EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 

Una trayectoria en el gas de Lorentz

El gas de Lorentz es un gas ideal propuesto por primera vez por el físico neerlandés Hendrik Antoon Lorentz en 1905^[1] para modelar la condición térmica y eléctrica de los metales. Supuso que los electrones de la banda de conducción se comportaban como un gas ideal sin interacción entre ellos hasta el momento en el que sufrían colisiones con los núcleos de los átomos, los cuales están prácticamente en las escalas de tiempo en que los electrones permanecen en una determinada área. De esta forma, el modelo de Lorentz consiste de un conjunto de obstáculos fijos (típicamente esferas duras), los cuales representan los núcleos atómicos en los vértices de una red y una partícula puntual (el electrón) la cual tiene movimiento libre hasta colisionar con uno de los obstáculos de la red. Cuando la colisión ocurre, la partícula se desvía siguiendo una reflexión especular. Para hacer este modelo, Lorentz hizo una aproximación de tipo Boltzmann, con lo que implícitamente supuso que la densidad de los núcleos atómicos era baja. Físicamente esto tiene sentido, si se reinterpretan los núcleos atómicos como defectos en una red, en vez de como iones.

En los años subsecuentes y especialmente en las últimas décadas, se ha estudiado modificaciones a este modelo, donde se varía el tipo de red, la forma de los obstáculos, el número de dimensiones, las reglas de reflexión, la presencia de campos, ya sean eléctricos o magnéticos, etc.

Además, este modelo ha sido relevante tanto en áreas de la física, como de las matemáticas. En física, el modelo resulta importante para estudiar problemas de transporte, en física estadística, en problemas de dispersión, simulaciones con dinámica molecular e incluso como modelo para estudiar un cristal fotónico.^[2] Por otra parte, en matemáticas, el modelo ha iluminado el campo de la probabilidad y los sistemas dinámicos.

Difusión en un gas de Lorentz

Uno de los principales problemas a tratarse en un gas de Lorentz, es el que tiene que ver con la difusión, es decir, con qué velocidad se dispersan las partículas dentro del sistema. Para estudiar esto, la mejor herramienta es el desplazamiento cuadrático medio.

Asumiendo que un gas de Lorentz es un sistema ergódico (hecho que ha sido demostrado para el caso del billar de Sinai, el cual se verá en la siguiente sección), es posible reducir el problema de la difusión de partículas en un gas de Lorentz al de a una caminata aleatoria o equivalentemente, al del movimiento browniano, el cual presenta un desplazamiento cuadrático medio que es proporcional al tiempo. Es decir:

${\displaystyle ⟨{\left(x(t)-x_0\right)}^2⟩\sim t.}$

donde ${\displaystyle x_0}$ es la posición inicial de la partícula.

Así, típicamente los gases de Lorentz presentan difusión del tipo "normal", es decir, que esta ecuación se cumple.

Billar de Sinai

Artículo principal: Billar dinámico

El billar de Sinai es un billar dinámico donde la frontera es un cuadrado en cuyo centro se encuentra un disco duro fijo. El billar surge de estudiar el comportamiento de dos discos que se desplazan dentro del billar cuadrado, reflejándose en los bordes del cuadrilátero y choques entre sí. Al eliminar el centro de masa como una variable de la configuración, la dinámica de dos discos que interactúan entre sí se reduce a la dinámica del billar de Sinai.

Este billar fue desarrollado por Yákov Sinái como un ejemplo de un sistema hamiltoniano interactivo que presenta propiedades físicas termodinámicas: es ergódico y tiene un exponente de Lyapunov positivo.

Al reflejar la partícula en cualquiera de las paredes del cuadrado, sólo una de las componentes de la velocidad se ve afectada y de hecho simplemente cambia su signo. Por ejemplo, si la velocidad inicial de la partícula es ${\displaystyle (v_x,v_y)}$ y colisiona en una de las paredes paralelas al eje x, entonces su velocidad final será ${\displaystyle (v_x,-v_y)}$. Sin embargo, debido a la simetría del sistema, esto es equivalente a aplicar condiciones periódicas a la frontera sobre el cuadrado, lo cual a su vez es equivalente a estudiar un gas de Lorentz cuya red es la red cuadrada.

Esto es fácilmente generalizable a varias dimensiones y diferentes simetrías, como por ejemplo, la simetría hexagonal.

En el caso de la red cuadrada, siempre existen algunas posiciones y velocidades iniciales, tales que las partículas dentro puedan viajar libremente por tiempo infinito. A las regiones donde esto sucede, se les conoce como canales. Por ejemplo, en una red cuadrada cuyos vértices coinciden con los puntos de coordenadas enteras en el plano, si la partícula inicialmente se encuentra en la posición ${\displaystyle (0.5,0)}$ y su velocidad inicial es ${\displaystyle (0,1)}$, la partícula nunca experimentará una colisión, excepto en el caso donde el radio de los obstáculos es tal que la partícula se encuentra localizada, es decir, su desplazamiento cuadrático medio es una constante con respecto del tiempo.

En el caso de la red triangular, esto no es verdadero. Existe un radio crítico ${\displaystyle r_c}$ tal que si el radio entonces no habrá canales, pero no necesariamente estará localizada la partícula.

Cuando hay canales, se ha mostrado que el sistema no exhibe un comportamiento difusivo, sino más bien, uno de súper difusión débil, es decir:

${\displaystyle ⟨{\left(x(t)-x_0\right)}^2⟩\sim tlog(t).}$

Mientras que cuando el sistema no presenta canales, la difusión es de tipo normal.

Gas de Lorentz cuasiperiódico

Un gas de Lorentz cuasiperiódico es un gas de Lorentz cuyos vértices de la red siguen una distribución dada por una función cuasiperiódica. Típicamente, esta red está relacionada con las posiciones de los átomos en un cuasicristal.

En esta clase de billares se ha mostrado la existencia de tres regímenes de difusión: un régimen de difusión anómala donde el billar presenta canales tal como en el caso periódico; uno donde el billa exhibe difusión normal; y finalmente uno donde para tiempos finitos el billar exhibe subdifusión, es decir:

${\displaystyle ⟨{\left(x(t)-x_0\right)}^2⟩\sim t^{\alpha }.}$

Este último régimen se ha observado tanto en sistemas cuasiperiódicos^[3] como en sistemas desordenados.

En Física de plasmas la longitud de Debye, también llamada radio de Debye es la escala a través de la cual portadores de carga móviles —por ejemplo, electrones— generan un apantallamiento de los campos eléctricos en los plasmas y otros conductores. En otras palabras, la longitud de Debye es la distancia sobre la cual puede ocurrir una separación significativa de carga. Análogamente, una esfera de Debye es el volumen cuyo radio es una longitud de Debye, dentro de la cual existe una esfera de influencia, y fuera de la cual las cargas son «apantalladas». La longitud de Debye recibe su nombre en honor del físico y físico-químico holandés Peter Debye. La noción de la longitud de Debye juega un importante papel en la Física de plasmas, electrolitos y coloides (teoría DLVO).

Origen físico

La longitud de Debye surge de forma natural en la descripción termodinámica de grandes sistemas que contienen cargas en movimiento. En un sistema de ${\displaystyle N}$ diferentes especies de cargas, la ${\displaystyle j}$-ésima especie porta una carga ${\displaystyle q_j}$ y tiene una concentración ${\displaystyle n_j(\mathbf{r})}$ en la posición ${\displaystyle \mathbf{r}}$. De acuerdo con el llamado «modelo primitivo», estas cargas se distribuyen en un medio continuo caracterizado solamente por su permitividad relativa estática: ${\displaystyle {\epsilon }_r}$. La distribución de cargas dentro de este medio da lugar a un potencial eléctrico, ${\displaystyle \mathrm{\Phi }(\mathbf{r})}$, que satisface la ecuación de Poisson:

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }(\mathbf{r})=-\frac{1}{{\epsilon }_r{\epsilon }_0}\sum _{j=1}^N{q}_j{n}_j(\mathbf{r})}$,

siendo ${\displaystyle {\epsilon }_0}$ la permitividad eléctrica del vacío.

Las cargas en movimiento no solo establecen ${\displaystyle \mathrm{\Phi }(\mathbf{r})}$, sino que también se mueven respondiendo a la fuerza de Coulomb asociada: ${\displaystyle \mathbf{F}=-q_j\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\mathbf{r})}$. Si además suponemos que el sistema se encuentra en equilibrio termodinámico con un foco calórico a temperatura absoluta ${\displaystyle T}$, entonces las concentraciones de carga discreta, ${\displaystyle n_j(\mathbf{r})}$, pueden considerarse ensambles termodinámicos promedio y el potencial eléctrico asociado puede considerarse un campo medio. Con estas suposiciones, la concentración de la ${\displaystyle j}$-ésima especie de carga está descrita por la distribución de Boltzmann.

${\displaystyle n_j(\mathbf{r})=n_j^0\exp \left(-\frac{q_j\mathrm{\Phi }(\mathbf{r})}{k_{B}T}\right)}$,

donde ${\displaystyle k_B}$ es la constante de Boltzmann y ${\displaystyle n_j^0}$ es la concentración media de cargas de especies ${\displaystyle j}$. Al identificar las concentraciones instantáneas y el potencial instantáneo en la ecuación de Poisson con sus contrapartes de campo medio en la distribución de Boltzmann, se obtiene la ecuación de Poisson-Boltzmann:

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }(\mathbf{r})=-\frac{1}{{\epsilon }_r{\epsilon }_0}\sum _{j=1}^N{q}_j{n}_j^0\exp \left(-\frac{q_j\mathrm{\Phi }(\mathbf{r})}{k_{B}T}\right)}$.

Se conocen soluciones para esta ecuación no lineal para algunos sistemas simples. Para sistemas más generales, se pueden obtener soluciones en el límite de alta temperatura (acoplamiento débil), ${\displaystyle q_j\mathrm{\Phi }(\mathbf{r})\ll k_{B}T}$, por medio de una expansión en serie de Taylor de la función exponencial:

${\displaystyle \exp \left(-\frac{q_j\mathrm{\Phi }(\mathbf{r})}{k_{B}T}\right)\approx 1-\frac{q_j\mathrm{\Phi }(\mathbf{r})}{k_{B}T}}$.

Esta aproximación da como resultado la ecuación linearizada de Poisson-Boltzmann:

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }(\mathbf{r})=\left(\sum _{j=1}^N\frac{n_j^0{q}_j^2}{{\epsilon }_r{\epsilon }_0{k}_{B}T}\right)\mathrm{\Phi }(\mathbf{r})-\frac{1}{{\epsilon }_r{\epsilon }_0}\sum _{j=1}^N{n}_j^0{q}_j,}$

la cual se conoce como ecuación de Debye-Hückel.^{[1] [2] [3] [4] [5]} El segundo término del lado derecho de la ecuación desaparece en sistemas que son eléctricamente neutros. El término entre paréntesis de longitud inversa al cuadrado y conduce de manera natural a la definición de escala de longitud característica:

${\displaystyle {\lambda }_D={\left(\frac{{\epsilon }_r{\epsilon }_0{k}_{B}T}{\sum _{j=1}^N{n}_j^0{q}_j^2}\right)}^{1/2}}$

que es llamada comúnmente «longitud de Debye-Hückel». La longitud ${\displaystyle {\lambda }_D}$ establece la escala de variaciones en el potencial y en las concentraciones de especies cargadas. Se debe hacer énfasis en que todas las especies cargadas contribuyen de igual manera a la longitud de Debye-Hückel, sin importar el signo de sus cargas. El potencial producido por una carga puntual externa ${\displaystyle {\rho }_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}=Q\delta (\mathbf{r})}$ es:

${\displaystyle \mathrm{\Phi }(\mathbf{r})=\frac{Q}{4\pi \epsilon r}{e}^{-r/{\lambda }_{\mathrm{D}}}}$.

El potencial de Coulomb es apantallado exponencialmente por el medio, a una distancia del orden de la longitud de Debye: esto se llama apantallamiento de Debye.

Valores típicos

En los plasmas en el espacio, donde la densidad de electrones es relativamente baja, la longitud de Debye puede alcanzar valores macroscópicos, como en la magnetosfera, el viento solar o el medio intergaláctico (véase la tabla):^[6]

Plasma	Densidad ne(m-3)	Temperatura de electrones T(K)	Campo magnético B(T)	Longitud de Debye λD(m)
Núcleo solar	1032	107	--	10−11
Tokamak	1020	108	10	10−4
Descarga de gas	1016	104	--	10−4
Ionosfera	1012	103	10−5	10−3
Magnetosfera	107	107	10−8	102
Viento solar	106	105	10−9	10
Medio interestelar	105	104	10−10	10
Medio intergaláctico	1	106	--	105

Hannes Alfvén asegura que: «En un plasma de baja densidad regiones localizadas de carga pueden generar grandes caídas de potencial a distancias del orden de varias decenas de longitudes de Debye. Estas regiones son llamadas “capas eléctricas dobles”. Una doble capa eléctrica es la distribución espacial de carga más simple que da una caída de potencial en la capa y un campo eléctrico que desaparece al otro lado de la capa. En el laboratorio las dobles capas se han estudiado por medio siglo, pero su importancia en plasmas cósmicos no ha sido reconocida de forma general».

Longitud de Debye en un plasma

Para un plasma de baja colisión, el apantallamiento de Debye se puede introducir de forma muy intuitiva teniendo en cuenta su carácter granular. Imaginemos una esfera alrededor de uno de sus electrones, y comparemos el número de electrones que atraviesan esa esfera con y sin repulsión de Coulomb. Con la repulsión, este número es menor. Por lo tanto, según el teorema de Gauss, la carga aparente del primer electrón es menor que en ausencia de repulsión. Cuanto mayor sea el radio de la esfera, mayor será el número de partículas deflerizadas, y menor será la carga aparente: es el apantallamiento de Debye. Puesto que la desviación global de los electrones incluye las contribuciones de muchos otros, la densidad de los electrones no cambia, en contradicción con el apantallamiento en las proximidades de una pared material. Los iones hacen una contribución similar al apantallamiento, debido a la desviación coulombiana atractiva de las cargas con signos opuestos.

Esta imagen intuitiva conduce a un cálculo eficaz del apantallamiento de Debye (ver sección II.A.2 de^[7]). La hipótesis de una distribución de Boltzmann no es necesaria en este cálculo: funciona para cualquier función de distribución de partículas. El cálculo evita también el tratamiento de los plasmas de baja colisión como medios continuos. Un cálculo N-cuerpo revela que la aceleración de Coulomb de una partícula por otra se altera por una contribución mediada por todas las demás partículas, firma del apantallamiento de Debye (véase la sección 8 de^[8]). Partiendo de posiciones aleatorias de partículas, la escala de tiempo típica para el apantallamiento es el tiempo que tarda una partícula térmica en atravesar una longitud de Debye, es decir, el inverso de la frecuencia de plasma. Por lo tanto, en un plasma de baja colisión, las colisiones juegan un papel esencial en aportar un proceso de autoorganización cooperativa: el apantallamiento de Debye.

En un plasma, el medio que se encuentra en el fondo puede ser tratado como vacío (${\displaystyle {\epsilon }_r=1}$), y la longitud de Debye es

${\displaystyle {\lambda }_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_B/q_e^2}{n_e/T_e+{\displaystyle \sum _{ij}{j}^2{n}_{ij}/T_i}}}}$

donde

λ_D es la longitud de Debye,

ε₀ es la permitividad eléctrica del vacío,

k_B es la constante de Boltzmann,

q_e es la carga del electrón,

T_e y T_i son las temperaturas de los electrones y de los iones, respectivamente,

n_e es la densidad de electrones,

n_ij es la densidad de especies atómicas i, con carga iónica positiva jq_e.

El término iónico se elimina generalmente, dando

${\displaystyle {\lambda }_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_B{T}_e}{n_e{q}_e^2}}}$,

aunque esto es válido solamente cuando la movilidad de los iones es despreciable comparada con la escala de tiempo del proceso.^[9]

Longitud de Debye en un electrolito

En un electrolito o un coloide la longitud de Debye se denota usualmente con el símbolo ${\displaystyle {\kappa }^{-1}}$:^[10]

${\displaystyle {\kappa }^{-1}=\sqrt{\frac{{\epsilon }_r{\epsilon }_0{k}_{B}T}{2N_A{e}^{2}I}}}$

donde

${\displaystyle I}$ es la fuerza iónica del electrolito,

${\displaystyle {\epsilon }_0}$ es la permitividad eléctrica del espacio libre,

${\displaystyle {\epsilon }_r}$ es la constante dieléctrica,

${\displaystyle k_B}$ es la constante de Boltzmann,

${\displaystyle T}$ es la temperatura absoluta en kelvin,

${\displaystyle N_A}$ es el número de Avogadro y

${\displaystyle e}$ es la carga del electrón.

Para un electrolito simétrico monovalente:

${\displaystyle {\kappa }^{-1}=\sqrt{\frac{{\epsilon }_r{\epsilon }_{0}RT}{2F^2{C}_0}}}$

donde

R es la constante universal de los gases,

F es la constante de Faraday,

C₀ es la concentración molar del electrolito.

De forma alternativa:

${\displaystyle {\kappa }^{-1}=\frac{1}{\sqrt{8\pi {\lambda }_B{N}_{A}I}}}$

donde

${\displaystyle {\lambda }_B}$ es la longitud de Bjerrum del medio.

Para agua a temperatura ambiente ${\displaystyle {\lambda }_B\approx }$ 0,7 nm. A esta temperatura se puede considerar en el agua la siguiente relación:^[11]

${\displaystyle {\kappa }^{-1}(\mathrm{n}\mathrm{m})=\frac{0,304}{\sqrt{I(\mathrm{M})}}}$

donde

κ⁻¹ se expresa en nanometros (nm),

I es la fuerza iónica expresada en molar (M o mol/L).

Longitud de Debye en silicio

La longitud de Debye se ha vuelto cada vez más importante en el modelado de dispositivos de estado sólido conforme los avances en tecnologías litográficas han permitido geometrías más pequeñas.^[12][13][14]

La longitud de Debye en el silicio está dada por:

${\displaystyle {\mathit{L}}_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_{\mathrm{S}\mathrm{i}}{k}_{B}T}{q^2{N}_d}}}$

donde

ε_Si es la constante dieléctrica del silicio,

k_B es la constante de Boltzmann,

T es la temperatura absoluta en kelvin,

q es la carga elemental y

N_d es la densidad de donantes en el sustrato.

cuando el perfil de impurezas excede la longitud de Debye, la mayoría de los portadores no se comportan ya de acuerdo a la distribución de las impurezas. En vez de ello, una medida del perfil de los gradientes de impurezas da un perfil «efectivo» que se ajusta mejor al perfil de la densidad de los portadores.

En física, la longitud de onda térmica de De Broglie (${\displaystyle \lambda }$) es básicamente el promedio de la longitud de onda de De Broglie de las partículas en un gas ideal a una temperatura específica. Podemos tomar la separación promedio entre partículas en un gas, aproximadamente como (V/N)^1/3, donde V es el volumen y N es el número de partículas. Cuando la longitud de onda térmica de De Broglie es mucho menor a la distancia entre partículas, el gas puede considerarse como «clásico» o como un gas de Maxwell-Boltzmann. Por otro lado, cuando la longitud de onda térmica de De Broglie es del orden o mayor que la distancia entre partículas, los efectos cuánticos dominarán, y el gas debe ser tratado ya sea como un gas de Fermi o un gas de Bose, dependiendo de la naturaleza de las partículas. La temperatura crítica es el punto de transición entre estos dos regímenes. A esta temperatura crítica, la longitud de onda térmica será aproximadamente igual a la distancia entre partículas. Es decir, la naturaleza cuántica del gas será evidente para

${\displaystyle \frac{V}{N{\lambda }^3}\le 1\text{ o bien, }{\left(\frac{V}{N}\right)}^{1/3}\le \lambda ,}$

es decir, cuando la distancia entre partículas es menor que la longitud de onda de De Broglie. En este caso, el gas obedecerá la estadística de Bose-Einstein o la estadística de Fermi-Dirac, dependiendo de cuál sea la apropiada. Este es, por ejemplo, el caso de electrones en un metal típico a T = 300 K; el gas de electrones obedece la estadística de Fermi-Dirac. Otro ejemplo es un condensado de Bose-Einstein.

Por otro lado, para

${\displaystyle \frac{V}{N{\lambda }^3}\gg 1\text{ o bien, }{\left(\frac{V}{N}\right)}^{1/3}\gg \lambda }$

es decir, cuando la distncia entre partículas es mucho mayor que la longitud de onda térmica de De Broglie, el gas obedecerá la estadística de Maxwell-Boltzmann.^[1] Este es el caso para neutrones térmicos producidos por una fuente de neutrones.

Partículas con masa

Para un gas ideal libre de partículas con masa (sin grados de libertad internos) en equilibrio, la longitud de onda térmica de De Broglie puede obtenerse a través de la longitud de onda de De Broglie típica:

${\displaystyle \lambda =\frac{h}{p}}$.

Sustituyendo el momento p por la energía cinética E_K = p²/2m:

${\displaystyle \lambda =\frac{h}{\sqrt{2m{E}_K}}}$.

Entonces, en el caso cuántico, la energía cinética promedio de las partículas libres es E_K = πkT.

${\displaystyle \lambda =\sqrt{\frac{h^2}{2\pi mkT}}=\frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}},}$

En el caso clásico, la energía cinética promedio de las partículas libres es E_K= 3 kT/2.

${\displaystyle \lambda =\frac{h}{\sqrt{3mkT}},}$

donde h es la constante de Planck, m es la masa de una partícula del gas, k es la constante de Boltzmann, y T es la temperatura del gas.^[1]

Partículas sin masa

Para una partícula sin masa, la longitud de onda térmica de De Broglie puede definirse como:

${\displaystyle \mathrm{\Lambda }=\frac{ch}{2{\pi }^{1/3}kT},}$

donde c es la velocidad de la luz. Al igual que en el caso de la longitud de onda térmica para partículas con masa, en este caso Λ es del orden de la longitud de onda promedio de las partículas en el gas, y define un punto crítico en el cual los efectos cuánticos comienzan a dominar. Por ejemplo, cuando se observa el espectro a longitudes de onda grandes de la radiación de cuerpo negro, se puede aplicar la ley de Rayleigh-Jeans «clásica». Sin embargo, cuando la longitud de onda observada se aproxima a la longitud de onda térmica de los fotones del cuerpo negro que irradia, la se debe utilizar la ley de Planck cuántica.

Definición general de la longitud de onda térmica

Una definición general de la longitud de onda térmica para un gas ideal cuántico en cualquier número de dimensiones y para una relación generalizada entre la energía y el momento ha sido establecida por Yan.^[2] Es de importancia práctica, dado que existen muchas situaciones experimentales con diferente dimensionalidad y diferentes relaciones de dispersión. Si n es el número de dimensiones, y la relación entre energía, E y momento, p está dada por:

${\displaystyle E=a{p}^s,}$

donde a y s son constantes, entonces, la longitud de onda térmica está definida como:

${\displaystyle \lambda =\frac{h}{\sqrt{\pi }}{\left(\frac{a}{kT}\right)}^{1/s}{\left[\frac{\mathrm{\Gamma }\left({\displaystyle \frac{n}{2}+1}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left({\displaystyle \frac{n}{s}+1}\right)}\right]}^{1/n}}$

donde Γ es la función Gamma. Por ejemplo, en el caso usual de partículas con masa en un gas tridimensional, tenemos que n = 3, y E = p²/2m, lo cual da los resultados anteriores para partículas con masa. Para partículas sin masa en un gas 3D, tenemos que n = 3  y E = p c, lo cual da el resultado anterior para partículas sin masa.