EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 

Evolución temporal de una solución de la ecuación de Fokker-Planck.

En mecánica estadística, la ecuación de Fokker–Planck es una ecuación diferencial parcial que describe la evolución temporal de la función de densidad de probabilidad de la velocidad de una partícula bajo la influencia de fuerzas de arrastre y fuerzas aleatorias, como en el movimiento browniano. La ecuación también puede generalizarse a otro tipo de variables.^[1] La ecuación se aplica a sistemas que pueden ser descritos por un pequeño número de "macrovariables", donde otros parámetros varían tan rápidamente con el tiempo que pueden ser tratados como "ruido" o una perturbación.

Fue nombrada en reconocimiento de Adriaan Fokker^[2] y Max Planck,^[3] y también es conocida como ecuación avanzada de Kolmogórov (difusión) (por Andréi Kolmogórov, que la introdujo por primera vez en un artículo de 1931^[4]). Cuando se aplica a distribuciones de posición de partículas, es más conocida como ecuación de Smoluchowski. El caso de la difusión cero es conocido en mecánica estadística como ecuación de Liouville.

La primera derivación consistente de la ecuación de Fokker-Planck en el esquema sencillo de la mecánica clásica y cuántica fue realizado^[5] por los soviéticos Nikolay Bogoliubov y Nikolay Krylov.^[6]

Historia

El primer uso de la ecuación de Fokker-Planck fue la descripción estadística del movimiento browniano de una partícula en el seno de un fluido. El movimiento browniano sigue la ecuación de Langevin, que puede resolverse para diferentes perturbaciones estocásticas, mediante resultados promediados. Sin embargo, como alternativa a este procedimiento, puede usarse la ecuación de Fokker-Planck y considerar una densidad de probabilidad en la velocidad y el tiempo, ${\displaystyle f(\mathbf{v},t)}$. Esta distribución de probabilidad dependiente del tiempo puede aún depender de un conjunto de N macrovariables ${\displaystyle x_i}$, de tal manera que el movimiento browniano en cuestión puede ser representado por una ecuación de Fokker-Planck de la forma:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }t}=-\sum _{i=1}^N\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}_i}\left[D_i^1(x_1,\dots ,x_N)f\right]+\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{x}_i\mathrm{\partial }{x}_j}\left[D_{ij}^2(x_1,\dots ,x_N)f\right]}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle D^1}$	Término de arrastre, que viene dado por un vector
${\displaystyle D^2}$	Término difusivo, que viene dado por una matriz

Relación con las ecuaciones diferenciales estocásticas

Véase también: ecuación diferencial estocástica

Dos soluciones estocásticas de la ecuación diferencial estocástica lineal de Itō, con diferentes parámetros: la línea azul presenta un arrastre mayor, mientras que la línea verde presenta una mayor varianza.

La ecuación de Fokker–Planck puede usarse para calcular la densidad de probabilidad asociada a una ecuación diferencial estocástica. Por ejemplo, a la ecuación diferencial de Itō:

${\displaystyle \mathrm{d}{\mathbf{X}}_t=\mathit{\mu }({\mathbf{X}}_t,t)\mathrm{d}t+\mathit{\sigma }({\mathbf{X}}_t,t)\mathrm{d}{\mathbf{W}}_t}$

Símbolo	Nombre	Fórmula
${\displaystyle {\mathbf{X}}_t}$	Estado del sistema	${\displaystyle {\mathbf{X}}_t\in {\mathbb{R}}^N}$
${\displaystyle {\mathbf{W}}_t}$	Caracteriza un proceso de Wiener estándar M-dimensional	${\displaystyle {\mathbf{W}}_t\in {\mathbb{R}}^M}$

Si la distribución inicial viene dada por ${\displaystyle {\mathbf{X}}_0\sim f(\mathbf{x},0)}$, entonces la densidad de probabilidad ${\displaystyle f(\mathbf{x},t)}$ del estado ${\displaystyle {\mathbf{X}}_t}$ viene dada por la ecuación de Fokker–Planck con el término de arrastre y el término de difusión dados por:

${\displaystyle D_i^1(\mathbf{x},t)={\mu }_i(\mathbf{x},t)D_{ij}^2(\mathbf{x},t)=\frac{1}{2}\sum _k{\sigma }_{ik}(\mathbf{x},t){\sigma }_{kj}^{\mathsf{T}}(\mathbf{x},t).}$

Ejemplos

Un proceso de Wiener escalar generado por la ecuación diferencia estocástica:

${\displaystyle \mathrm{d}{X}_t=\mathrm{d}{W}_t.}$

que tiene un término de arrastre nulo, un término y una matriz de difusión dada por el coeficiente 1/2, tiene una densidad de probabilidad dada por la siguiente ecuación de Fokker-Planck:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f(x,t)}{\mathrm{\partial }t}=\frac{1}{2}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f(x,t)}{\mathrm{\partial }{x}^2}}$

que resulta ser precisamente la forma más sencilla posible de la ley de Fick para la difusión.

Se conoce como fórmula de Bazin o expresión de Bazin, denominación adoptada en honor de Henri Bazin, a la definición, mediante ensayos de laboratorio, que permite determinar el coeficiente ${\displaystyle C}$ o coeficiente de Chézy que se utiliza en la determinación de la velocidad media en un canal abierto y, en consecuencia, permite calcular el caudal utilizando la fórmula de Chézy.^[1]

La formulación matemática es:

${\displaystyle C=\frac{87}{1+\frac{m}{\sqrt{R}}}}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle C}$	Coeficiente de Chézy
${\displaystyle m}$	Parámetro que depende de la rugosidad de la pared
${\displaystyle R}$	Radio hidráulico

La fórmula de Chézy, desarrollada por el ingeniero francés Antoine de Chézy, conocido internacionalmente por su contribución a la hidráulica de los canales abiertos, es la primera fórmula de fricción que se conoce. Fue presentada en 1769. La fórmula permite obtener la velocidad media en la sección de un canal y establece que:

${\displaystyle V=C\sqrt{R\cdot S}}$

Símbolo	Nombre	Unidad
${\displaystyle V}$	Velocidad media del agua	m/s
${\displaystyle C}$	Coeficiente de Chézy. Una de las posibles formulaciones de este coeficiente se debe a Bazin
${\displaystyle R}$	Radio hidráulico	m
${\displaystyle S}$	Pendiente longitudinal de la solera o fondo del canal	m/m

La fórmula de Kutter es una expresión del denominado coeficiente de Chézy ${\displaystyle C}$ utilizado en la fórmula de Chézy para el cálculo de la velocidad del agua en canales abiertos:

La expresión más común de la fórmula de Kutter es:

${\displaystyle C=\frac{100}{1+\frac{m}{\sqrt{R(h)}}}}$

Símbolo	Nombre	Unidad	Fórmula
${\displaystyle C}$	Coeficiente de Chézy		${\displaystyle V(h)=C\sqrt{R(h)\ast J}}$
${\displaystyle m}$	Parámetro que depende de la rugosidad de la pared
${\displaystyle R(h)}$	Radio hidráulico, en m, función del tirante hidráulico h
${\displaystyle V(h)}$	Velocidad media del agua. Es función del tirante hidráulico (${\displaystyle h}$)	m / s
${\displaystyle J}$	Pendiente de la línea de agua	m / m