EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 La ecuación KPZ (por las iniciales de sus creadores, Mehran Kardar, Giorgio Parisi y Vi-Cheng Zhang) es una ecuación diferencial estocástica en derivadas parciales y no lineal. Describe la variación temporal del grosor de una lámina. Es un buen modelo de crecimiento de superficies. Viene dada por la expresión:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\varphi (\overrightarrow{x},t)}{\mathrm{\partial }t}=\nu {\mathrm{\nabla }}^2\varphi +\frac{\lambda }{2}{\left[\mathrm{\nabla }\varphi \right]}^2+\eta (\overrightarrow{x},t)}$

donde ${\displaystyle \eta (\overrightarrow{x},t)}$ es un ruido gaussiano blanco cuyos primer y segundo momentos están dados por

${\displaystyle ⟨\eta (\overrightarrow{x},t)⟩=0\mathtt{y}⟨\eta (\overrightarrow{x},t)\eta ({\overrightarrow{x}}^{\prime },t^{\prime })⟩=2D{\delta }^d(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}^{\prime })\delta (t-t^{\prime }),}$

y ${\displaystyle \nu }$, ${\displaystyle \lambda }$ y ${\displaystyle D}$ son parámetros del modelo; ${\displaystyle d}$ es la dimensión de la lámina y es un concepto bastante importante en la resolución de la ecuación y afecta al tipo de solución. En concreto:

1. si la ecuación tiene una sola fase "áspera" en la que las fluctuaciones de ${\displaystyle \varphi }$ divergen algebraicamente con el tamaño del sistema, desestabilizando cualquier comportamiento estudiado;
2. si la ecuación presenta una "fase fluida" —un acoplamiento débil— para ${\displaystyle \lambda }$ lo suficientemente pequeña. En esta fase, las fluctuaciones son pequeñas y el comportamiento es coherente globalmente. El estudio de las correlaciones espaciales y temporales arroja que:

${\displaystyle ⟨\varphi (x_1,t)\varphi (x_2,t)⟩\sim \frac{1}{r^{d-2}}\mathtt{y}⟨\varphi (x,t_1)\varphi (x,t_2)⟩\sim \frac{1}{t^{\frac{d-2}{2}}}}$

Soluciones de la ecuación de Kepler para cinco excentricidades diferentes entre 0 y 1.

Kepler descubrió las leyes que rigen el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Los planetas giran en una órbita elíptica, uno de cuyos focos F lo ocupa el Sol, pero no lo hacen con un movimiento uniforme, sino que el radio vector Sol-planeta barre áreas iguales en tiempos iguales (ley de las áreas). La expresión matemática de esta ley es la ecuación de Kepler:

${\displaystyle M=E-e\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}E,}$

donde:

• M es la anomalía media o ángulo que recorrería un planeta ficticio que se moviese con movimiento uniforme por la circunferencia principal,
• es la excentricidad de la elipse y
• E es la anomalía excéntrica.

Fue derivada por primera vez por Johannes Kepler en 1609 en el capítulo 60 de su Astronomia nova,^[1][2] y en el libro V de su Epitome of Copernican Astronomy (1621) Kepler propuso una solución iterativa a la ecuación.^[3][4] La ecuación ha jugado un papel importante en la historia de la física y las matemáticas, en particular en la mecánica celeste clásica.

Movimiento medio

Supóngase que el planeta da una vuelta al Sol en un tiempo denominado periodo T. El movimiento medio n es el ángulo girado en la unidad de tiempo suponiendo movimiento uniforme n=360/T en grados/día si el periodo se expresa en días. Usando la 3^a ley de Kepler:

${\displaystyle \frac{G\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{a}{T}^2}{a^3}=4{\pi }^2}$

resulta:

${\displaystyle n=\frac{2\pi }{T}=\sqrt{\frac{G\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{a}}{a^3}}}$

en radianes/día siendo a el semieje mayor de la órbita. Se obtiene n en radianes/día o en º/día si a se expresa en UA mediante:

${\displaystyle n=\frac{k}{a^{\frac{3}{2}}}}$

donde ${\displaystyle k}$ es la constante de Gauss, o el movimiento medio diario de la Tierra cuyo valor es 0,01720209895 radianes/día o 0,9856076686 grados/día.

Si t₀ es el instante de paso por el perihelio P, la anomalía media en un instante t es:

${\displaystyle M=n\times (t-t_0)}$

Demostración de la ecuación de Kepler

El semieje mayor de la órbita es ${\displaystyle a}$, y el semieje menor es ${\displaystyle b}$. La excentricidad de la órbita es ${\displaystyle e}$, y la estrella ocupa uno de los focos ${\displaystyle F}$, a una distancia ${\displaystyle c=ae}$ del centro ${\displaystyle C}$ de la elipse. El planeta está en el perihelio en ${\displaystyle P}$ en momento ${\displaystyle t=0}$ o más en general en el momento ${\displaystyle t_0}$. Pretendemos encontrar el tiempo ${\displaystyle T=t-t_0}$ que tarda el planeta en alcanzar ${\displaystyle S}$.

La circunferencia principal tiene una relación de afinidad entre sus ordenadas y las ordenadas de la elipse pues son más grandes por un factor ${\displaystyle a/b}$. A cualquier punto ${\displaystyle S}$ de la elipse corresponde un punto ${\displaystyle R}$ de la circunferencia principal. El ángulo ${\displaystyle PCR}$ es la anomalía excéntrica (el ángulo ${\displaystyle E}$), mientras que el ángulo ${\displaystyle PFS}$ es la anomalía verdadera.

Se sabe que por la segunda ley de Kepler las áreas barridas por el radio vector del planeta en tiempos iguales son iguales. El área ${\displaystyle PFR}$ es la homóloga del área ${\displaystyle PFS}$ barrida por el planeta:

${\displaystyle PFR=\frac{a}{b}PFS}$

Diagrama que permite demostrar la ecuación de Kepler y por tanto calcular la posición de un planeta en su órbita en un instante t cualquiera. La elipse es la órbita del planeta, con la estrella ocupando el foco F. El objetivo es calcular el tiempo que necesita el planeta para moverse desde el perihelio (para el Sol en general periapsis) P a un punto dado S. La circunferencia principal es la circunferencia auxiliar de radio a que usaremos para demostrar la ecuación de Kepler.

Sabemos que, en el tiempo del periodo orbital ${\displaystyle \tau }$, el planeta barre el área entera de la elipse ${\displaystyle \pi ab}$. Por ello en un tiempo ${\displaystyle T/\tau }$ el área barrida será:

${\displaystyle PFS=\frac{T}{\tau }\pi ab}$

y sustituyendo esta expresión en la anterior:

${\displaystyle PFR=\frac{T}{\tau }\pi a^2}$

Pero el área ${\displaystyle PFR}$ es la resta de las áreas ${\displaystyle PCR}$ y ${\displaystyle FCR}$:

${\displaystyle PFR=PCR-FCR}$

El área ${\displaystyle PCR}$ es el sector circular cuyo ángulo central es E. Como el círculo tiene un área total ${\displaystyle \pi a^2}$ y la fracción es ${\displaystyle E/2\pi }$, tenemos:

${\displaystyle PCR=\frac{a^2}{2}E}$

Mientras que el área ${\displaystyle FCR}$ es un triángulo cuya base es la semi-distancia focal ${\displaystyle FC}$ de longitud ${\displaystyle c=ae}$, y cuya altura es ${\displaystyle a\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}E}$:

${\displaystyle FCR=\frac{a^2}{2}e\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}E}$

Por lo que:

${\displaystyle PFR=\frac{T}{\tau }\pi a^2=\frac{a^2}{2}E-\frac{a^2}{2}e\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}E}$

Dividiendo por ${\displaystyle a^2/2}$:

${\displaystyle \frac{2\pi }{\tau }T=E-e\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}E}$

Pero ${\displaystyle n=2\pi /\tau }$ es el movimiento medio y si multiplicamos por T obtenemos la anomalía media ${\displaystyle M=nT=n(t-t_0)}$ lo que nos da la ecuación de Kepler:

${\displaystyle M=E-e\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}E}$

Nota: Para entender la importancia de esta fórmula, considere que es una fórmula análoga que da el ángulo ${\displaystyle \theta }$ girado en un movimiento circular y uniforme (velocidad angular constante) ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle nT=\theta }$

Métodos de resolución de la ecuación de Kepler

Para un tiempo t dado, M es conocido, con la que queda una ecuación trascendente en E cuya resolución vamos a abordar.

Método gráfico

• Ejemplo:

Método gráfico aproximado de resolver la ecuación de Kepler.

Supongamos el planeta Marte cuyo año sidéreo = 686,98 días y queremos calcular la anomalía excéntrica 80 días después de que el planeta pase por el perihelio.

El movimiento medio n = 0,524033º/día y la anomalía media: ${\displaystyle M=n\times (t-t_0)}$=41,9226°.

Para resolver la ecuación de Kepler, en el gráfico se dibuja una sinusoide. Sobre el eje x se mide M = OP y se dibuja una recta con inclinación sobre el eje x tal que:

cotg (${\displaystyle \alpha }$) = e .

Entonces ${\displaystyle PQ=e\times \sin E}$ con lo que ${\displaystyle OQ=OP+PQ=M+e\times \sin E}$

Aplicada para Marte T = 686,98 días, e = 0,09341 y 80 días tras el paso por el perihelio. La anomalía media vale M = 41,9226 y la anomalía excéntrica sale E = 49,8 cuando debería salir 45,75.

Método de las aproximaciones sucesivas

Se escribe la ecuación de Kepler en la forma:

${\displaystyle E=M+e\times \sin E}$

Como normalmente la excentricidad e es pequeña puede despreciarse y la aproximación inicial E₀ = M. Ahora se aplica la ecuación de Kepler para obtener un nuevo valor:

${\displaystyle E_1=M+e\times \sin E_0}$ y en general

${\displaystyle E_i=M+e\times \sin E_{i-1}}$

se itera el cálculo las veces necesarias hasta que la diferencia entre E_i-1 y E_i es menor que una cantidad o error prefijados.

Un script de Java que hace esto es:

with (Math) {

n=2*PI/P;

M=n*T;

E0=M;

E1=M+ex*sin(E0);

while (abs(E1-E0)>0.0001) {

E0=E1;

E1=M+ex*sin(E0);

}

Se ha usado la estructura de while (condición) y así mientras se cumpla la condición seguirá iterando.

Nota importante:

La ecuación se puede resolver en radianes o en grados; en este último caso hay que hacer homogéneos ambos sumandos convirtiendo radianes a grados:

${\displaystyle E_i=M+\frac{180}{\pi }\times e\times \sin E_{i-1}}$

En el applet se resuelve en radianes.

• Ejemplo:

Supongamos que queremos calcular la anomalía excéntrica del planeta Marte, 80 días después de que el planeta pase por el perihelio y con un error menor que 0,00001. La siguiente tabla resume los resultados de las diferentes iteraciones:

Iteración	Ei	Diferencia
0	41,92260
1	45,49841	3,57581
2	45,73981	0,24140
3	45,75558	0,01577
4	45,75661	0,00103
5	45,75668	0,00007
6	45,75668	0,000004

Con sólo 6 iteraciones se puede ver que E=45,75668 con todas sus cifras exactas.

Nota: Cuando la excentricidad se acerca a 1 se necesitan muchas más iteraciones para conseguir el mismo error.

Método de Newton

El método de Newton consiste en calcular una raíz de una ecuación f(x) = 0 mediante la expresión:

${\displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}.}$

Para ello basta con escribir la ecuación de Kepler como:

${\displaystyle E-e\times \sin E-M=0}$

y aplicar este método.

Movimiento elíptico

• Ver artículo principal Movimiento elíptico

Cuando ya se han calculado la anomalía media M, y mediante la resolución de la ecuación de Kepler la anomalía excéntrica E y luego la anomalía verdadera V, todavía quedan muchas relaciones que tratar. A modo de ejemplo:

• Posición cartesiana (x, y) del planeta respecto a la estrella:
  • En función anomalía excéntrica:

${\displaystyle x=a\times (\cos E-e)}$

${\displaystyle y=a\times \sqrt{1-e^2}\times \sin E}$

• • En función anomalía verdadera:

${\displaystyle x=r\times \cos V}$

${\displaystyle y=r\times \sin V}$

• Radio vector
  • En función anomalía excéntrica

${\displaystyle r=a\times (1-e\times \cos E)}$

• • En función anomalía verdadera:

${\displaystyle r=\frac{a\times (1-e^2)}{1+e\times \cos V}}$

• Desarrollos en serie de potencias de e de E, V y r:

${\displaystyle E=M+e\times \sin M+\frac{e^2}{2}\times \sin (2\times M)+...}$

${\displaystyle V=M+2\times e\times \sin M+\frac{5e^2}{4}\times \sin (2\times M)+...}$

${\displaystyle r=a\times (1-e\times \cos M+\frac{e^2}{2}\times (1-\cos (2\times M)))+...}$

donde se han desarrollado hasta 2.º orden.

La ecuación de Klein-Gordon o ecuación K-G debe su nombre a Oskar Klein y Walter Gordon, y es la ecuación que describe un campo escalar libre en teoría cuántica de campos.

Historia

La ecuación fue llamada así en honor a los físicos Oskar Klein y Walter Gordon, quienes en 1926 propusieron que ella describe a los electrones relativistas. Otros autores haciendo similares afirmaciones en ese mismo año fueron Vladimir Fock, Johann Kudar, Théophile de Donder y Frans-H. van den Dungen, y Louis de Broglie. Al contrario que la ecuación de Dirac, que describe partículas elementales de espín ½, como el electrón, la ecuación de Klein-Gordon describe correctamente a los piones y otras partículas de espín cero. Los piones son partículas compuestas, mientras que un ejemplo de partícula elemental de espín cero es el bosón de Higgs.

La ecuación de Klein-Gordon fue propuesta originalmente por Erwin Schrödinger como ecuación para la función de onda de una partícula cuántica. Sin embargo, puesto que la ecuación de Klein-Gordon no admitía una interpretación probabilista adecuada entre otros problemas, Schrödinger consideró más adecuado pasar a una versión no relativista de la ecuación que es la que actualmente se conoce como ecuación de Schrödinger.

Más tarde la función de onda que aparece en la ecuación de Klein-Gordon sería apropiadamente interpretada como la densidad de un campo bosónico cargado de espín cero. Así el hecho de que la "densidad de probabilidad" fuera negativa era interpretada como una densidad de carga negativa y los problemas de interpretación como probabilidades de presencia desaparecían, aunque persistían otros de los problemas mencionados más adelante. Sin embargo, dentro de la teoría cuántica de campos la ecuación de Klein-Gordon sí resultó útil.

Forma de la ecuación

La ecuación de Klein-Gordon para partículas en un espacio-tiempo plano tiene la siguiente forma:

${\displaystyle \left[\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{t}^2}-{\mathrm{\nabla }}^2+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\right]\varphi (t,\mathbf{x})=0}$

Usando el operador D'Alambertiano ${\displaystyle ◻}$ y el parámetro de masa ${\displaystyle \mu }$ definidos como:

${\displaystyle ◻=\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{t}^2}-{\mathrm{\nabla }}^2=\sum _{\nu }{\mathrm{\partial }}_{\nu }{\mathrm{\partial }}^{\nu },\mu =\frac{mc}{\hslash }}$

La ecuación se escribe de manera más compacta y manifiestamente covariante:

(2)${\displaystyle \left[◻+{\mu }^2\right]\varphi =0}$

Nótese que si se escoge la métrica con signatura opuesta, aparece un signo menos delante de ${\displaystyle \mu }$ en esta última ecuación.

En un espacio-tiempo general la ecuación de Klein-Gordon puede escribirse como:

(3)${\displaystyle \left[\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\alpha }}\left(\sqrt{-g}{g}^{\alpha \beta }\frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }{x}^{\beta }}\right)\right]+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\varphi =0}$

Donde:

${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$, son las componentes contravariantes del tensor métrico.

${\displaystyle \sqrt{-g}}$, es la raíz cuadrada del determinante cambiado de signo.

La ecuación K-G en mecánica cuántica

Inicialmente la ecuación KG se introdujo en mecánica cuántica con la pretensión de modelizar la ecuación de movimiento para una partícula cuántica y relativista. De este modo, se deduce la ecuación escribiendo la energía que tiene una partícula relativista y utilizando la forma de los operadores Hamiltoniano y momento en mecánica cuántica:

${\displaystyle E^2={\mathbf{p}}^2{c}^2+m^2{c}^4={\left[i\hslash \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}\right]}^2,\mathbf{p}=-i\hslash \mathrm{\nabla }}$

Existen varios problemas si se trata de interpretar la variable dinámica ${\displaystyle \varphi }$ como una función de onda, ya que aparecen varias incongruencias como:

• El que la energía no esté acotada inferiormente, lo que daría lugar a partículas inestables. Este problema de interpretación que también lo presentaba la ecuación de Dirac, hasta que se presentó la interpretación de las energías negativas como antipartículas.
• La densidad de probabilidad asociada a esta función de onda no es definida positiva, por lo que el cuadrado del módulo del campo de Klein-Gordon, a diferencia de lo que sucede con una función de onda ordinaria no puede ser interpretado como una probabilidad. La "densidad" conservada en la evolución temporal es:

${\displaystyle \rho =\frac{i\hslash e}{2m{c}^2}\left({\varphi }^{\ast }\frac{\mathrm{\partial }\varphi }{\mathrm{\partial }t}-\varphi \frac{\mathrm{\partial }{\varphi }^{\ast }}{\mathrm{\partial }t}\right)}$

Que puede ser negativa, por lo que no admitía una interpretación en términos de probabilidades positivas. Esa última fue la razón del abandono de la ecuación de Klein-Gordon como ecuación viable dentro de la mecánica cuántica para describir partículas cuánticas relativistas.

• Aunque la ecuación de Klein-Gordon predice correctamente el desdoblamiento observado de los niveles energéticos de los átomos hidrogenoides 2s y 2p, lográndose un mejor acuerdo cualitativo, el acuerdo cuantitativo no es bueno. El cálculo mediante la ecuación de Klein-Gordon predice que los niveles energéticos ${\displaystyle E_{nl}}$ del átomo hidrogenoide son:

${\displaystyle E_{nl}=-\frac{R\hslash Z^2}{n^2}\left[1+\frac{{\alpha }^2{Z}^2}{n^2}\left(\frac{n}{l+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4}\right)+\dots \right]}$

El primer término de la expresión anterior coincide con el predicho por la ecuación de Schrödinger, pero el segundo es unas tres veces más grandes que el valor observado, y correctamente predicho por la ecuación de Dirac.

• Finalmente, la ecuación de Klein-Gordon tampoco tiene en cuenta adecuadamente el spin de ciertas partículas, por lo que no podía representar adecuadamente partículas como los electrones que tienen espín 1/2.

La ecuación K-G en teoría cuántica de campos

En teoría cuántica de campos el objeto fundamental no es la función de onda sino el propio estado físico del vacío o espacio-tiempo. Los campos físicos y las partículas materiales se conciben en este enfoque como operadores autoadjuntos definidos sobre el conjunto de estados del espacio-tiempo. La presencia de campo en una determinada región del espacio-tiempo comporta que en él existe un operador autoadjunto asociado campo de esa región. En ese nuevo enfoque la variable el operador cuántico asociado a la variable ${\displaystyle \varphi }$ es un campo, que no necesita dar lugar a una densidad de probabilidad positiva. De hecho en el formalismo de la mecánica cuántica de campos el campo de Klein-Gordon describe un tipo de campo que tratado mediante la cuantización canónica describe un campo escalar con carga eléctrica de spin 0 (bosón), por ejemplo, los mesones π pueden ser descritos mediante la ecuación K-G. Para describir campos de spin 1/2 se utiliza la ecuación de Dirac.

La descripción de un campo en teoría cuántica de campos parte de una cierta densidad lagrangiana que a partir del principio de mínima acción proporciona la ecuación de movimiento que define su evolución temporal. La densidad de Lagrangiano de la que se deriva la ecuación de Klein-Gordon variando la acción o mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange es

${\displaystyle \mathcal{L}=\frac{1}{2}{\mathrm{\partial }}_{\mu }\varphi {\mathrm{\partial }}^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{\mu }^2{\varphi }^2}$

Donde el campo es real. En este caso la partícula que surge como excitación de este campo no tiene carga y su antipartícula es ella misma. Para describir una partícula escalar con carga, y a su antipartícula, la densidad lagrangiana se toma como:

${\displaystyle \mathcal{L}=\frac{1}{2}{\mathrm{\partial }}_{\mu }\varphi {\mathrm{\partial }}^{\mu }{\varphi }^{\ast }-\frac{1}{2}{\mu }^2{\varphi }^{\ast }\varphi }$

Se obtiene entonces una ecuación de Klein-Gordon para ${\displaystyle \varphi }$ y otra para su complejo conjugado ${\displaystyle {\varphi }^{\ast }}$.

Solución general

Para un campo de Klein-Gordon libre sin autointeracción, se puede hacer un desarrollo en ondas planas y la solución general para un campo real de Klein-Gordon es entonces

${\displaystyle \hat{\varphi }\left(\mathbf{x},t\right)=\int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}\left({\hat{a}}_{\mathbf{p}}{e}^{-\frac{i}{\hslash }{E}_{\mathbf{p}}t}{e}^{\frac{i}{\hslash }\mathbf{p}\mathbf{x}}+{\hat{a}}_{\mathbf{p}}^{†}{e}^{\frac{i}{\hslash }{E}_{\mathbf{p}}t}{e}^{-\frac{i}{\hslash }\mathbf{p}\mathbf{x}}\right)}$

Estando relacionada la energía con la masa y el trimomento mediante la relación de dispersión

${\displaystyle E_{\mathbf{p}}^2={\mathbf{p}}^2{c}^2+m^2{c}^4}$

Donde y son los coeficientes del desarrollo, y una vez efectuada la segunda cuantización se convierten en operadores de creación y destrucción de las partículas bosónicas del campo, que de hecho son formalmente similares a los operadores creación y destrucción que intervienen en el oscilador armónico cuántico. Es entonces cuando se pone de manifiesto el carácter bosónico de la ecuación de Klein-Gordon, y se puede hacer la interpretación del campo como un conjunto de infinitos osciladores armónicos cuánticos desacoplados.