EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 

Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno

En el modelo atómico de Bohr de la estructura del átomo, desarrollado por Niels Bohr en 1913, los electrones giran alrededor de un núcleo central. En este modelo los electrones orbitan solo a determinadas distancias del núcleo, dependiendo de su energía. En el átomo más simple, el hidrógeno, solamente orbita un electrón, siendo la órbita de menor radio o radio de Bohr, la correspondiente a la situación de menor energía.

De acuerdo con los datos de 2006 CODATA, el radio de Bohr del hidrógeno vale 5,29177210903(80)×10⁻¹¹ m (es decir, aproximadamente 52.9 pm o 0,529 angstroms).^[1][2] Este valor se puede obtener de la relación entre otras constantes físicas (que se obtiene cuando n = 1 en la cuarta hipótesis de los postulados de Bohr) y representa la unidad atómica de longitud:

${\displaystyle a_0=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m_e{e}^2}=\frac{\hslash }{m_{\mathrm{e}}c\alpha }}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle a_0}$	Radio de Bohr
${\displaystyle {\epsilon }_0}$	Permitividad del vacío
${\displaystyle \hslash }$	Constante de Planck reducida
${\displaystyle m_{\mathrm{e}}}$	Masa del electrón en reposo
${\displaystyle e}$	Carga elemental
${\displaystyle c}$	Velocidad de la luz en el vacío
${\displaystyle \alpha }$	Constante de estructura fina

Historia

En el modelo de Bohr para la estructura atómica, presentado por Niels Bohr en 1913, los electrones orbitan un núcleo central bajo atracción electrostática. La derivación original postulaba que los electrones tienen un momento angular orbital en múltiplos enteros de la constante de Planck reducida, que coincidió con éxito con la observación de niveles de energía discretos en los espectros de emisión, junto con la predicción de un radio fijo para cada uno de estos niveles. En el átomo más simple, el hidrógeno, un solo electrón orbita el núcleo, y su órbita más pequeña posible, con la energía más baja, tiene un radio orbital casi igual al radio de Bohr. (No es exactamente el radio de Bohr debido al efecto de masa reducido. Se diferencian en aproximadamente un 0,05%).

El modelo de Bohr del átomo fue reemplazado por una nube de probabilidad de electrones que obedecía a la ecuación de Schrodinger, que se complica aún más por los efectos de vacío cuántico y de espín para producir una estructura fina y una estructura hiperfina. Sin embargo, la fórmula del radio de Bohr sigue siendo fundamental en los cálculos de la física atómica, debido a su relación simple con las constantes fundamentales (por eso se define utilizando la masa verdadera del electrón en lugar de la masa reducida, como se mencionó anteriormente). Como tal, se convirtió en la unidad de longitud en unidades atómicas.

Unidades relacionadas

El radio de Bohr del electrón es uno de un trío de unidades de longitud relacionadas, las otras dos son la longitud de onda de Compton del electrón, ${\displaystyle {\lambda }_{\mathrm{e}}}$ y el radio clásico del electrón ${\displaystyle r_{\mathrm{e}}}$. El radio de Bohr se construye a partir de la masa del electrón ${\displaystyle m_{\mathrm{e}}}$, constante de Planck ${\displaystyle \hslash }$ y la carga de electrones ${\displaystyle e}$. La longitud de onda de Compton se construye a partir de ${\displaystyle m_{\mathrm{e}}}$, ${\displaystyle \hslash }$ y la velocidad de la luz ${\displaystyle c}$. El radio clásico del electrón se construye a partir de ${\displaystyle m_{\mathrm{e}}}$, ${\displaystyle c}$ y ${\displaystyle e}$. Cualquiera de estas tres longitudes se puede escribir en términos de cualquier otra usando la constante de estructura fina ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle r_{\mathrm{e}}=\alpha \frac{{\lambda }_{\mathrm{e}}}{2\pi }={\alpha }^2{a}_0.}$

El radio de Bohr es aproximadamente 19.000 veces más grande que el radio clásico de los electrones (es decir, la escala común de átomos es angstrom, mientras que la escala de partículas es femtómetro). La longitud de onda de Compton del electrón es aproximadamente 20 veces más pequeña que el radio de Bohr, y el radio clásico del electrón es aproximadamente 1000 veces más pequeño que la longitud de onda de Compton del electrón.

Uso

Una diferencia importante es que el radio de Bohr, da el radio con la densidad de máxima probabilidad radial, no su esperada distancia radial. La distancia radial esperada es 1,5 veces del radio de Bohr, como resultado de su larga cola de la función de onda radial. Otra diferencia importante es que en el espacio tridimensional, la densidad de máxima probabilidad ocurre en la ubicación del núcleo y no en el radio de Bohr, donde la densidad de probabilidad radial alcanza su pico en el radio de Bohr, ejemplo ploteando la distribución de probabilidad en su dependencia radial.

Átomo de hidrógeno y sistemas similares

El radio de Bohr, incluido el efecto de masa reducida en el átomo de hidrógeno, viene dado por

${\displaystyle a_0^{\ast }=\frac{m_{\text{e}}}{\mu }{a}_0,}$

donde ${\displaystyle \mu =\frac{m_e{m}_p}{m_e+m_p}}$ es la masa reducida del sistema electrón-protón (con ${\displaystyle m_p}$ siendo la masa del protón). El uso de masa reducida es una generalización del problema clásico de dos cuerpos cuando estamos fuera de la aproximación de que la masa del cuerpo en órbita es despreciable en comparación con la masa del cuerpo en órbita. Dado que la masa reducida del sistema electrón-protón es un poco más pequeña que la masa del electrón, el radio de Bohr "reducido" es ligeramente mayor que el radio de Bohr (${\displaystyle a_0^{\ast }\approx 1.00054a_0\approx 5.2946541\times {10}^{-11}}$ metros).

Este resultado se puede generalizar a otros sistemas, como el positronio (un electrón que orbita un positrón) y el muonio (un electrón que orbita un antimuón) utilizando la masa reducida del sistema y considerando el posible cambio de carga. Por lo general, las relaciones del modelo de Bohr (radio, energía, etc.) se pueden modificar fácilmente para estos sistemas exóticos (hasta el orden más bajo) simplemente reemplazando la masa del electrón con la masa reducida para el sistema (así como ajustando la carga cuando sea apropiado). Por ejemplo, el radio de positronio es aproximadamente ${\displaystyle 2a_0}$, dado que la masa reducida del sistema de positronio es la mitad de la masa del electrón (${\displaystyle {\mu }_{{\text{e}}^{-},{\text{e}}^{+}}=m_{\text{e}}/2}$).

Un átomo similar al hidrógeno tendrá un radio de Bohr que se escala principalmente como ${\displaystyle r_Z=a_0/Z}$, con ${\displaystyle Z}$ tEl número de protones en el núcleo. Mientras tanto, la masa reducida (${\displaystyle \mu }$) solo se vuelve mejor aproximado por ${\displaystyle m_{\text{e}}}$ en el límite del aumento de la masa nuclear. Estos resultados se resumen en la ecuación

${\displaystyle r_{Z,\mu }=\frac{m_e}{\mu }\frac{a_0}{Z}.}$

A continuación se proporciona una tabla de relaciones aproximadas.

Sistema	Radio
Hidrógeno	${\displaystyle 1.00054a_0}$
Positronium	${\displaystyle 2a_0}$
Muonium	${\displaystyle 1.0048a_0}$
He+	${\displaystyle a_0/2}$
Li2+	${\displaystyle a_0/3}$

Dentro de la teoría de Bohr, para un núcleo y un único electrón, si este se encuentra en una órbita con número principal n, que se corresponde con un momento angular L=n·ħ, el radio de giro del electrón, calculado clásicamente es:

${\displaystyle r_{Z,n}=\frac{n^2}{Z}{a}_0}$

El radio de Einstein es el radio de un anillo de Einstein, y es un ángulo característico de las lentes gravitacionales en general, ya que las distancias típicas entre imágenes en las lentes gravitacionales son del orden del radio de Einstein.^[1]

Cálculo

Geometría de las lentes gravitacionales

Para el cálculo del radio de Einstein, asumiremos que toda la masa M de la galaxia con lente L se concentra en el centro de la galaxia.

Para una masa puntual, la deflexión se puede calcular y es una de las clásicas pruebas de la relatividad general. Para ángulos pequeños α₁, la deflexión total por una masa puntual M viene dada (ver métrica de Schwarzschild) por

${\displaystyle {\alpha }_1=\frac{4G}{c^2}\frac{M}{b_1}}$

dónde

b₁ es el parámetro de impacto (la distancia de aproximación más cercana del rayo de luz al centro de masa)

G es la constante gravitacional,

cc es la velocidad de la luz.

Al observar que, para ángulos pequeños y con el ángulo expresado en radianes, el punto de aproximación más cercano b₁ en un ángulo θ₁ para la lente L en una distancia D_L está dado por b₁ = θ₁ D_L, podemos volver a expresar el ángulo de flexión α₁ como

${\displaystyle {\alpha }_1({\theta }_1)=\frac{4G}{c^2}\frac{M}{{\theta }_1}\frac{1}{D_{\mathrm{L}}}}$ ..... (Ecuación 1)

Si establecemos θ_S como el ángulo en el que se vería la fuente sin la lente (que generalmente no es observable), y θ₁ como el ángulo observado de la imagen de la fuente con respecto a la lente, entonces se puede ver desde la geometría de lente (contando distancias en el plano de la fuente) que la distancia vertical abarcada por el ángulo θ₁ a una distancia D_S es la misma que la suma de las dos distancias verticales θ_S D_S y α₁ D_LS. Esto da la ecuación de la lente

${\displaystyle {\theta }_1{D}_{\mathrm{S}}={\theta }_{\mathrm{S}}{D}_{\mathrm{S}}+{\alpha }_1{D}_{\mathrm{L}\mathrm{S}}}$

que se puede reorganizar para dar

${\displaystyle {\alpha }_1({\theta }_1)=\frac{D_{\mathrm{S}}}{D_{\mathrm{L}\mathrm{S}}}({\theta }_1-{\theta }_{\mathrm{S}})}$ ..... (Ec. 2)

Al establecer (ec. 1) igual a (ec. 2) y reorganizar, obtenemos

${\displaystyle {\theta }_1-{\theta }_{\mathrm{S}}=\frac{4G}{c^2}\frac{M}{{\theta }_1}\frac{D_{\mathrm{L}\mathrm{S}}}{D_{\mathrm{S}}{D}_{\mathrm{L}}}}$

Para una fuente justo detrás de la lente, θ_S = 0, la ecuación de la lente para una masa puntual da un valor característico para θ₁ que se llama ángulo de Einstein, denotado θ_E. Cuando θ_E se expresa en radianes, y la fuente de lente está lo suficientemente lejos, el radio de Einstein, denotado R_E, viene dado por

${\displaystyle R_E={\theta }_E{D}_{\mathrm{L}}}$.^[2]

Poniendo θ_S = 0 y despejando θ₁ da

${\displaystyle {\theta }_E={\left(\frac{4GM}{c^2}\frac{D_{\mathrm{L}\mathrm{S}}}{D_{\mathrm{L}}{D}_{\mathrm{S}}}\right)}^{1/2}}$

El ángulo de Einstein para una masa puntual proporciona una escala lineal conveniente para hacer variables de lente adimensionales. En términos del ángulo de Einstein, la ecuación de la lente para una masa puntual se convierte en

${\displaystyle {\theta }_1={\theta }_{\mathrm{S}}+\frac{{\theta }_E^2}{{\theta }_1}}$

La sustitución de las constantes da

${\displaystyle {\theta }_E={\left(\frac{M}{{10}^{11.09}{M}_{⨀}}\right)}^{1/2}{\left(\frac{D_{\mathrm{L}}{D}_{\mathrm{S}}/D_{\mathrm{L}\mathrm{S}}}{\mathrm{G}\mathrm{p}\mathrm{c}}\right)}^{-1/2}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}}$

En la última forma, la masa se expresa en masas solares (M_☉) y las distancias en Gigaparsec (Gpc). El radio de Einstein es más prominente para una lente típicamente a medio camino entre la fuente y el observador.

Para un cúmulo denso con masa M_c ≈ 10 × 1015 M_☉ a una distancia de 1 Gigaparsec (1 Gpc), este radio podría ser tan grande como 100 segundos de arco (llamado macrolente). Para una búsqueda de evento de microlente gravitacional (con masas de orden 1 M_☉) a distancias galácticas (digamos D ~ 3 kpc), el radio de Einstein típico sería del orden de milisegundos de arco. En consecuencia, es imposible observar imágenes separadas en eventos de microlente con las técnicas actuales.

Asimismo, para el rayo de luz inferior que llega al observador desde debajo de la lente, tenemos

${\displaystyle {\theta }_2{D}_{\mathrm{S}}=-{\theta }_{\mathrm{S}}{D}_{\mathrm{S}}+{\alpha }_2{D}_{\mathrm{L}\mathrm{S}}}$

y

${\displaystyle {\theta }_2+{\theta }_{\mathrm{S}}=\frac{4G}{c^2}\frac{M}{{\theta }_2}\frac{D_{\mathrm{L}\mathrm{S}}}{D_{\mathrm{S}}{D}_{\mathrm{L}}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle {\theta }_2=-{\theta }_{\mathrm{S}}+\frac{{\theta }_E^2}{{\theta }_2}}$

El argumento anterior se puede ampliar para lentes que tienen una masa distribuida, en lugar de una masa puntual, utilizando una expresión diferente para el ángulo de curvatura α, las posiciones θ_I(θ_S) de las imágenes se pueden calcular. Para pequeñas deflexiones, este mapeo es uno a uno y consiste en distorsiones de las posiciones observadas que son invertibles. A esto se le llama lente débil. Para grandes deflexiones, se pueden tener varias imágenes y un mapeo no invertible: esto se llama lente fuerte. Tenga en cuenta que para que una masa distribuida dé como resultado un anillo de Einstein, debe ser axialmente simétrica.

La regla de Carson es el nombre común que se le da a una regla general conocida en telecomunicaciones referente al ancho de banda, y que establece que aproximadamente toda la potencia (~98%) de una señal consistente en una portadora senoidal modulada en frecuencia está comprendida dentro de un ancho de banda (alrededor de la frecuencia portadora) de:

${\displaystyle B_T=2(\mathrm{\Delta }f+f_m)}$

donde:

• Δf es la desviación máxima de la frecuencia instantánea f(t) (que es un efecto de modular en frecuencia, al igual que en Amplitud Modulada (AM) se define el índice de modulación respecto a la amplitud) respecto a la portadora fc (asumiendo que xm(t) está normalizada en el rango ±1), y
• f_m es el ancho de banda de la señal moduladora (que se define "en banda base" y es el mismo para la señal modulada).

La regla de Carson se origina a partir de un artículo de 1922 del teórico y pionero de los sistemas de comunicaciones estadounidense John Renshaw Carson (1886 – 1940),.^[1]

Regla de Carson en función del índice de modulación

También se puede definir mediante la siguiente igualdad:

${\displaystyle B_T=2(D+1)W}$

donde:

• ${\displaystyle W}$ es el ancho de banda de la señal moduladora (si esta es un tono puro será su misma frecuencia) y
• ${\displaystyle D}$ es el índice de modulación.

Cuando se tiene que la expresión anterior subestima el ancho de banda de transmisión, por lo que se utiliza la siguiente expresión:

${\displaystyle B_T=2(D+2)W}$

Índices de modulación

Para señales moduladas en fase (PM):

${\displaystyle D={\varphi }_d|m(t){|}_{max}}$

donde:

• ${\displaystyle {\varphi }_d}$ es la sensibilidad del modulador y
• ${\displaystyle m(t)}$ es la señal moduladora.

Para señales moduladas en frecuencia (FM):

${\displaystyle D=\frac{|f_d(t){|}_{max}}{W}}$

donde:

• ${\displaystyle f_d}$ es la desviación instantánea en frecuencia
• ${\displaystyle W}$ es el ancho de banda de la señal moduladora.