EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 La ecuación de Korteweg-de Vries o KdV es una ecuación en derivadas parciales que incluye efectos de no linealidad y dispersión a la vez. Físicamente es un modelo que describe, en una dimensión espacial, la propagación de ondas de longitud de onda larga en medios dispersivos. La propagación de ondas solitarias en la superficie del agua, en canales poco profundos, es un ejemplo de medio dispersivo en el que se pueden hallar este tipo de ondas. En la física-matemática representa el prototipo de un sistema no lineal completamente integrable. El método por medio del cual se mostró su integrabilidad se conoce como el método de dispersión inversa. La ecuación aparece escrita en la literatura de muchas formas y esta es una de ellas:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }t}+v\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }x}+\mu \frac{{\mathrm{\partial }}^{3}v}{\mathrm{\partial }{x}^3}=0}$

donde ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle t}$ y ${\displaystyle v}$ denotan posición espacial, temporal y amplitud respectivamente. El primer término de la ecuación denota la evolución temporal de la perturbación o campo ${\displaystyle v}$ (se puede considerar como la elevación de la superficie del agua relativa a su posición de equilibrio), el segundo es considerado el término no lineal debido a la multiplicación entre ${\displaystyle v}$ y su primer derivada parcial con respecto al espacio, y el tercer término es el dispersivo debido a la tercera derivada parcial espacial de ${\displaystyle v}$.

Propiedades matemáticas

Las siguientes son algunas de sus propiedades matemáticas más importantes. La transformación ${\displaystyle v\to -v}$, ${\displaystyle x\to -x}$, ${\displaystyle t\to t}$ convierte a la ecuación en

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }t}+v\frac{\mathrm{\partial }v}{\mathrm{\partial }x}-\mu \frac{{\mathrm{\partial }}^{3}v}{\mathrm{\partial }{x}^3}=0}$,

luego entonces una solución para se puede obtener por medio de una simple transformación de una solución para . Otra propiedad es que la ecuación KdV posee soluciones de ondas estacionarias progresivas de la siguiente forma:

${\displaystyle v(x,t)=v(x-\lambda t)\equiv v(s)}$.

Si se substituye esta última expresión en la ecuación KdV, seguido de dos integraciones con respecto al parámetro ${\displaystyle s}$, se obtiene lo siguiente

${\displaystyle 3\mu {\left(\frac{dv}{ds}\right)}^2=-v^3+3\lambda v^2+6\alpha v+6\beta \equiv F(v)}$,

donde

,

${\displaystyle \lambda =(c_1+c_2+c_3)/3}$,

${\displaystyle \alpha =-(c_1{c}_2+c_2{c}_3+c_3{c}_1)/6}$,

${\displaystyle \beta =c_1{c}_2{c}_3/6}$.

Se asume que el polinomio en v, F(v)=0 posee tres raíces reales a fin de asegurar que existan soluciones reales y acotadas. Si ${\displaystyle F(v)=0}$ posee tres raíces reales distintas, las soluciones son trenes uniformes de ondas llamados ondas cnoidales. Si ${\displaystyle F(v)=0}$ tiene una doble raíz, por ejemplo, ${\displaystyle c_1=c_2}$, entonces las soluciones de ondas cnoidales se reducen a ondas solitarias, mientras que si ${\displaystyle c_2=c_3}$, la única posible solución es una constante ${\displaystyle v=c_3}$.

Las soluciones de ondas cnoidales se pueden expresar en términos de las funciones elípticas de Jacobi como sigue:

${\displaystyle v=c_2+(c_3-c_2){\mathrm{cn}}^2\left[{\left(\frac{c_3-c_1}{12\mu }\right)}^{1/2}[x-(c_1+c_2+c_3)t/3],m\right]}$

Símbolo	Nombre	Fórmula
${\displaystyle m}$	Módulo de la función elíptica	${\displaystyle m^2=\frac{c_3-c_2}{c_3-c_1}}$
		${\displaystyle 1\ge m\ge 0}$

En el límite en donde ${\displaystyle c_2\to c_1(m\to 1)}$, esta última expresión para ${\displaystyle v}$ se reduce a una solución de onda solitaria

${\displaystyle v(x,t)=c_2+(c_3-c_2){\mathrm{sech}}^2\left({\left(\frac{c_3-c_1}{12\mu }\right)}^{1/2}[x-(2c_1+c_3)t/3]\right)}$,

Escribiendo ${\displaystyle c_1\equiv v_0}$ y ${\displaystyle c_3-c_1\equiv a_0}$, obtenemos

${\displaystyle v(x,t)=v_0+a_0{\mathrm{sech}}^2\left({\left(\frac{a_0}{12\mu }\right)}^{1/2}[x-(v_0+a_0/3)t]\right)}$.

Esto muestra que la rapidez de la onda, relativa a la velocidad constante ${\displaystyle v_0}$, es proporcional a su amplitud. El ancho de la onda solitaria es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su amplitud y, por lo tanto, entre más amplitud posea será más angosta y viajará más rápido que las ondas de amplitud o altura más bajas.

El hecho de que la ecuación diferencial KdV sea de primer orden en el tiempo, significa que modela la propagación de energía mecánica en una dirección, en el sentido de que todas las ondas solitarias de la forma ${\displaystyle v(x,t)}$ se propagarán en la dirección del incremento de la variable ${\displaystyle x}$. En consecuencia, si dos ondas solitarias se propagan por el mismo medio y la que posee la mayor amplitud comienza su movimiento a la izquierda de la segunda, entonces en algún momento rebasará a esta última.

Origen del término solitón

En los años 60 Norman Zabusky y Martin Kruskal demostraron, en cálculos numéricos, que una simple onda solitaria es estable ya que puede viajar sin deformar su forma.También mostraron que cuando dos ondas solitarias están bien separadas al principio y la de mayor amplitud es colocada a la izquierda de la otra, ocurre que por poseer mayor amplitud y por lo tanto mayor velocidad, rebasa a la más lenta, interactuando no linealmente, y que cuando este proceso finaliza sus posiciones son intercambiadas de tal forma que la de mayor amplitud está situada a la derecha de la de menor amplitud.

Excepto por el intercambio de sus posiciones, la estructura de cada onda solitaria es exactamente la misma después de la interacción no lineal tal cual lo era antes de iniciar la colisión. Así, una onda solitaria es estable aun cuando es sujeta a interacciones no lineales. Esta remarcable estabilidad de las ondas solitarias, en la que se exhibe un comportamiento como de una partícula en mecánica clásica, condujo a Zabusky y a Kruskal a acuñar el término solitón.

Pierre-Simon Laplace

En cálculo vectorial, la ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo elíptico, que recibe ese nombre en honor al físico y matemático Pierre-Simon Laplace.

Introducida por las necesidades de la mecánica newtoniana, la ecuación de Laplace aparece en muchas otras ramas de la física teórica como la astronomía, la electrostática, la mecánica de fluidos o la mecánica cuántica.

Definición

En tres dimensiones, el problema consiste en hallar una función real ${\displaystyle u}$, doblemente diferenciable, de variables reales ${\displaystyle (x,y,z)}$, tal que

En coordenadas cartesianas,

${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{z}^2}=0.}$

En coordenadas cilíndricas ${\displaystyle (\rho ,\phi ,z)}$,

${\displaystyle \frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\rho }\left(\rho \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }\rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{\phi }^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{z}^2}=0}$

En coordenadas esféricas ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$,

${\displaystyle \frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }r}\left(r^2\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\theta }\left(\sin \theta \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }\theta }\right)+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{\varphi }^2}=0}$

Muchas veces se escribe de la siguiente manera:

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^{2}u=0}$

donde ${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^2}$ es el operador de Laplace o "Laplaciano".

Esta ecuación en derivadas parciales, también se puede escribir como

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }u=0,}$

donde ${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot }$ es la divergencia, y ${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$ es el gradiente.

O si no, algunas veces la notación puede ser:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }u=0,}$

donde ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ también es el operador de Laplace.

Las soluciones de la ecuación de Laplace se denominan funciones armónicas.

Si del lado derecho de la igualdad se especifica una función, ${\displaystyle f(x,y,z)}$, es decir, si la ecuación se escribe como:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }u=f}$

entonces se tiene la "ecuación de Poisson", por lo que la ecuación de Laplace es un caso particular de esta. La ecuación de Laplace también es un caso particular de la ecuación de Helmholtz.

La ecuación de Laplace, así como la ecuación de Poisson, son los ejemplos más simples de ecuaciones en derivadas parciales elípticas.

Condiciones de contorno o frontera

Ecuación de Laplace sobre una corona (r=2 y R=4) con condiciones de contorno de Dirichlet: u(r=2)=0 y u(r=4)=4sin(5*θ)

Problema de Dirichlet

Artículo principal: Problema de Dirichlet

El problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace consiste en hallar una solución ${\displaystyle u}$ en algún dominio ${\displaystyle D}$ tal que ${\displaystyle u}$ sobre su contorno o frontera ${\displaystyle \mathrm{\partial }D}$ es igual a una función determinada:

Como el operador de Laplace aparece en la ecuación del calor, una interpretación física de este problema es lo siguiente: fijar la temperatura sobre el contorno del dominio de acuerdo a una especificación determinada de la condición de contorno. La temperatura fluye hasta que alcanza un estado estacionario en el que dicha temperatura en cada punto del dominio no cambia más. La distribución de la temperatura en el interior será entonces la solución correspondiente al problema de Dirichlet.

Problema de Neumann

Artículo principal: Problema de Neumann

Las condiciones de contorno de Neumann para la ecuación de Laplace no especifica la función ${\displaystyle u}$ en sí misma sobre el contorno ${\displaystyle \mathrm{\partial }D}$, pero sí su derivada normal. Físicamente, esto corresponde a la construcción de un potencial para un campo vectorial cuyo efecto es conocido en el contorno de ${\displaystyle D}$:

Las soluciones de la ecuación de Laplace son funciones armónicas; son todas analíticas dentro del dominio donde la ecuación se satisface. Si cualesquiera de dos funciones son soluciones a la ecuación de Laplace (o de cualquier ecuación diferencial homogénea), su suma (o cualquier combinación lineal) es también una solución. Esta propiedad, llamada principio de superposición, es muy útil, por ejemplo, las soluciones de problemas complejos pueden construirse simplemente sumando las soluciones determinadas e variables.

Ecuación de Laplace en dos dimensiones

La ecuación de Laplace en dos variables independientes:

${\displaystyle {\phi }_{xx}+{\phi }_{yy}=0.}$

La ecuación de Laplace aparece modelando varias situaciones físicas que no dependen del tiempo. Puede denotar la temperatura en la ley de Fourier de transferencia de calor, o la concentración química en la ley de Fick de difusión o el potencial electrostática en la ley de Ohm de conducción.

Funciones analíticas

Las partes reales e imaginarias de una función analítica en los complejos satisfacen la ecuación de Laplace. Es decir, si ${\displaystyle z=x+iy}$, y si

${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y),}$

entonces la condición necesaria para que ${\displaystyle f(z)}$ sea analítica es que se satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

${\displaystyle u_x=v_y,v_x=-u_y.}$

donde ${\displaystyle u_x}$ es la primera derivada parcial de ${\displaystyle u}$ con respecto a ${\displaystyle x}$.

Entonces

${\displaystyle u_{yy}=(-v_x{)}_y=-(v_y{)}_x=-(u_x{)}_x.}$

Por lo tanto ${\displaystyle u}$ satisface la ecuación de Laplace. Un cálculo similar demuestra que ${\displaystyle v}$ también satisface la ecuación de Laplace.

A la inversa, dada una función armónica, es la parte real de una función analítica, ${\displaystyle f(z)}$ (al menos localmente). Una forma de probarlo es:

${\displaystyle f(z)=\phi (x,y)+i\psi (x,y),}$

entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfacen:

${\displaystyle {\psi }_x=-{\phi }_y,{\psi }_y={\phi }_x.}$

Esta relación no determina ${\displaystyle \psi }$, sólo sus incrementos:

${\displaystyle d\psi =-{\phi }_{y}dx+{\phi }_{x}dy.}$

La ecuación de Laplace para ${\displaystyle \phi }$ implica que la condición de integrabilidad para ${\displaystyle \psi }$ se satisface:

${\displaystyle {\psi }_{xy}={\psi }_{yx},}$

y así ${\displaystyle \psi }$ puede definirse con una integral de línea. La condición de integrabilidad y el teorema de Stokes implica que el valor de la integral de línea que conecta dos puntos es independiente del camino. El par de soluciones resultante de la ecuación de Laplace se denominan funciones armónicas conjugadas. Esta construcción sólo es válida localmente, o siempre que el camino no esté rodeando a una singularidad. Por ejemplo, si ${\displaystyle r}$ y ${\displaystyle \theta }$ son coordenadas polares y

${\displaystyle \phi =\log r,}$

entonces una función analítica correspondiente es

${\displaystyle f(z)=\log z=\log r+i\theta .}$

Sin embargo, el ángulo ${\displaystyle \phi }$ es univaluada solamente en una región que no incluye al origen.

La estrecha relación entre la ecuación de Laplace y las funciones analíticas establece que cualquier solución de la ecuación de Laplace tiene derivadas en todos los órdenes, y puede expandirse en series de potencias, al menos dentro de un círculo que no incluya una singularidad. Esto está en contraste con las soluciones de la ecuación de onda, que por lo general tiene menor regularidad.

Hay una íntima conexión entre las series de potencias y las series de Fourier. Si expandimos una función ${\displaystyle f}$ en series de potencias dentro de un círculo de radio ${\displaystyle R}$, esto significa que

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n,}$

con coeficientes definidos adecuadamente cuyas partes reales e imaginarias están dadas por:

${\displaystyle c_n=a_n+i{b}_n.}$

Entonces

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left[a_n{r}^n\cos n\theta -b_n{r}^n\sin n\theta \right]+i\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left[a_n{r}^n\sin n\theta +b_n{r}^n\cos n\theta \right],}$

la cual es una serie de Fourier de ${\displaystyle f}$.

Flujo de fluido

Sean las cantidades ${\displaystyle u}$ y ${\displaystyle v}$ las componentes horizontal y vertical del campo de velocidad del flujo incompresible estacionario e irrotacional en dos dimensiones, respectivamente. La condición de que el flujo sea incompresible es que

${\displaystyle u_x+v_y=0,}$

y la condición de que el flujo sea irrotacional es que

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times \mathbf{V}=v_x-u_y=0.}$

Si definimos el diferencial de ${\displaystyle \psi }$ como

${\displaystyle d\psi =vdx-udy,}$

entonces la condición de incompresibilidad es la de integrabilidad para este diferencial: la función resultante se llama función de corriente porque es constante a lo largo de las líneas de flujo. Las primeras derivadas de ${\displaystyle \psi }$ son

${\displaystyle {\psi }_x=v,{\psi }_y=-u,}$

y la condición de irrotacionalidad establece que ${\displaystyle \psi }$ satisface la ecuación de Laplace. La función armónica ${\displaystyle \phi }$, que es el conjugado de ${\displaystyle \psi }$, se denomina potencial de velocidad. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann establecen que

${\displaystyle {\phi }_x=-u,{\phi }_y=-v.}$

Así que, a cada función analítica le corresponde un flujo de fluido incompresible estacionario e irrotacional en el plano. La parte real es el potencial de velocidad, y la parte imaginaria es la función de corriente.

Electrostática

De acuerdo a las ecuaciones de Maxwell, un campo eléctrico (u,v) en un espacio de dos dimensiones que es independiente del tiempo satisface

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times (u,v)=v_x-u_y=0,\\ \mathrm{\nabla }\cdot (u,v)=\rho ,\end{array}}$

donde ${\displaystyle \rho }$ es la densidad de carga. La primera ecuación de Maxwell es la condición de integrabilidad para el diferencial

${\displaystyle d\phi =-udx-vdy,}$

así que el potencial eléctrico ${\displaystyle \phi }$ puede construirse para satisfacer

${\displaystyle {\phi }_x=-u,{\phi }_y=-v.}$

La segunda ecuación de Maxwell establece que

${\displaystyle {\phi }_{xx}+{\phi }_{yy}=-\rho ,}$

conocida como la ecuación de Poisson.

Es importante observar que la ecuación de Laplace puede usarse en problemas de tres dimensiones en electroestática y flujo de fluido así como en dos dimensiones.

Ecuación de Laplace en tres dimensiones

Solución fundamental

Una solución fundamental de la ecuación de Laplace satisface:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=-\delta (x-x^{\prime },y-y^{\prime },z-z^{\prime }),}$

donde la función delta de Dirac ${\displaystyle \delta }$ es una fuente unitaria concentrada en un punto ${\displaystyle (x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }).}$ No es una función en sí, sin embargo puede pensarse como el límite de funciones cuya integral sobre todo el espacio es unitaria, y cuya región donde la función es distinta de cero es sólo en un punto (ver solución débil). Es común elegir una convención de signos diferente para esta ecuación, esto se hace cuando se define la solución fundamental. Frecuentemente la elección de este signo es conveniente para trabajar con un ${\displaystyle -\mathrm{\Delta }}$ que es un operador positivo. Así la definición de la solución fundamental implica que, si el laplaciano de ${\displaystyle u}$ es integrado sobre cualquier volumen que encierra el punto de la fuente, entonces

${\displaystyle {\iiint }_V\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }udV=-1.}$

La ecuación de Laplace no cambia bajo un cambio de coordenadas, y entonces podemos esperar que la solución fundamental puede obtenerse entre soluciones que dependen solamente de la distancia ${\displaystyle r}$ del punto de la fuente. Si elegimos el volumen de una bola de radio ${\displaystyle a}$ alrededor del punto de la fuente, entonces por el teorema de la divergencia de Gauss:

${\displaystyle -1={\iiint }_V\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }udV={\iint }_S{u}_{r}dS=4\pi a^2{u}_r(a).}$

Entonces

${\displaystyle u_r=-\frac{1}{4\pi r^2},}$

sobre una esfera de radio ${\displaystyle r}$ que tiene como centro al punto de la fuente y por lo tanto

${\displaystyle u=\frac{1}{4\pi r}.}$

Un argumento similar muestra que en dos dimensiones:

${\displaystyle u=-\frac{1}{2\pi }\log r.}$

Función de Green

Una función de Green es una solución fundamental que también satisface una condición adecuada en el contorno ${\displaystyle S}$ de un volumen ${\displaystyle V}$. Por ejemplo, ${\displaystyle G(x,y,z;x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}$ satisface

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }G=-\delta (x-x^{\prime },y-y^{\prime },z-z^{\prime })\text{en}V,\\ G=0\text{si}(x,y,z)\text{en}S.\end{array}}$

Ahora si ${\displaystyle u}$ es cualquier solución de la ecuación de Poisson en ${\displaystyle V}$:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }u=-f,}$

y ${\displaystyle u}$ toma valores de contorno ${\displaystyle g}$ sobre ${\displaystyle S}$, entonces podemos aplicar la identidad de Green, una consecuencia del teorema de la divergencia, el cual satisface

${\displaystyle {\iiint }_V\left[G\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }u-u\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }G\right]dV={\iiint }_V\mathrm{\nabla }\cdot \left[G\mathrm{\nabla }u-u\mathrm{\nabla }G\right]dV={\iint }_S\left[G{u}_n-u{G}_n\right]dS.}$

las notaciones ${\displaystyle u_n}$ y ${\displaystyle G_n}$ se refieren a derivadas normales a ${\displaystyle S}$. En vista de que las condiciones satisfacen ${\displaystyle u}$ y ${\displaystyle G}$, este resultado simplifica a

${\displaystyle u(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })={\iiint }_{V}GfdV+{\iint }_S{G}_{n}gdS.}$

Así la función de Green describe la influencia de ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ en ${\displaystyle (x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}$. Para el caso del interior de una esfera de radio ${\displaystyle a}$, la función de Green puede obtenerse por medio de la reflexión:^[1] el punto de la fuente ${\displaystyle P}$ a distancia ${\displaystyle \rho }$ del centro de la esfera se refleja a lo largo de la línea radial al punto ${\displaystyle P^{\prime }}$ que es en una distancia

${\displaystyle {\rho }^{\prime }=\frac{a^2}{\rho }.}$

Se observa que si ${\displaystyle P}$ está dentro de la esfera, entonces ${\displaystyle P^{\prime }}$ estará fuera de la esfera. La función de Green está dada entonces por

${\displaystyle \frac{1}{4\pi R}-\frac{a}{4\pi \rho R^{\prime }},}$

donde ${\displaystyle R}$ es la distancia al punto de la fuente ${\displaystyle P}$ y ${\displaystyle R^{\prime }}$ es la distancia al punto reflejado ${\displaystyle P^{\prime }}$. Una consecuencia de esta expresión para la función de Green es la fórmula integral de Poisson. Sea ${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle \theta }$, y ${\displaystyle \phi }$ las componentes de coordenadas esféricas del punto de la fuente ${\displaystyle P}$. Aquí ${\displaystyle \theta }$ es el ángulo con el eje vertical, la cual es contraria a la notación matemática estadounidense, pero cumple con el estándar europeo y la práctica de la Física. Entonces la solución de la ecuación de Laplace dentro de la esfera está dada por

${\displaystyle u(P)=\frac{1}{4\pi }{a}^3\left(1-\frac{{\rho }^2}{a^2}\right)\iint \frac{g({\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime })\sin {\phi }^{\prime }d{\theta }^{\prime }d{\phi }^{\prime }}{(a^2+{\rho }^2-2a\rho \cos \mathrm{\Theta }{)}^{3/2}},}$

donde

${\displaystyle \cos \mathrm{\Theta }=\cos \phi \cos {\phi }^{\prime }+\sin \phi \sin {\phi }^{\prime }\cos (\theta -{\theta }^{\prime }).}$

Una consecuencia simple de esta fórmula es que si ${\displaystyle u}$ es una función armónica, el valor de ${\displaystyle u}$ dentro de la esfera es el valor medio de los valores sobre la esfera. Esta propiedad de valor medio implica inmediatamente que funciones armónicas no constantes no pueden tomar su valor máximo en un punto interior.

Electrostática

En el espacio libre la ecuación de laplace de cualquier potencial electroestático debe ser igual a cero ya que ${\displaystyle \rho }$ (densidad de carga volumétrica) es cero en el espacio libre.

A partir del gradiente del potencial se obtiene el campo eléctrico

${\displaystyle \mathbf{E}=-\mathrm{\nabla }V}$

Tomando la divergencia del campo eléctrico se obtiene la ecuación de Poisson, que relaciona el potencial eléctrico con la densidad de carga

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^{2}V=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}}$

En el caso particular del espacio libre (${\displaystyle \rho =0}$) la ecuación de Poisson se reduce a la de Laplace.

Usando el teorema de la unicidad y mostrando que un potencial satisface la ecuación de Laplace (la segunda derivada de ${\displaystyle V}$ debería ser cero en el espacio libre) y el potencial tiene los valores correctos en el contorno, el potencial entonces está unívocamente definido.

Un potencial que no satisface la ecuación de Laplace junto con la condición de contorno es un potencial electroestático inválido.

Una antena Yagi. Las ondas de radio pueden radiarse desde una antena acelerando electrones en ella. Este proceso es coherente de modo que la potencia radiada es proporcional al cuadrado del número de electrones acelerados.

La fórmula de Larmor se usa para calcular la potencia total radiada por una carga eléctrica puntual no relativista cuando esta es acelerada o desacelerada. Esta expresión es útil en la electrodinámica y no debe ser confundida con la precesión de Larmor de la resonancia magnética nuclear clásica. La fórmula fue obtenida por primera vez por J. J. Larmor en 1897, en el contexto de la teoría ondulatoria de la luz.

Cuando cualquier partícula cargada (como un electrón, un protón o un ion) se acelera, irradia energía en forma de una onda electromagnética. Para velocidades pequeñas, comparadas con la velocidad de la luz, la potencia total radiada está dada por la fórmula de Larmor:

${\displaystyle P=\frac{q^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}}$ (Unidades del SI),

${\displaystyle P=\frac{2}{3}\frac{q^2{a}^2}{c^3}}$ (Unidades cgs),

donde ${\displaystyle a}$ es la aceleración, ${\displaystyle q}$ es la carga, y ${\displaystyle c}$ es la velocidad de la luz. Los potenciales de Liénard-Wiechert dan una generalización para el caso relativista.

En cualquier sistema de unidades, la potencia radiada por un solo electrón puede expresarse en términos del radio clásico del electrón y de su masa como:

${\displaystyle P=\frac{2}{3}\frac{m_e{r}_e{a}^2}{c}}$

Derivación

1.ª derivación: aproximación matemática

Primero es necesario encontrar la forma de los campos eléctrico y magnético. Estos pueden obtenerse a partir de los potenciales de Liénard-Wiechert.

${\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=q{\left(\frac{\mathbf{n}-\mathit{\beta }}{{\gamma }^2(1-\mathit{\beta }\cdot \mathbf{n}{)}^3{R}^2}\right)}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}}+\frac{q}{c}{\left(\frac{\mathbf{n}\times [(\mathbf{n}-\mathit{\beta })\times \dot{\mathit{\beta }}]}{(1-\mathit{\beta }\cdot \mathbf{n}{)}^{3}R}\right)}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}}}$

y

${\displaystyle \mathbf{B}=\mathbf{n}\times \mathbf{E},}$

donde β es la velocidad de la carga dividida por c, ${\displaystyle \dot{\mathit{\beta }}}$ es la aceleración de la carga dividida por c, n es un vector unitario en la dirección de r − r₀, R es la magnitud de r − r₀, y r₀ es la posición de la carga. Los términos del lado derecho están evaluados en el tiempo retardado, t_r = t − R/c.

El lado derecho de la primera ecuación es la suma de los campos eléctricos asociados a la velocidad y a la aceleración de la partícula cargada. El campo debido a la velocidad depende únicamente de β, mientras que el campo debido a la aceleración depende tanto de β como de ${\displaystyle \dot{\mathit{\beta }}}$ y de la relación angular entre ambos. Debido a que el campo debido a la velocidad es proporcional a 1/R², decae muy rápidamente con la distancia. Por otro lado, el campo debido a la aceleración es proporcional a 1/R, lo que implica que decae más lentamente con la distancia. Debido a esto, el campo debido a la aceleración es representativo del campo de radiación y es el responsable de transportar la mayor parte de la energía desde la carga.

Se puede encontrar la densidad de flujo de energía del campo de radiación calculando el vector de Poynting:

${\displaystyle \mathbf{S}=\frac{c}{4\pi }{\mathbf{E}}_{\text{a}}\times {\mathbf{B}}_{\text{a}},}$

donde los subíndices «a» sirven para resaltar el hecho de que estamos tomando en cuenta solamente el campo debido a la aceleración. Al sustituir la relación entre el campo magnético y eléctrico y suponiendo que la partícula está instantáneamente inmóvil al tiempo t_r y simplificando se obtiene^{[Nota 1]}

${\displaystyle \mathbf{S}=\frac{q^2}{4\pi c}{\left|\frac{\mathbf{n}\times (\mathbf{n}\times \dot{\mathit{\beta }})}{R}\right|}^2.}$

Si hacemos que el ángulo entre el vector de aceleración y el vector que apunta al observador sea igual a θ e introducimos la aceleración ${\displaystyle \mathbf{a}=\dot{\mathit{\beta }}c}$, entonces la potencia radiada por unidad de ángulo sólido es

${\displaystyle \frac{dP}{d\mathrm{\Omega }}=\frac{q^2}{4\pi c}\frac{{\sin }^2(\theta )a^2}{c^2}.}$

La potencia total radiada se encuentra integrando esta cantidad sobre todos los ángulos sólidos (es decir, sobre θ y ϕ). Esto da

${\displaystyle P=\frac{2}{3}\frac{q^2{a}^2}{c^3},}$

que es el resultado de Larmor para una carga acelerada no relativista. Esta expresión relaciona la potencia radiada por la partícula con su aceleración. Claramente se ve que mientras más se acelera la carga, mayor será la radiación. Este es un resultado que se esperaría, puesto que el campo de radiación depende de la aceleración.

2.ª derivación: aproximación de E. M. Purcell

La siguiente derivación fue obtenida por Edward M. Purcell.^[1] Esta aproximación se basa en la velocidad finita de la luz. Una carga moviéndose a velocidad constante tiene un campo eléctrico radial E_r (a una distancia R de la carga), siempre saliendo de una posición futura de la carga, y sin componente tangencial del campo eléctrico (E_t = 0). Esta posición futura es completamente determinista, siempre que la velocidad sea constante. Cuando la velocidad de la carga cambia (digamos al retroceder durante un corto tiempo), la posición futura de la carga «salta», de modo que desde ese momento en adelante el campo eléctrico radial E_r emerge desde una posición nueva. Dado que el campo eléctrico debe ser continuo, aparece una componente tangencial del campo E_t que decrece como 1/R (a diferencia de la componente radial, que decrece como 1/R²).

Entonces, a distancias grandes medidas desde la carga, la componente radial es despreciable, comparada con la componente tangencial. Además de esto, los campos que se comportan como 1/R² no pueden radiar, ya que el vector de Poynting asociado a ellos tendrá un comportamiento como 1/R⁴.

La componente tangencial resulta ser (en unidades del SI):

${\displaystyle E_t=\frac{ea\sin (\theta )}{4\pi {\epsilon }_0{c}^{2}R}.}$

Para obtener la fórmula de Larmor es necesario integrar el vector de Poynting asociado a E_t sobre todos los ángulos a distancias R grandes desde la carga. Esto es:

${\displaystyle \mathbf{S}=\frac{E_t^2}{{\mu }_{0}c}\hat{\mathbf{r}}=\frac{e^2{a}^2{\sin }^2(\theta )}{16{\pi }^2{\epsilon }_0{c}^3{R}^2}\hat{\mathbf{r}},}$

lo que da como resultado

${\displaystyle P=\frac{e^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}.}$

Esto es equivalente matemáticamente a:

${\displaystyle P=\frac{{\mu }_0{e}^2{a}^2}{6\pi c}.}$

Generalización relativista

Forma covariante

Escrita en términos del momento p la fórmula no relativista de Larmor es (en unidades CGS)^[2]

${\displaystyle P=\frac{2}{3}\frac{q^2}{m^2{c}^3}|\dot{\mathbf{p}}{|}^2.}$

Se puede demostrar que la potencia P es un invariante de Lorentz.^[2] Cualquier generalización relativista de la fórmula de Larmor debe entonces relacionar P con alguna otra cantidad invariante de Lorentz. La cantidad |ṗ|² que aparece en la fórmula no relativista sugiere que la fórmula relativista correcta debería incluir el escalar de Lorentz que se encuentra tomando el producto interno de la cuadriaceleración a^μ = dp^μ/dτ consigo misma [aquí, p^μ = (γmc,γmv) es el cuadrimomento]. La generalización relativista correcta de la fórmula de Larmor es (en unidades CGS):^[2]

${\displaystyle P=-\frac{2}{3}\frac{q^2}{m^2{c}^3}\frac{d{p}_{\mu }}{d\tau }\frac{d{p}^{\mu }}{d\tau }.}$

Puede demostrarse que este producto interno está dado por^[2]

${\displaystyle \frac{d{p}_{\mu }}{d\tau }\frac{d{p}^{\mu }}{d\tau }={\beta }^2{\left(\frac{dp}{d\tau }\right)}^2-{\left(\frac{d\mathbf{p}}{d\tau }\right)}^2,}$

Por lo tanto, en el límite cuando β ≪ 1, se reduce a −|ṗ|², reproduciendo entonces el caso no relativista.

Forma no covariante

El producto interno anterior puede escribirse también en términos de β y su derivada temporal. Entonces, la generalización relativista de la fórmula de Larmor es (en unidades CGS):^[2]

${\displaystyle P=\frac{2q^2{\gamma }^6}{3c}\left[(\dot{\mathit{\beta }}{)}^2-(\mathit{\beta }\times \dot{\mathit{\beta }}{)}^2\right].}$

Este es el resultado de Liénard, obtenido por primera vez en 1898. La cantidad γ⁶ implica que cuando el factor de Lorentz es cercano a uno,

${\displaystyle \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\approx 1}$

(y, por lo tanto, β ≪ 1), la radiación emitida por la partícula es seguramente despreciable. Sin embargo, conforme β tiende a uno, la radiación crece como γ⁶ mientras la partícula pierde energía en forma de ondas electromagnéticas. Asimismo, cuando la aceleración y la velocidad son ortogonales, la potencia se reduce en un factor 1 − β² = 1/γ². Es decir, el factor γ⁶ se convierte en γ⁴. Mientras el movimiento se vuelve más rápido, esta reducción se vuelve mayor.

Podemos utilizar el resultado de Liénard para predecir el tipo de pérdidas de radiación que se esperarían en diferentes clases de movimiento.

Distribución angular

La distribución angular de la potencia radiada está dada por una fórmula general que es válida tanto para partículas clásicas como relativistas. En unidades CGS, esta fórmula es^[3]

${\displaystyle \frac{dP}{d\mathrm{\Omega }}=\frac{q^2}{4\pi c}\frac{|\hat{\mathbf{n}}\times [(\hat{\mathbf{n}}-\mathit{\beta })\times \dot{\mathit{\beta }}]{|}^2}{(1-\hat{\mathbf{n}}\cdot \mathit{\beta }{)}^5},}$

donde n̂ es un vector unitario que apunta desde la partícula hacia el observador. En el caso de movimiento lineal (velocidad paralela a la aceleración), lo anterior se simplifica a^[4]

${\displaystyle \frac{dP}{d\mathrm{\Omega }}=\frac{q^2{a}^2}{4\pi c^3}\frac{{\sin }^2\theta }{(1-\beta \cos \theta {)}^5},}$

donde θ es el ángulo entre el observador y el movimiento de la partícula.

Implicaciones

Reacción de la radiación

La radiación proveniente de una partícula cargada transporta energía y momento. Para que se satisfaga la conservación de la energía y el momento, la partícula debe experimentar un retroceso al momento de la emisión. La radiación debe ejercer una fuerza adicional en dicha partícula. Esta fuerza es conocida como fuerza de Abraham-Lorentz en el límite no relativista y como fuerza de Abraham-Lorentz-Dirac en el marco relativista.

Física atómica

Un electrón clásico que orbita un núcleo experimenta una aceleración y, por tanto, debería radiar. En este caso el electrón pierde energía y finalmente debería caer en espiral hacia el núcleo. Por esta razón, los átomos, de acuerdo con la mecánica clásica, son inestables. Esta predicción clásica se viola puesto que se observa que las órbitas de los electrones son estables. El problema se resuelve con la descripción de la física atómica dada por la mecánica cuántica.