EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 EN ASTRONOMÍA Y ASTROFÍSICA

Para otros usos de este término, véase Lóbulo.

Representación tridimensional del potencial de Roche en una estrella binaria con una razón de masa 2, en un marco co-rotante. Las figuras en forma de gota son superficies equipotenciales y son los lóbulos de Roche de cada una de las estrellas. L1, L2 y L3 son los puntos de Lagrange donde las fuerzas gravitatorias se cancelan entre sí. Existen flujos de masa a través del punto meseta L1 de una estrella a su compañera, si la estrella llena el lóbulo de Roche. (Fuente).

El lóbulo de Roche es la región del espacio alrededor de una estrella en un sistema binario en la que el material orbitante está ligado gravitacionalmente a dicha estrella. Si la estrella se expande más allá de su lóbulo de Roche entonces el material exterior al lóbulo es atraído por la otra estrella donde puede caer formando un disco de acrecimiento.

Concepto

El concepto de lóbulo de Roche apareció en una publicación de 1873, Essai sur la constitution et l'origine du système solaire [Ensayo sobre la constitución y el origen del sistema solar]. El lóbulo de Roche se diferencia del límite de Roche en que este último representa la distancia a la que un objeto orbitando un cuerpo central masivo se rompería debido a los efectos de las fuerzas de marea. Ambos conceptos fueron formulados y estudiados matemáticamente por el astrónomo francés Édouard Roche ( 1820-1883).

Formas del potencial

El lóbulo de Roche tiene una forma similar a una gota de agua estirada con el vértice de la gota apuntando hacia el objeto secundario y situado en el punto de Lagrange L1. El lóbulo de Roche se define como la superficie de máximo equipotencial gravitacional del sistema binario. Cerca de cada estrella las superficies de igual potencial gravitacional son aproximadamente esféricas y concéntricas sobre cada estrella y lejos del sistema binario las superficies equipotenciales son elipsoides alargados paralelos al eje que une los centros de ambas estrellas. La superficie equipotencial crítica entre ambos casos en forma de ocho define los dos lóbulos de Roche.

Cálculo del potencial

Para calcular la energía potencial es necesario utilizar un sistema de referencia que gira con el sistema binario. Dado que este sistema de referencia no es inercial los potenciales gravitacionales de cada estrella deben complementarse con un pseudopotencial representativo de la fuerza centrífuga. El pseudopotencial es proporcional al cuadrado de la distancia en cada punto al eje de rotación del sistema. La materia moviéndose en el sistema de referencia en rotación experimenta los efectos de una fuerza de Coriolis no conservativa y no derivable por lo tanto a partir de un potencial escalar.

Cuando uno de los dos cuerpos centrales crece más allá de su lóbulo de Roche, el material exterior al lóbulo penetra en el interior del lóbulo de Roche del otro objeto. Este proceso puede ser destructivo para el primer objeto ya que al perder masa, su lóbulo de Roche se contrae aún más dejando mayor material en el exterior y acelerando su desintegración en favor de un aumento de masa del otro objeto, cuyo lóbulo de Roche se expande progresivamente.

Flujo de masa entre las estrellas

El flujo de material a través del lóbulo de Roche es responsable de un buen número de fenómenos astronómicos como novas recurrentes (estrellas binarias con una gigante roja y una enana blanca lo bastante cercanas para que el material de la gigante se desplace hasta la enana blanca), binarias de rayos X y púlsares de milisegundos.

El límite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) es un límite superior para la masa de estrellas compuestas de materia neutrónica degenerada (estrellas de neutrones). Es análogo al límite de Chandrasekhar para una estrella blanca enana (enana blanca). Cuando una estrella de neutrones lo supera, no puede mantenerse a sí misma, y colapsa en un agujero negro.

Historia y desarrollo

El límite fue calculado por Julius Robert Oppenheimer y George Michael Volkoff en 1939, usando trabajos anteriores de Richard Chace Tolman y Lev Landau. Oppenheimer y Volkoff adoptaron que los neutrones en una estrella de neutrones formaba un gas de Fermi degenerado frío. Esto lleva a una masa límite de aproximadamente 0.7 veces la masa solar.^[1][2] Estimaciones modernas predicen una masa límite de entre 1.5 a 3.0 masas solares.^[3] La incertidumbre en los valores refleja el hecho de que las ecuaciones de estado para materia extremadamente densa no son bien conocidas, lo que dificulta enormemente precisar el valor mediante cálculo teórico.

Sin embargo, el estudio del evento GW170817, consistente en la emisión de ondas gravitatorias originadas en la fusión de una pareja de estrellas de neutrones y detectado el 17 de agosto de 2017, ha permitido mejorar la incertidumbre, situando ahora el límite TOV entre 2.10 – 2.25 masas solares.

La idea de que debía existir un límite superior absoluto para la masa de un cuerpo frío, en el que no exista una presión térmica interna, sometido a su propia gravedad se remonta a 1932, cuando fue expuesta en un trabajo de Lev Landau, basado en el principio de exclusión de Pauli. Este principio de Pauli por el cual un conjunto de fermiones en un volumen suficientemente pequeño se vería obligado o llenar niveles energéticos tan altos que sus masas en reposo serían despreciables comparadas con la energía cinética relativista de ese conjunto de fermiones. Esa energía cinética está determinada por la longitud de onda cuánticaλ, que será del orden de la magnitud de la distancia media de separación entre fermiones. En términos de unidades de Planck, la constante de Planck reducida ħ, la velocidad de la luz c, y la constante de la gravedad G tiene el valor numérico 1, por lo que la presión en las mismas unidades será del orden

${\displaystyle P=\frac{1}{{\lambda }^4}}$

En el límite de masa superior, esa presión llegará a ser igual a la presión necesaria para resistir la presión gravitatoria. La presión para resistir la gravedad para una masa M vendrá dada, de acuerdo con el teorema del virial aproximadamente por:

${\displaystyle P^3=M^2{\rho }^4}$

donde ρ es la densidad. Esto estará dado por ρ = mλ³, donde m es la masa relevante por fermión. Puede verse que la longitud de onda llega a anularse por lo que se obtiene una masa límite aproximada dada por la fórmula simple:

${\displaystyle M=\frac{1}{m^2}}$

En esta relación, m puede considerar que vienen dadas por la masa del protón. Esto incluso es aplicable en el caso de las enanas blancas (el llamado límite de Chandrasekhar) para las cuales la presión fermiónica viene asociada a los electrones. Esto es así porque la densidad másica que viene dada por los núcleos en los que los neutrones son más igual de numerosos que los protones. Igualmente los protones, por su la neutra de carga de la materia ordinaria, deben ser iguales en número a los electrones.

En el caso de las estrellas de neutrones, el límite de masa fue calculado por primera vez por Robert Oppenheimer y George Volkoff en 1939, usando el trabajo de Richard Chace Tolman. Oppenheimer y Volkoff asumieron que los neutrones dentro de una estrella de neutrones formada a partir de materia degenerada a partir de un gas de Fermi frío.

Algunas consideraciones

En una estrella de neutrones más ligera que el límite, el peso de la estrella es soportado por interacciones repulsivas de corta distancia neutrón-neutrón mediadas por la fuerza fuerte y también la presión causada por la degeneración de neutrones. Si una estrella de neutrones es más pesada que el límite, colapsará a una forma aún más densa, pudiendo formar un agujero negro, o cambiar su composición y sostenerse mediante algún otro mecanismo (por ejemplo, por la presión de la degeneración de quarks y convertirse en una estrella de quarks), aunque esto último no está comprobado que pueda ocurrir.

A causa de que las propiedades de otras formas hipotéticas de materia degenerada sean aún menos conocidas que las de materia neutrón-degenerada, muchos astrofísicos adoptan, en la ausencia de evidencias de lo contrario, que una estrella de neutrones por encima del límite colapsa directamente en un agujero negro.

Los agujeros negros formados por el colapso de estrellas individuales tienen una masa en un intervalo de 1.5-3.0 (Límite TOV ) a 10 masas solares.

Un agujero negro formado por el colapso de una estrella individual debe tener una masa que sobrepase el límite Tolman-Oppenheimer-Volkoff. La teoría predice esto a causa de la pérdida de masa durante la evolución estelar. Un agujero negro formado de una estrella aislada debe tener masa no mayor que aproximadamente 10 masas solares. Observacionalmente, a causa de sus grandes masas, relativa fragilidad y espectro de rayos X, un número de objetos masivos binarios de rayos X son propuestos como agujeros negros estelares. Estos candidatos a agujeros negros se estima que tienen entre 3 y 20 masas solares.

El mecanismo Kelvin-Helmholtz es un proceso astronómico que se produce cuando la superficie de una estrella o un planeta se enfría. El enfriamiento hace que la presión interna descienda y, como consecuencia, la estrella o el planeta se encogen. Esta compresión, a su vez, calienta el núcleo de la estrella/planeta. Este mecanismo es evidente en Júpiter y Saturno y en las enanas marrones cuyas temperaturas centrales no son lo suficientemente altas como para que se produzca la fusión del hidrógeno. Se estima que Júpiter irradia más energía a través de este mecanismo que la que recibe del Sol, pero Saturno podría no hacerlo. Este último proceso hace que Júpiter se reduzca a un ritmo de dos centímetros cada año.^[1] Sin embargo, en la segunda edición de su libro en 2009, Patrick Irwin da una contracción de sólo 1 mm/año, valor que corresponde a un flujo interno de 7,485 W/m² (cifra dada por Liming Li et al.^[2]), en lugar de 150 W/m², que corresponde a 2 cm/año, un valor claramente demasiado alto.

El mecanismo fue propuesto originalmente por Kelvin y Helmholtz a finales del siglo XIX para explicar la fuente de energía del Sol. A mediados del siglo XIX se había aceptado la conservación de la energía, y una consecuencia de esta ley de la física es que el Sol debe tener alguna fuente de energía para seguir brillando. Como se desconocían las reacciones nucleares, el principal candidato a fuente de energía solar era la contracción gravitatoria.

Sin embargo, pronto Sir Arthur Eddington y otros reconocieron que la cantidad total de energía disponible a través de este mecanismo sólo permitía que el Sol brillara durante millones de años y no los miles de millones de años que las pruebas geológicas y biológicas sugerían para la edad de la Tierra. (El propio Kelvin había defendido que la Tierra tenía millones, no miles de millones de años). La verdadera fuente de energía del Sol siguió siendo incierta hasta la década de 1930, cuando Hans Bethe demostró que era la fusión nuclear.

Potencia generada por una contracción Kelvin-Helmholtz

Se teorizó que la energía potencial gravitatoria de la contracción del Sol podría ser su fuente de energía. Para calcular la cantidad total de energía que liberaría el Sol en un mecanismo de este tipo (suponiendo una densidad uniforme), se aproximó a una esfera perfecta formada por conchas concéntricas. La energía potencial gravitatoria podría entonces hallarse como la integral sobre todas las conchas desde el centro hasta su radio exterior.

La energía potencial gravitatoria de la mecánica newtoniana se define como:^[3]

${\displaystyle U=-\frac{G{m}_1{m}_2}{r},}$

donde G es la constante gravitacional, y las dos masas en este caso son la de las cáscaras delgadas de anchura dr, y la masa contenida dentro del radio r cuando se integra entre cero y el radio de la esfera total. Esto da:^[3]

${\displaystyle U=-G{\int }_0^R\frac{m(r)4\pi r^2\rho }{r}dr,}$

donde R es el radio exterior de la esfera, y m(r) es la masa contenida en el radio r. Cambiando m(r) por un producto de volumen y densidad para satisfacer la integral,^[3]

${\displaystyle U=-G{\int }_0^R\frac{4\pi r^3\rho 4\pi r^2\rho }{3r}dr=-\frac{16}{15}G{\pi }^2{\rho }^2{R}^5.}$

La refundición en términos de la masa de la esfera da la energía potencial gravitatoria total como^[3]

${\displaystyle U=-\frac{3G{M}^2}{5R}.}$

Según el Teorema de Virial, la energía total de los sistemas gravitatorios en equilibrio es la mitad de la energía potencial promediada en el tiempo,

${\displaystyle U_r=\frac{|⟨U⟩|}{2}=\frac{3G{M}^2}{10R}.}$

Aunque la densidad uniforme no es correcta, se puede obtener una estimación aproximada del orden de magnitud de la edad esperada de nuestra estrella insertando valores conocidos para la masa y el radio del Sol, y dividiendo luego por la luminosidad conocida del Sol (nótese que esto implicará otra aproximación, ya que la potencia del Sol no siempre ha sido constante):^[3]

${\displaystyle \frac{U_{\text{r}}}{L_{\odot }}\approx \frac{1.1\times {10}^{41}\text{J}}{3.828\times {10}^{26}\text{W}}\approx 8900000\text{años},}$

donde ${\displaystyle L_{\odot }}$ es la luminosidad del Sol. Si bien es cierto que daba suficiente potencia durante bastante más tiempo que muchos otros métodos físicos, como la energía química, este valor seguía siendo claramente insuficiente debido a la evidencia geológica y biológica de que la Tierra tenía miles de millones de años. Finalmente se descubrió que la energía termonuclear era la responsable de la potencia y la larga vida de las estrellas.^[4]

El flujo de calor interno para Júpiter viene dado por la derivada en función del tiempo de la energía total

${\displaystyle \frac{d{U}_r}{dt}=\frac{-3G{M}^2}{10R^2}\frac{dR}{dt}=-1.46\times {10}^{28}\text{[J/m]}\times \frac{dR}{dt}\text{[m/s]}.}$

Con un encogimiento de${\displaystyle -1\frac{mm}{yr}=-0.001\frac{m}{yr}=-3.17\times {10}^{-11}\frac{m}{s}}$, uno consigue

${\displaystyle \frac{d{U}_r}{dt}=4.63\times {10}^{17}\text{W}}$,

dividiendo por toda la superficie de Júpiter, es decir${\displaystyle S=6.14\times {10}^{16}{m}^2}$, uno consigue

${\displaystyle \frac{1}{S}\frac{d{U}_r}{dt}=7.5\frac{\text{W}}{\text{m²}}.}$

Por supuesto, se suele calcular esta ecuación en el otro sentido: la cifra experimental del flujo específico de calor interno, 7,485 W/m², se obtuvo a partir de las medidas directas realizadas sobre el terreno por la sonda Cassini durante su sobrevuelo del 30 de diciembre de 2000 y se obtiene la cantidad de la contracción, ~1 mm/año, una cifra ínfima por debajo de cada medición.

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