EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 La ecuación de Allen-Cahn, por John W. Cahn y Sam Allen, es una ecuación de reacción-difusión de física matemática que describe el proceso de separación de fases en sistemas de aleaciones de varios componentes, incluidas las transiciones de orden-desorden.

La ecuación describe la evolución temporal de una variable de estado escalar-valorada ${\displaystyle \eta }$ en un dominio ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ durante un intervalo de tiempo ${\displaystyle \mathcal{T}}$, y está dado por:^[1][2]

Ecuación	En
${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\eta }{\mathrm{\partial }t}=M_{\eta }[\mathrm{div}({\epsilon }_{\eta }^2\mathrm{\nabla }\eta )-f^{\prime }(\eta )]}$	${\displaystyle \mathrm{\Omega }\times \mathcal{T}}$
${\displaystyle \eta =\overline{\eta }}$	${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{\eta }\mathrm{\Omega }\times \mathcal{T}}$
${\displaystyle -({\epsilon }_{\eta }^2\mathrm{\nabla }\eta )\cdot m=q}$	${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_q\mathrm{\Omega }\times \mathcal{T}}$
${\displaystyle \eta ={\eta }_o}$	${\displaystyle \mathrm{\Omega }\times \{0\}}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle M_{\eta }}$	Movilidad
${\displaystyle f}$	Densidad de energía libre
${\displaystyle \overline{\eta }}$	Control de la variable de estado en la parte del límite ${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{\eta }\mathrm{\Omega }}$
${\displaystyle q}$	Control de fuente en ${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_q\mathrm{\Omega }}$
${\displaystyle {\eta }_o}$	Condición inicial
${\displaystyle m}$	Normal al exterior ${\displaystyle \mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }}$

es el flujo de gradiente L² de la energía libre de Ginzburg – Landau – Wilson funcional.^[3] Está estrechamente relacionado con la ecuación de Cahn-Hilliard. En una dimensión espacial, Xinfu Chen da una descripción muy detallada de un artículo.

La ecuación de Black es un modelo matemático que estima el tiempo medio de operación entre fallos de un circuito semiconductor debido a la electromigración, un fenómeno de agitación molecular del estado sólido en presencia de un campo electromagnético.

Simbología

Simbología

Símbolo	Nombre	Unidad
${\displaystyle E_a}$	Energía de activación	eV
${\displaystyle MTF}$	Tiempo medio de operación entre fallos (Mean time of failure)
${\displaystyle j}$	Densidad de corriente	A / m2
${\displaystyle n}$	Parámetro del modelo
${\displaystyle T}$	Temperatura	K
	Constantes
${\displaystyle A}$	Constante
${\displaystyle k_{\mathrm{B}}}$	Constante de Boltzmann	eV / K

Descripción

${\displaystyle MTF=\frac{A}{j^n}{e}^{\left(\frac{E_a}{k_{\mathrm{B}}T}\right)}}$

El modelo es abstracto, no está basado en un modelo físico específico, pero describe de forma flexible la dependencia de la tasa de fallo con la temperatura (${\displaystyle T}$), la tensión eléctrica a la que se somete al material y la tecnología concreta. Siendo un modelo más descriptivo que predictivo, los valores de (${\displaystyle A}$), (${\displaystyle n}$) y (${\displaystyle E_a}$) se obtienen mediante ajuste de los datos experimentales.

La utilidad del modelo reside en su capacidad de relacionar datos tomados bajo condiciones extremas de temperatura (${\displaystyle T}$) y tensión en breves periodos de tiempo con las tasas de fallo esperables bajo condiciones habituales de funcionamiento. Los datos se obtienen sometiendo al material a pruebas a alta temperatura.

La ecuación de Cahn-Hilliard, formulada por los estadounidenses John Werner Cahn y John E. Hilliard en 1957, es una ecuación de física matemática que describe el proceso de separación de fases, por el cual los dos componentes de un fluido binario se separan espontáneamente y forman dominios puros en cada componente. Si ${\displaystyle c}$ es la concentración del fluido, con ${\displaystyle c=\pm 1}$ indicando dominios, entonces la ecuación se escribe de la siguiente manera:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }c}{\mathrm{\partial }t}=D{\mathrm{\nabla }}^2\left(c^3-c-\gamma {\mathrm{\nabla }}^{2}c\right)}$

Símbolo	Nombre	Unidad	Fórmula
${\displaystyle D}$	Coeficiente de difusión	m2 / s
${\displaystyle \sqrt{\gamma }}$	Longitud de las regiones de transición entre los dominios
${\displaystyle \mathrm{\partial }/\mathrm{\partial }t}$	Derivada parcial respecto al tiempo
${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^2}$	Laplaciana en ${\displaystyle n}$ dimensiones
${\displaystyle \mu }$	Potencial químico		${\displaystyle \mu =c^3-c-\gamma {\mathrm{\nabla }}^{2}c}$

Relacionado con ello está la ecuación de Allen-Cahn, así como la ecuación estocástica de Cahn-Hilliard y la ecuación estocástica de Allen-Cahn.

Características y aplicaciones

La existencia de una solución única de la ecuación de Cahn-Hilliard es de gran interés para los matemáticos, dada por datos iniciales suaves. La prueba se basa esencialmente en la existencia de una Función de Lyapunov. Específicamente, si se identifica

${\displaystyle F[c]=\int d^{n}x\left[\frac{1}{4}{\left(c^2-1\right)}^2+\frac{\gamma }{2}{\left|\mathrm{\nabla }c\right|}^2\right],}$

como una función de energía libre, entonces

${\displaystyle \frac{dF}{dt}=-\int d^{n}x{\left|\mathrm{\nabla }\mu \right|}^2,}$

para que la energía libre no crezca con el tiempo. Esto también indica que la segregación en dominios es el resultado asintótico de la evolución de esta ecuación.

En experimentos reales se observa la segregación de un fluido binario inicialmente mezclado en dominios. La segregación se caracteriza por los siguientes hechos:

Evolución de datos iniciales aleatorios bajo la ecuación de Cahn-Hilliard con ${\displaystyle \gamma =0.5}$ y ${\displaystyle C=0}$, demostrando separación de fases

• Hay una capa de transición entre los dominios segregados, con un perfil dado por la función ${\displaystyle c(x)=\tanh \left(\frac{x}{\sqrt{2\gamma }}\right),}$ y por lo tanto un espesor típico ${\displaystyle \sqrt{\gamma }}$ porque esta función es una solución de equilibrio de la ecuación de Cahn-Hilliard.
• También es interesante el hecho de que los dominios segregados crecen con el tiempo como una ley de poder. Es decir, si ${\displaystyle L(t)}$ es el tamaño de dominio típico, entonces ${\displaystyle L(t)\propto t^{1/3}}$. Esta es la ley Lifshitz-Slyozov, que ha sido probada rigurosamente para la ecuación de Cahn-Hilliard y observada en simulaciones numéricas y experimentos reales sobre fluidos binarios.
• La ecuación de Cahn-Hilliard tiene la forma de una ley de conservación, ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }c}{\mathrm{\partial }t}=\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{j}(x),}$ con ${\displaystyle \mathbf{j}(x)=D\mathrm{\nabla }\mu }$. De este modo, el proceso de separación de fases conserva la concentración total ${\displaystyle C=\int d^{n}xc\left(x,t\right)}$, de forma que ${\displaystyle \frac{dC}{dt}=0}$.
• Cuando una fase es significativamente más abundante, la ecuación de Cahn-Hilliard puede mostrar el fenómeno conocido como Maduración de Ostwald, donde la fase minoritaria forma gotas esféricas y las gotas más pequeñas son absorbidas por difusión en las más grandes.

Las ecuaciones de Cahn-Hilliard encuentran aplicaciones en diversos campos: en fluidos complejos y materia blanda, flujo de fluidos interfaciales, ciencia de polímeros y aplicaciones industriales. La solución de la ecuación de Cahn-Hilliard para una mezcla binaria demostró coincidir bien con la solución de un problema de Stefan y el modelo de Thomas y Windle.^[1] De interés para los investigadores en la actualidad es el acoplamiento de la separación de fases de la ecuación de Cahn-Hilliard a las ecuaciones de Navier-Stokes de flujo de fluido.

La ecuación de estado isotérmica de Birch-Murnaghan, publicada en 1947 por Albert Francis Birch de la Universidad de Harvard,^[1] es una relación entre el volumen de un cuerpo y la presión a la que está sometido. Birch propuso esta ecuación basándose en el trabajo de Francis Dominic Murnaghan de la Universidad Johns Hopkins publicado en 1944,^[2] por lo que la ecuación se nombra en honor a ambos científicos. La ecuación generaliza y aumenta el rago de aplicabilidad de la ecuación de estado de Murnaghan.

Expresiones para la ecuación de estado

La ecuación de estado isotérmica de Birch-Murnaghan de tercer orden está dada por

${\displaystyle P(V)=\frac{3B_0}{2}\left[{\left(\frac{V_0}{V}\right)}^{\frac{7}{3}}-{\left(\frac{V_0}{V}\right)}^{\frac{5}{3}}\right]\left\{1+\frac{3}{4}\left(B_0^{\mathrm{\prime }}-4\right)\left[{\left(\frac{V_0}{V}\right)}^{\frac{2}{3}}-1\right]\right\}.}$

donde P es la presión, V₀ es el volumen de referencia, V es el volumen deformado, B₀ es el módulo de volumen y B'₀ es la derivada del módulo de volumen con respecto a la presión. El módulo volumétrico y su derivada generalmente se obtienen de ajustes a datos experimentales y se definen a partir del módulo de compresibilidad:

${\displaystyle B:=-V{\left(\frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }V}\right)}_T}$

Las dos constantes ${\displaystyle B_0}$ y ${\displaystyle B_0^{\prime }}$ se definen como límites para ${\displaystyle P=0}$:

${\displaystyle B_0=\underset{P\to 0}{lim}B=-V{\left(\frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }V}\right)}_{T,(P=0)}}$

y donde

${\displaystyle B_0^{\prime }=\underset{P\to 0}{lim}{\left(\frac{\mathrm{\partial }B}{\mathrm{\partial }P}\right)}_T}$

La expresión de la ecuación de estado se obtiene expandiendo la energía libre f en forma de serie:

${\displaystyle f=\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{V}{V_0}\right)}^{-\frac{2}{3}}-1\right].}$

La energía interna, E(V), se encuentra mediante la integración de la presión:

${\displaystyle E(V)=E_0+\frac{9V_0{B}_0}{16}\left\{{\left[{\left(\frac{V_0}{V}\right)}^{\frac{2}{3}}-1\right]}^3{B}_0^{\mathrm{\prime }}+{\left[{\left(\frac{V_0}{V}\right)}^{\frac{2}{3}}-1\right]}^2\left[6-4{\left(\frac{V_0}{V}\right)}^{\frac{2}{3}}\right]\right\}.}$

^[