S_1^{-}=f_1}$

Puesto que los operadores de espín de sitios independientes conmutan mientras que los fermiones anticonmutan, cuando la transformación de Jordan-Wigner se aplica a una cadena se introduce una fase en los operadores escalera que, en la posición i depende de la ocupación de las posiciones 1 a i:

${\displaystyle S_i^z=f_i^{†}{f}_i-\frac{1}{2}}$

${\displaystyle S_i^{+}=(-1{)}^{{\varphi }_i}{f}_i^{†}}$

${\displaystyle S_i^{-}=(-1{)}^{{\varphi }_i}{f}_i}$

donde ${\displaystyle {\varphi }_i}$ es el conteo de fermiones, o equivalentemente de espines «arriba», desde el origen de la cadena hasta la posición i:

${\displaystyle {\varphi }_i=\sum _{k=1}^{i-1}\left(\frac{1}{2}+S_k^z\right)=\sum _{k=1}^{i-1}{f}_k^{†}{f}_k=\sum _{k=1}^{i-1}{S}_k^{+}{S}_k^{-}}$

Figura 1. Vector de Burgers de una dislocación en arista (arriba) y de otra helicoidal (abajo). Sobre los cristales perfectos (a la izquierda) el circuito de Burgers cierra por sí mismo, mientras que en aquellos con una dislocación (derecha) es necesario introducir el vector de Burgers para cerrarlos.

En física del estado sólido, el vector de Burgers se define como aquel vector de la red, necesario para cerrar un circuito de Burgers que encierra una línea de dislocación. Lleva el nombre del físico neerlandés (1895–1981).

Suponiendo que se traza un camino en una red atómica cristalina que recorra el mismo número de átomos en una dirección. En caso de que el cristal sea perfecto entonces el camino se cerrará por sí mismo. En cambio, si el camino encierra en su interior una línea de dislocación, será necesario incluir un vector adicional para poder cerrarlo. Este vector es el vector de Burgers.

Matemáticamente podemos definir el vector de Burgers como la circulación del vector de desplazamiento atómico a lo largo de una línea cerrada que envuelve la dislocación:

${\displaystyle \overrightarrow{b}={\oint }_{C}d\overrightarrow{u}}$

El vector de Burgers es característico de la estructura cristalina y no depende de la posición u orientación de línea de dislocación.

La orientación relativa de la línea de dislocación respecto al vector de Burgers permite caracterizar el tipo de dislocación, de forma que cuando la línea de dislocación discurre paralela al vector de Burgers estamos ante una dislocación helicoidal, mientras que las líneas de dislocación perpendiculares al vector pertenecen a dislocaciones en arista, también llamadas de Taylor o de borde. En las dislocaciones mixtas, el ángulo entre su línea de dislocación y el vector de Burgers puede tomar cualquier valor.

La energía elástica introducida en un cristal por la presencia de una dislocación es directamente proporcional al cuadrado del módulo del vector de Burgers, por lo que sólo aquellos vectores de la red que minimicen la energía introducida por la dislocación, es decir, aquellos de menor módulo, pueden ser vectores de Burgers.