EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 

Isoterma de Langmuir.

La ecuación de Langmuir o isoterma de Langmuir o ecuación de adsorción de Langmuir relaciona la adsorción de moléculas en una superficie sólida con la presión de gas o concentración de un medio que se encuentre encima de la superficie sólida a una temperatura constante.

Es una ecuación mucho más exacta para las isotermas de adsorción del tipo 1.

Historia

La ecuación fue determinada por Irving Langmuir por concentraciones teóricas en 1916. Para ello postuló que:

"Los gases, al ser adsorbidos por la superficie del sólido, forman únicamente una capa de espesor mono-molecular".

Además, visualizó que el proceso de adsorción consta de dos acciones opuestas, una de condensación de las moléculas de la fase de gas sobre la superficie, y una de evaporación de las situadas en la superficie hacia el gas. Cuando principia la adsorción, cada molécula que colisiona con la superficie puede condensarse en ella, pero al proseguir esta acción, cabe esperar que resulten adsorbidas aquellas moléculas que inciden en alguna parte de la superficie no cubierta todavía, pero además una molécula es capaz de liberarse por la agitación térmica escapándose hacia el gas. Cuando las velocidades de condensación y de liberación se hacen iguales entonces se establece el equilibrio.

Simbología

Simbología

Símbolo	Nombre
${\displaystyle \theta }$	Fracción de cobertura de la superficie
${\displaystyle V}$	Volumen del gas adsorbido por el sólido
${\displaystyle V_m}$	Volumen de moléculas monocapa de gas que cubren toda la superficie del sólido y completamente ocupado por el adsorbente
${\displaystyle \alpha }$	Constante de adsorción de Langmuir. Es mayor cuanto mayor sea la energía de ligadura de la adsorción y cuanto menor sea la temperatura.[1]
${\displaystyle P}$	Presión parcial del adsorbente

Descripción

La expresión de la ecuación es la siguiente:

${\displaystyle \theta =\frac{V}{V_m}=\frac{\alpha P}{1+\alpha P}}$

En física matemática, más específicamente en el problema de dispersión inversa unidimensional, la ecuación de Marchenko (o ecuación de Gelfand-Levitan-Marchenko o ecuación GLM), llamada así por Izrail Guelfand, Boris Levitan y Vladímir Márchenko, se obtiene calculando la transformada de Fourier de la relación de dispersión:

${\displaystyle K(r,r^{\mathrm{\prime }})+g(r,r^{\mathrm{\prime }})+{\int }_r^{\mathrm{\infty }}K(r,r^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})g(r^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }},r^{\mathrm{\prime }})\mathrm{d}{r}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=0}$

Donde ${\displaystyle g(r,r^{\mathrm{\prime }})}$ es un núcleo simétrico, tal que ${\displaystyle g(r,r^{\mathrm{\prime }})=g(r^{\mathrm{\prime }},r),}$ que se calcula a partir de los datos de dispersión. Al resolver la ecuación de Marchenko, se obtiene el núcleo del operador de transformación ${\displaystyle K(r,r^{\mathrm{\prime }})}$ de donde se puede leer el potencial. Esta ecuación se deriva de la ecuación integral de Gelfand-Levitan, utilizando la representación de Povzner-Levitan.

La teoría balística de Ritz fue propuesta en 1908 por el físico suizo Walther Ritz, cuando se publicó "Recherches critiques sur l'Électrodynamique générale",^[1][2] una extensa crítica de la teoría electromagnética de Maxwell-Lorentz en la que sostenía que la conexión de la teoría con el éter (véase teoría del éter de Lorentz) hacía "esencialmente inapropiada la expresión de las leyes integrales de la propagación de las acciones electrodinámicas".

Ritz propuso una nueva ecuación, derivada de los principios de la teoría balística de las ondas electromagnéticas, una teoría que competía con la teoría de la relatividad especial. La ecuación relaciona la fuerza entre dos partículas cargadas con separación radial r, velocidad relativa v y aceleración relativa a, donde k es un parámetro indeterminado de la forma general de la ley de la fuerza de Ampère propuesta por Maxwell. La ecuación obedece la tercera ley de Newton y forma la base de la electrodinámica de Ritz:

${\displaystyle \mathbf{F}=\frac{q_1{q}_2}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}\left[\left[1+\frac{3-k}{4}{\left(\frac{v}{c}\right)}^2-\frac{3(1-k)}{4}{\left(\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{r}}{c^2}\right)}^2-\frac{r}{2c^2}(\mathbf{a}\cdot \mathbf{r})\right]\frac{\mathbf{r}}{r}-\frac{k+1}{2c^2}(\mathbf{v}\cdot \mathbf{r})\mathbf{v}-\frac{r}{c^2}(\mathbf{a})\right]}$

Deducción de la ecuación de Ritz

Bajo el supuesto de una teoría de emisión, la fuerza que actúa entre dos cargas en movimiento debería depender de la densidad de las partículas mensajeras emitidas por las cargas (${\displaystyle D}$), la distancia radial entre las cargas (ρ), la velocidad de la emisión relativa al receptor, (${\displaystyle U_x}$ y ${\displaystyle U_r}$ para las componentes x y r, respectivamente), y la aceleración de las partículas entre sí (${\displaystyle a_x}$). Esto genera una ecuación de la forma:^[3]

${\displaystyle F_x=eD\left[A_{1}cos(\rho x)+B_1\frac{U_x{U}_r}{c^2}+C_1\frac{\rho a_x}{c^2}\right]}$.

donde los coeficientes ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$ y ${\displaystyle C_1}$ son independientes del sistema de coordenadas y son funciones de ${\displaystyle u^2/c^2}$ y ${\displaystyle u_{\rho }^2/c^2}$. Las coordenadas estacionarias del observador se relacionan con el marco móvil de la carga de la siguiente manera:

${\displaystyle X+x(t^{\prime })=X^{\prime }+x^{\prime }(t^{\prime })-(t-t^{\prime })v_x^{\prime }}$

Desarrollando los términos en la ecuación de fuerza, se tiene que la densidad de partículas está dada por:

${\displaystyle D\alpha \frac{d{t}^{\prime }{e}^{\prime }dS}{{\rho }^2}=-\frac{e^{\prime }\mathrm{\partial }\rho }{c{\rho }^2\mathrm{\partial }n}dSdn}$

El plano tangente de la capa de partículas emitidas en la coordenada estacionaria viene dado por el jacobiano de la transformación de ${\displaystyle X^{\prime }}$ a ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\rho }{\mathrm{\partial }n}=\frac{\mathrm{\partial }(XYZ)}{\mathrm{\partial }(X^{\prime }{Y}^{\prime }{Z}^{\prime })}=\frac{a{e}^{\prime }}{{\rho }^2}\left(1+\frac{\rho a_{\rho }^{\prime }}{c^2}\right)}$

También se pueden desarrollar expresiones para el radio ${\displaystyle \rho }$ y la velocidad utilizando la expansión en series de Taylor

${\displaystyle \rho =r{\left(1+\frac{r{a}_r^{\prime }}{c^2}\right)}^{1/2}}$

${\displaystyle {\rho }_x=r_x+\frac{r^2{a}_x^{\prime }}{2c^2}}$

${\displaystyle U_{\rho }=v_r-v_r^{\prime }+\frac{r{a}_r^{\prime }}{c}}$

Con estas sustituciones, la ecuación de fuerza ahora es

${\displaystyle F_x=\frac{e{e}^{\prime }}{r^2}\left(1+\frac{r{a}_r^{\prime }}{c^2}\right)\left[Acos(rx)\left(1-\frac{3r{a}_r^{\prime }}{2c^2}\right)+A\left(\frac{r{a}_x^{\prime }}{2c^2}\right)-B\left(\frac{u_x{u}_r}{c^2}\right)-C\left(\frac{r{a}_x^{\prime }}{c^2}\right)\right]}$

A continuación se desarrollan las representaciones en serie de los coeficientes

${\displaystyle A={\alpha }_0+{\alpha }_1\frac{u^2}{c^2}+{\alpha }_2\frac{u_r^2}{c^2}+...}$

${\displaystyle B={\beta }_0+{\beta }_1\frac{u^2}{c^2}+{\beta }_2\frac{u_r^2}{c^2}+...}$

${\displaystyle C={\gamma }_0+{\gamma }_1\frac{u^2}{c^2}+{\gamma }_2\frac{u_r^2}{c^2}+...}$

Con estas sustituciones, la ecuación de fuerza se convierte en

${\displaystyle F_x=\frac{e{e}^{\prime }}{r^2}\left[\left({\alpha }_0+{\alpha }_1\frac{u_x^2}{c^2}+{\alpha }_2\frac{u_r^2}{c^2}\right)cos(rx)-{\beta }_0\frac{u_x{u}_r}{c^2}-{\alpha }_0\frac{r{a}_r^{\prime }}{2c^2}+\left(\frac{r{a}_x^{\prime }}{2c^2}\right)({\alpha }_0-2{\gamma }_0)\right]}$

Dado que la ecuación debe reducirse a la ley de fuerza de Coulomb cuando las velocidades relativas son cero, inmediatamente se sabe que ${\displaystyle {\alpha }_0=1}$. Además, para obtener la expresión correcta de la masa electromagnética, se puede deducir que ${\displaystyle 2{\gamma }_0-1=1}$ o ${\displaystyle {\gamma }_0=1}$.

Para determinar los otros coeficientes, se considera la fuerza en un circuito lineal usando la expresión de Ritz y se comparan los términos con la ley de la fuerza de Ampère. La segunda derivada de la ecuación de Ritz es

${\displaystyle d^2{F}_x=\sum _{i,j}\frac{d{e}_{i}d{e}_j^{\prime }}{r^2}\left[\left(1+{\alpha }_1\frac{u_x^2}{c^2}+{\alpha }_2\frac{u_r^2}{c^2}\right)cos(rx)-{\beta }_0\frac{u_x{u}_r}{c^2}-{\alpha }_0\frac{r{a}_r^{\prime }}{2c^2}+\frac{r{a}_x^{\prime }}{2c^2}\right]}$

Diagrama de elementos de circuitos lineales

Considérese el diagrama de la derecha y obsérvese que ${\displaystyle dqv=Idl}$,

${\displaystyle \sum _{i,j}d{e}_{i}d{e}_j^{\prime }=0}$

${\displaystyle \sum _{i,j}d{e}_{i}d{e}_j^{\prime }{u}_x^2=-2dqd{q}^{\prime }{w}_x{w}_x^{\prime }}$

${\displaystyle =-2I{I}^{\prime }dsd{s}^{\prime }cosϵ}$

${\displaystyle \sum _{i,j}d{e}_{i}d{e}_j^{\prime }{u}_r^2=-2dqd{q}^{\prime }{w}_r{w}_r^{\prime }}$

${\displaystyle =-2I{I}^{\prime }dsd{s}^{\prime }cos(rds)cos(rds)}$

${\displaystyle \sum _{i,j}d{e}_{i}d{e}_j^{\prime }{u}_x{u}_r=-dqd{q}^{\prime }(w_x{w}_r^{\prime }+w_x^{\prime }{w}_r)}$

${\displaystyle =-I{I}^{\prime }dsd{s}^{\prime }\left[cos(xds)cos(rds)+cos(rds)cos(xd{s}^{\prime })\right]}$

${\displaystyle \sum _{i,j}d{e}_{i}d{e}_j^{\prime }{a}_r^{\prime }=0}$

${\displaystyle \sum _{i,j}d{e}_{i}d{e}_j^{\prime }{a}_x^{\prime }=0}$

Reemplazando estas expresiones en la ecuación de Ritz, se obtiene lo siguiente

${\displaystyle d^2{F}_x=\frac{I{I}^{\prime }dsd{s}^{\prime }}{r^2}\left[\left[2{\alpha }_{1}cosϵ+2{\alpha }_{2}cos(rds)cos(rd{s}^{\prime })\right]cos(rx)-{\beta }_{0}cos(rd{s}^{\prime })cos(xds)-{\beta }_{0}cos(rds)cos(xd{s}^{\prime })\right]}$

Comparando con la expresión original para la ley de la fuerza de Ampère

${\displaystyle d^2{F}_x=-\frac{I{I}^{\prime }dsd{s}^{\prime }}{2r^2}\left[\left[(3-k)cosϵ-3(1-k)cos(rds)cos(rd{s}^{\prime })\right]cos(rx)-(1+k)cos(rd{s}^{\prime })cos(xds)-(1+k)cos(rds)cos(xd{s}^{\prime })\right]}$

se obtienen los coeficientes en la ecuación de Ritz

${\displaystyle {\alpha }_1=\frac{3-k}{4}}$

${\displaystyle {\alpha }_2=-\frac{3(1-k)}{4}}$

${\displaystyle {\beta }_0=\frac{1+k}{2}}$

y de aquí se deduce la expresión completa de la ecuación electrodinámica de Ritz con una incógnita

${\displaystyle \mathbf{F}=\frac{q_1{q}_2}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}\left[\left[1+\frac{3-k}{4}{\left(\frac{v}{c}\right)}^2-\frac{3(1-k)}{4}{\left(\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{r}}{c^2}\right)}^2-\frac{r}{2c^2}(\mathbf{a}\cdot \mathbf{r})\right]\frac{\mathbf{r}}{r}-\frac{k+1}{2c^2}(\mathbf{v}\cdot \mathbf{r})\mathbf{v}-\frac{r}{c^2}(\mathbf{a})\right]}$

En una nota al pie al final de la sección de Ritz sobre gravedad (en la traducción al inglés^[4]), el editor dice: "Ritz usó k = 6,4 para reconciliar su fórmula (para calcular el ángulo de avance del perihelio de los planetas por siglo) con la anomalía observada para Mercurio (41"). Sin embargo, los datos recientes dan 43,1", lo que lleva a k = 7. Sustituyendo este resultado en la fórmula de Ritz se obtiene exactamente la fórmula de la relatividad general". Usando este mismo valor entero para k en la ecuación electrodinámica de Ritz se obtiene:

${\displaystyle \mathbf{F}=\frac{q_1{q}_2}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}\left[\left[1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2+4.5{\left(\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{r}}{c^2}\right)}^2-\frac{r}{2c^2}(\mathbf{a}\cdot \mathbf{r})\right]\frac{\mathbf{r}}{r}-\frac{4}{c^2}(\mathbf{v}\cdot \mathbf{r})\mathbf{v}-\frac{r}{c^2}(\mathbf{a})\right]}$

La ecuación de Pauli, o ecuación de Schrödinger-Pauli, es una generalización o reformulación de la ecuación de Schrödinger para partículas de espín 1/2 que tiene en cuenta la interacción entre el espín y el campo electromagnético. Esta ecuación es el límite no relativista de la ecuación de Dirac y puede usarse para describir electrones para los cuales los efectos relativistas de la velocidad pueden despreciarse.

La ecuación de Pauli fue propuesta originalmente por Wolfgang Pauli en 1927.^[1]

Forma de la ecuación

La ecuación de Pauli tiene la forma:

(1)${\displaystyle \left[\frac{1}{2m}(\hat{\mathit{\sigma }}\cdot (\hat{\mathbf{p}}-e\mathbf{A}){)}^2+eV\right]|\psi ⟩=i\hslash \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}|\psi ⟩}$

donde:

• ${\displaystyle m}$ es la masa de la partícula.
• ${\displaystyle e}$ es la carga eléctrica de la partícula.
• ${\displaystyle \hat{\mathit{\sigma }}}$ es un "vector" cuyas tres componentes son precisamente las matrices de Pauli bidimensionales.
• ${\displaystyle \hat{\mathbf{p}}}$ es el operador vectorial asociado al momento lineal. Las componentes de este vector son ${\displaystyle -i\hslash {\mathrm{\partial }}_{x_k}}$
• ${\displaystyle \mathbf{A}}$es el potencial vector del campo electromagnético.
• ${\displaystyle V}$ es el potencial eléctrico escalar.
• ${\displaystyle |\psi ⟩=}$ es un espinor formado por dos funciones de onda componentes, que se puede representar como ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{\psi }_0\\ {\psi }_1\end{array}\right)}$.

Forma alternativa

Si se usan las propiedades de las matrices de Pauli se demuestra fácilmente la siguiente igualdad:^[2]

${\displaystyle {\left[\hat{\mathit{\sigma }}\cdot \left(\hat{\mathbf{p}}-\frac{e}{c}\mathbf{A}\right)\right]}^2={\left(\hat{\mathbf{p}}-\frac{e}{c}\mathbf{A}\right)}^2+i\hat{\mathit{\sigma }}\cdot \left(\hat{\mathbf{p}}-\frac{e}{c}\mathbf{A}\right)\times \left(\hat{\mathbf{p}}-\frac{e}{c}\mathbf{A}\right)}$

Y como:

${\displaystyle \left(\hat{\mathbf{p}}-\frac{e}{c}\mathbf{A}\right)\times \left(\hat{\mathbf{p}}-\frac{e}{c}\mathbf{A}\right)=-\frac{e}{c}(\hat{\mathbf{p}}\times \mathbf{A}+\mathbf{A}\times \hat{\mathbf{p}})=-\frac{e}{c}(-i\hslash \mathbf{\nabla }\times \mathbf{A})=\frac{i\hslash e}{c}\mathbf{B}}$

La ecuación (1) puede reescribirse en la forma:

(2)${\displaystyle \frac{1}{2m}(\hat{\mathbf{p}}-e\mathbf{A}{)}^2|\psi ⟩+\left(eV-\frac{\hslash e}{2mc}\mathbf{B}\cdot \hat{\mathit{\sigma }}\right)|\psi ⟩=i\hslash \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}|\psi ⟩}$

Derivación histórica

La derivación histórica de la ecuación se hizo siguiendo principios formales no muy diferentes del principio de acoplamiento mínimo usado posteriormente en la teoría cuántica de campos.

Densidad de probabilidad

La ecuación de Pauli para el espinor de Pauli formado por dos componentes, cada uno con un significado similar a la función de onda. De hecho, en ausencia de campo la ecuación de Pauli se reduce a una ecuación de Schrödinger "doble", es decir, cada una de las dos componentes del espinor satisface independiente la ecuación de Schrödinger.

La densidad de probabilidad conjunta viene dada por las reglas usuales de la mecánica cuántica:

E igualmente puede probarse que el valor esperado para los operadores de espín viene dado:

${\displaystyle ⟨{\hat{S}}_z⟩=\frac{\hslash }{2}{\int }_{{\mathbb{R}}^3}({\psi }_0^{\ast }{\psi }_1+{\psi }_1^{\ast }{\psi }_0)dV,⟨{\hat{S}}_x⟩=\frac{\hslash }{2}{\int }_{{\mathbb{R}}^3}({\psi }_0^{\ast }{\psi }_0-{\psi }_1^{\ast }{\psi }_1)dV}$