EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 En matemáticas y en física, las relaciones de Kramers-Kronig describen la relación que existe entre la parte real y la parte imaginaria de ciertas funciones complejas. La condición para que se apliquen a una función es que esta debe representar la transformada de Fourier de un proceso físico lineal y causal. Si escribimos

${\displaystyle f(\omega )=f_1(\omega )+i{f}_2(\omega )}$,

con ${\displaystyle f_1}$ y ${\displaystyle f_2}$ dos funciones reales, entonces las relaciones de Kramers-Kronig son

${\displaystyle f_1(\omega )=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Omega }{f}_2(\mathrm{\Omega })}{{\omega }^2-{\mathrm{\Omega }}^2}d\mathrm{\Omega }}$

${\displaystyle f_2(\omega )=-\frac{2\omega }{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{f_1(\mathrm{\Omega })}{{\omega }^2-{\mathrm{\Omega }}^2}d\mathrm{\Omega }}$.

Las relaciones de Kramers-Kronig están relacionadas con la transformada de Hilbert, y son frecuentemente aplicadas a la permitividad ${\displaystyle ϵ(\omega )}$ de los materiales. Sin embargo, en este caso, hay que tener en cuenta que:

${\displaystyle f(\omega )=\chi (\omega )=ϵ(\omega )/{ϵ}_0-1}$,

con ${\displaystyle \chi (\omega )}$ la susceptibilidad eléctrica del material. La susceptibilidad puede interpretarse como la transformada de Fourier de la respuesta temporal del material a una excitación infinitamente breve, es decir, su respuesta al impulso.

Impacto de una gota sobre el Agua

La resonancia de Minnaert^[1] es una frecuencia de resonancia acústica producida por una única burbuja en un dominio infinito de agua (sin contar con los efectos de la tensión superficial ni la atenuación de viscosidad).

Debe su nombre al astrónomo belga Marcel Minnaert.

Formulación

La frecuencia de resonancia se obtiene con la fórmula

${\displaystyle f=\frac{1}{2\pi a}{\left(\frac{3\gamma p_A}{\rho }\right)}^{1/2}}$

donde ${\displaystyle a}$ es el radio de la burbuja, ${\displaystyle \gamma }$ es el coeficiente politrópico, ${\displaystyle p_A}$ es la presión ambiental y ${\displaystyle \rho }$ es la densidad del agua. Esta fórmula también se puede utilizar para encontrar la frecuencia de resonancia de una burbuja de una nube con ${\displaystyle a}$ como radio de la nube y ${\displaystyle \rho }$ la diferencia entre la densidad del agua y la masa de la nube. Para una burbuja en el agua a una presión estándar ${\displaystyle (p_A=100\mathrm{k}\mathrm{P}\mathrm{a},\rho =1000\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^3)}$, esta ecuación se reduce a

${\displaystyle fa\approx 3.26\mathrm{m}/\mathrm{s}}$

donde ${\displaystyle f}$ es la frecuencia de resonancia de la burbuja.

Las ondas de Rossby barotrópicas, denominadas así por Carl-Gustaf Rossby que las identificó en 1939, son oscilaciones que se producen en los fluidos geofísicos (océano y atmósfera) y que tienen su origen en el principio de conservación de la vorticidad potencial.^[1] La propagación de la fase de las ondas de Rossby es siempre hacia el oeste aun cuando la energía (velocidad de grupo) puede ser hacia el este (ondas cortas) o el oeste (ondas largas). Las ondas de Rossby se conocen también en geofísica como ondas planetarias.

Estas ondas están relacionadas con sistemas de presión (diferencias de presión en la superficie del océano) y corrientes en chorro.^[2] Las ondas de Rossby oceánicas se desplazan por la  termoclina, la frontera entre la capa superior templada y la parte fría profunda del océano.

Tipos de ondas Rossby

Ondas atmosféricas

Meandros en corrientes de chorro en el hemisferio norte desarrollándose (a, b) y finalmente desprendiendo una "gota" de aire frío (c). En color naranja: masas más cálidas de aire; rosado: corriente de chorro; azul: masas de aire frío.

Las ondas atmosféricas de Rossby resultan de la conservación de la vorticidad potencial y están influidas por el efecto Coriolis y el gradiente de presión. La rotación hace que los fluidos giren hacia la derecha mientras se mueven en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Por ejemplo, un fluido que se mueve desde el ecuador hacia el polo norte se desviará hacia el este; un fluido que se mueve hacia el ecuador desde el norte se desviará hacia el oeste. Estas desviaciones son causadas por la fuerza de Coriolis y la conservación de la vorticidad potencial que conduce a cambios de vorticidad relativa. Esto es análogo a la conservación del momento angular en mecánica. En atmósferas planetarias, incluida la Tierra, las ondas de Rossby se deben a la variación del efecto Coriolis con la latitud. Carl-Gustaf Arvid Rossby identificó por primera vez tales ondas en la atmósfera de la Tierra en 1939 y explicó su movimiento.

Una onda de Rossby terrestre se identifica ya que su velocidad de fase, marcada por su cresta de onda, siempre tiene un componente hacia el oeste. Sin embargo, el conjunto de ondas de Rossby recopiladas puede parecer moverse en cualquier dirección con lo que se conoce como su velocidad de grupo. En general, las ondas más cortas tienen una velocidad de grupo hacia el este y las ondas largas una velocidad de grupo hacia el oeste.

Los términos "barotrópico" y "baroclínico" se utilizan para distinguir la estructura vertical de las ondas de Rossby. Las ondas barotrópicas de Rossby no varían en la vertical y tienen las velocidades de propagación más rápidas. Los modos de onda baroclínica, por otro lado, varían en la vertical. También son más lentas, con velocidades de solo unos pocos centímetros por segundo o menos.^[3]

La mayoría de las investigaciones de las ondas de Rossby se han realizado en las ondas que se producen en la atmósfera de la Tierra. Las ondas de Rossby en la atmósfera de la Tierra son fáciles de observar como (generalmente 4-6) meandros a gran escala de la corriente en chorro. Cuando estas desviaciones se vuelven muy pronunciadas, las masas de aire frío o cálido se desprenden, y se convierten en ciclones y anticiclones de baja resistencia, respectivamente, y son responsables de los patrones climáticos diarios en las latitudes medias. La acción de las olas de Rossby explica en parte por qué los bordes continentales orientales en el hemisferio norte, como el noreste de Estados Unidos y el este de Canadá, son más fríos que Europa occidental en las mismas latitudes.

Ondas oceánicas

Las ondas y olas oceánicas de Rossby son ondas a gran escala dentro de una cuenca oceánica. Tienen una amplitud baja, del orden de centímetros (en la superficie) a metros (en la termoclina), en comparación con las ondas atmosféricas de Rossby que están en el orden de cientos de kilómetros. Pueden tomar meses para cruzar una cuenca oceánica. Ganan impulso por la fuerza del viento en la capa superficial del océano y se cree que comunican los cambios climáticos debido a la variabilidad en el forzamiento, debido tanto al viento como a la flotabilidad. Tanto las ondas barotrópicas como las baroclínicas causan variaciones en la altura de la superficie del mar, aunque la longitud de las olas las hace difíciles de detectar hasta el advenimiento de la altimetría satelital. Las observaciones satelitales han confirmado la existencia de ondas oceánicas de Rossby.^[4]

Las ondas baroclínicas también generan desplazamientos significativos de la termoclina oceánica, a menudo de decenas de metros. Las observaciones satelitales han revelado la progresión majestuosa de las ondas de Rossby en todas las cuencas oceánicas, particularmente en las latitudes bajas y medias. Estas olas pueden tomar meses o incluso años para cruzar una cuenca como el Pacífico.

Se ha sugerido que las ondas de Rossby son un mecanismo importante para explicar el calentamiento del océano sub-superficial en Europa, una luna de Júpiter.^[5]

Explicación analítica

El sistema físico más simple que muestra oscilaciones del tipo de Rossby consiste en considerar una atmósfera no divergente, sin fricción y en bajo la aproximación del plano beta (${\displaystyle f=f_0+\beta y}$). Dado que el flujo es no divergente, se puede escribir una ecuación para la perturbación de la función corriente (${\displaystyle \psi }$),

${\displaystyle \frac{D}{Dt}{\mathrm{\nabla }}^2{\psi }^{\prime }+\beta \frac{\mathrm{\partial }{\psi }^{\prime }}{\mathrm{\partial }x}=0}$

Cuando se sustituye en la ecuación con perturbaciones de la forma ${\displaystyle \psi \sim e^{i(kx+ly-\omega t)}}$, la relación de dispersión de las onda se escribe como,

${\displaystyle c_x=\frac{\omega }{k}=\overline{u}-\frac{\beta }{k^2+l^2}}$

donde queda de manifiesto la propagación de la fase hacia el oeste respecto del flujo medio ${\displaystyle \overline{u}}$.

El ruido de Johnson–Nyquist (ruido térmico, ruido de Johnson, o ruido de Nyquist) se genera por la agitación térmica de los portadores de carga (generalmente electrones dentro de un conductor) en equilibrio, lo que sucede de manera independiente al voltaje aplicado.

El ruido térmico es aproximadamente blanco, lo que significa que su densidad espectral de potencia es casi plana. Además, la amplitud de la señal sigue una distribución gaussiana.^[1]

Historia

Este tipo de ruido fue medido por primera vez por John B. Johnson en 1928 en los Bell Labs.^[2] Comunicó su hallazgo a su compañero Harry Nyquist, que elaboró la explicación técnica del fenómeno.^[3]

Ruido de tensión y potencia

El ruido térmico es diferente del ruido de disparo, que tiene lugar cuando el número finito de electrones es suficientemente pequeño para dar lugar a la aparición de fluctuaciones estadísticas apreciables en una medición. La definición de ruido de Johnson-Nyquist aplica a cualquier tipo de medio conductor. Puede modelarse como una fuente de tensión que representa el ruido de una resistencia no ideal en serie con una resistencia libre de ruido.

Para frecuencias menores a 100 GHz y temperaturas mayores a 100 K, la densidad espectral de potencia viene dada por:

${\displaystyle \overline{v_n^2}=4k_{B}TR}$

donde k_B es la constante de Boltzmann en julios por kelvin, T es la temperatura de la resistencia en kelvin, y R su valor en Ohmios (Ω). La siguiente ecuación proporciona un cálculo rápido para una temperatura de 300 kelvin:

${\displaystyle \sqrt{\overline{v_n^2}}=0.13\sqrt{R}\mathrm{n}\mathrm{V}/\sqrt{\mathrm{H}\mathrm{z}}}$.

Por ejemplo, una resistencia de 1 kΩ a 300 K tiene

${\displaystyle \sqrt{\overline{v_n^2}}=\sqrt{4\cdot 1.38\cdot {10}^{-23}\mathrm{J}/\mathrm{K}\cdot 300\mathrm{K}\cdot 1\mathrm{k}\mathrm{\Omega }}=4.07\mathrm{n}\mathrm{V}/\sqrt{\mathrm{H}\mathrm{z}}}$.

Para un ancho de banda dado, el valor cuadrático medio (RMS) de la tensión, ${\displaystyle v_n}$, vale

${\displaystyle v_n=\sqrt{\overline{v_n^2}}\sqrt{\mathrm{\Delta }f}=\sqrt{4k_{B}TR\mathrm{\Delta }f}}$

donde Δf es el ancho de banda sobre el que se mide el ruido. Para una resistencia de 1 kΩ a temperatura ambiente y 10 kHz de ancho de banda, el valor cuadrático medio de la tensión de ruido en 400 nV.^[4] Una regla sencilla para recordar es que 50Ω sobre un ancho de banda de 1Hz corresponden a 1nV a temperatura ambiente.

Una resistencia en cortocircuito, disipa una potencia de ruido:

${\displaystyle P=v_n^2/R=4k_{B}T\mathrm{\Delta }f}$

El ruido generado en la resistencia puede transferirse al resto del circuito, siendo máximo el valor de transferencia cuando la impedancia del equivalente de Thévenin de este iguala el valor de la resistencia. En esta caso, cada una de las dos resistencias disipa ruido tanto sobre sí misma como sobre la otra. Puesto que solo la mitad de la tensión de ruido cae en cada una de ellas, la potencia de ruido resultante es:

${\displaystyle P=k_{B}T\mathrm{\Delta }f}$

donde P es la potencia del ruido térmico en vatios. Nótese que es independiente del valor de la resistencia.

Ruido en decibelios

En telecomunicaciones, la potencia se suele expresar en decibelios relativos a 1 milivatio (dBm), suponiendo una carga de 50 ohmios. Bajo estas condiciones, a temperatura ambiente el ruido vale:

${\displaystyle P_{\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}}=-174+10\log (\mathrm{\Delta }f)}$

donde P viene expresada en dBm. Por ejemplo:

Ancho de banda	Potencia	Notas
1 Hz	−174 dBm
10 Hz	−164 dBm
1000 Hz	−144 dBm
10 kHz	−134 dBm	canal de walkie-talkie
1 MHz	−114 dBm
2 MHz	−111 dBm	Canal GPS
6 MHz	−106 dBm	Televisión analógica
20 MHz	−101 dBm	WLAN 802.11

La cantidad real de ruido térmico captada por un receptor de radio de 50 Ω de impedancia de entrada, conectado a una antena de 50 Ω se escala según la cifra de ruido (NF), tal como sigue:

${\displaystyle P_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}}(dB)=P_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}}(dB)+10{\log }_{10}({10}^{NF/10}-1)}$

o

${\displaystyle P_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}}=P_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}}({10}^{NF/10}-1)}$

P_{receivernoise} es el ruido generado por el propio receptor. P_{resistornoise} es el valor de ruido térmico para una resistencia según la tabla anterior. NF se expresa en dB. Diez elevado a NF/10 se denomina factor de ruido. El factor de ruido se define de esta forma, porque se mide conectando una resistencia a la entrada del receptor y comparando la potencia de ruido con la esperada si el ruido del receptor fuese simplemente amplificado por la ganancia del receptor. Nótese que la resistencia de radiación de la antena no convierte energía en calor, sólo en radiación electromagnética y por tanto no es una fuente de ruido térmico.

Ruido de corriente

La fuente de corriente puede modelarse también según el teorema de Norton y su valor corresponde entonces a dividir por R. Esto proporciona el valor cuadrático medio de la fuente de corriente:

${\displaystyle i_n=\sqrt{\frac{4k_{B}T\mathrm{\Delta }f}{R}}}$

El ruido térmico es intrínseco a todas las resistencias y no un síntoma de fabricación deficiente, aunque algunas resistencias pueden ser ruidosas en exceso.

Ruido térmico en los condensadores

El ruido térmico en un circuito RC tiene una expresión sencilla, pues el valor de la resistencia (R) desaparece de la ecuación. El ancho de banda del circuito RC es 1 / (4 R C),^[5] que puede sustituirse en la fórmula general para eliminar R.^[6]

${\displaystyle \overline{v_n^2}=k_{B}T/C}$

${\displaystyle v_n=\sqrt{k_{B}T/C}}$

Ruido en condensadores a 300 K

Capacidad	${\displaystyle \sqrt{k_{B}T/C}}$	Electrones
1 fF	2 mV	12.5 e–
10 fF	640 µV	40 e–
100 fF	200 µV	125 e–
1 pF	64 µV	400 e–
10 pF	20 µV	1250 e–
100 pF	6.4 µV	4000 e–
1 nF	2 µV	12500 e–

Ruido a frecuencias muy altas

Las ecuaciones anteriores son una buena aproximación para frecuencias de radio inferiores a los 80 Gigahercios. En el caso más general, que incluye hasta las frecuencias ópticas, la densidad espectral de potencia del voltaje en R, en ${\displaystyle {\mathrm{V}}^2/\mathrm{H}\mathrm{z}}$ viene dado por:

${\displaystyle \mathrm{\Phi }(f)=\frac{2Rhf}{e^{\frac{hf}{k_{B}T}}-1}}$

donde f es la frecuencia, h la constante de Planck, k_B la constante de Boltzmann y T la temperatura en kelvin.

Si la frecuencia es baja:

${\displaystyle f\ll \frac{k_{B}T}{h}}$

(esa suposición es válida hasta unos pocos Terahercios) la exponencial puede aproximarse por serie de Taylor. La relación entonces se convierte en:

${\displaystyle \mathrm{\Phi }(f)\approx 2R{k}_{B}T}$

En general, R y T dependen de la frecuencia. Para conocer el ruido total basta integrar sobre el ancho de banda. Al tratarse de una señal real, puede integrarse sobre el rango positivo y multiplicar por 2. Suponiendo que R y T sean constantes en todo el ancho de banda${\displaystyle \mathrm{\Delta }f}$, entonces el valor cuadrático medio (RMS) del voltaje en la resistencia debido al ruido térmico es:

${\displaystyle v_n=\sqrt{4k_{B}TR\mathrm{\Delta }f}}$

es decir, la misma fórmula obtenida anteriormente.