AMIGOS PARA SIEMPRE: EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

En física, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido viscoso, nombradas así en honor al ingeniero y físico francés Claude-Louis Navier y al físico y matemático anglo irlandés George Gabriel Stokes. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos.

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial, se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella en la que los esfuerzos tangenciales guardan una relación lineal con el gradiente de velocidad (ley de viscosidad de Newton), obteniendo de esta manera la formulación diferencial que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos.^{[cita requerida]}

Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones. Y, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, no es posible hallar una solución analítica, por lo que en muchas ocasiones es preciso recurrir al análisis numérico para determinar una solución aproximada. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de la obtención de estas soluciones mediante métodos numéricos se le denomina dinámica de fluidos computacional (CFD, de su acrónimo anglosajón Computational Fluid Dynamics).^{[cita requerida]}

Las ecuaciones de Navier-Stokes también son de gran interés desde un punto de vista puramente matemático. A pesar de su amplia gama de aplicaciones prácticas, la conjetura de que poseen soluciones suaves (es decir, infinitamente diferenciables) o acotadas en tres dimensiones ha permanecido como un problema sin resolver durante muchos años. Este se conoce como el «problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes». El Instituto Clay de Matemáticas lo ha catalogado como uno de los siete problemas abiertos más importantes de las matemáticas, y ha ofrecido un premio de un millón de dólares por una solución o un contraejemplo.^[1]^[2]

A pesar de no haber tenido aún una revisión formal de pares, OpenAI se adjudica haber resuelto el problema de existencia y suavidad de Navier-Strokes el 8 de septiembre del 2026 en una publicación oficial. La solución todavía no ha sido presentada al público. Pero indican haberlo resuelto con un modelo interno de IA de nueva generación más capaz que el nuevo modelo de IA GPT-6 Astra lanzado recientemente.

Conceptos previos

Derivada sustancial o material

Debido a que generalmente se adopta la descripción euleriana, la derivada ordinaria ${\partial \phi }/{\partial t}$ ya no representa toda la variación por unidad de tiempo de una determinada propiedad del fluido (o magnitud fluida) ${\phi }$ siguiendo a la partícula fluida. Esto se debe al movimiento del fluido. Para reflejar esta variación, se usa la derivada sustancial (o derivada siguiendo a la partícula fluida). La derivada sustancial o derivada material se define como el operador:

${\frac {D}{Dt}}(\star )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial (\star )}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla (\star )$

donde $\mathbf {v}$ es la velocidad del fluido. El primer término representa la variación de la propiedad en un punto fijo del espacio y, por ello, se le denomina derivada local, mientras que el segundo representa la variación de la propiedad asociada al cambio de posición de la partícula fluida, y se le denomina derivada convectiva. Este es el procedimiento que sigue José Echegaray para demostrar la derivada material. Véase una demostración de cómo llegar a una derivada material. Tomando las coordenadas de Euler como:

$\mathbf {v} =v_{x}(x,y,z,t){\hat {\mathbf {i} }}+v_{y}(x,y,z,t){\hat {\mathbf {j} }}+v_{z}(x,y,z,t){\hat {\mathbf {k} }}$

Se calculará la aceleración para estas coordenadas:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {dv_{x}}{dt}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\frac {dv_{y}}{dt}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\frac {dv_{z}}{dt}}{\hat {\mathbf {k} }}$

Se desarrolla cada derivada total de cada componente. Así, se podrá seguir un desarrollo fácil de recordar:

${\frac {Dv_{x}}{Dt}}i={\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}i+v_{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}i+v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}i+v_{z}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}i$
${\frac {Dv_{y}}{Dt}}j={\frac {\partial v_{y}}{\partial t}}j+v_{x}{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}j+v_{y}{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}j+v_{z}{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}j$
${\frac {Dv_{z}}{Dt}}k={\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}k+v_{x}{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}k+v_{y}{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}k+v_{z}{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}k$

Si se suma término a término y se saca factor común, puede obtenerse:

${\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}={\frac {\partial (v_{x}i+v_{y}j+v_{z}k)}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial (v_{x}i+v_{y}j+v_{z}k)}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial (v_{x}i+v_{y}j+v_{z}k)}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial (v_{x}i+v_{y}j+v_{z}k)}{\partial z}}$
${\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+[v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}]\mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v}$

Las derivadas parciales espaciales se pueden escribir como $\mathbf {v} \cdot \nabla$ .

Si ahora se sustituye la velocidad por $(\star )$ , se obtendrá formalmente la expresión de la derivada material:

${\frac {D}{Dt}}(\star )={\frac {\partial (\star )}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )(\star )$

Teorema del transporte de Reynolds

Artículo principal: Teorema del transporte de Reynolds

Si la derivada sustancial permite calcular la variación de una magnitud, ligada a una partícula fluida, el teorema del transporte de Reynolds permitirá calcular la variación de una magnitud fluida extensiva ligada a un volumen fluido. Existe, por tanto, una analogía entre ambos conceptos, pues una partícula fluida no es más que un volumen fluido infinitesimal. En su forma general, el teorema del transporte de Reynolds se expresa como:

${\frac {D}{Dt}}\int _{V_{f}(t)}\phi \;d\Omega ={\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V_{c}(t)}\phi \;d\Omega +\int _{S_{c}(t)}\phi \left(\mathbf {v-v_{c}} \right)\cdot \mathbf {n} \;d\sigma$

donde $\phi$ es la magnitud fluida extensiva definida por unidad de volumen (una magnitud extensiva por unidad de volumen es una magnitud intensiva), $V_{f}$ es un volumen fluido, $V_{c}$ es un volumen de control que coincide con $V_{f}$ en el instante t, $S_{c}$ la superficie de dicho volumen de control, $\mathbf {v}$ la velocidad del fluido y $\mathbf {v_{c}}$ la velocidad de la superficie de control.^{[cita requerida]}

El segundo término del miembro derecho representa el flujo convectivo de la magnitud fluida extensiva a través de la superficie de control que limita el volumen de control. Se define el flujo convectivo de una magnitud fluida extensiva a través de una superficie de control como la cantidad de dicha magnitud que, transportada por el fluido, atraviesa la superficie de control en la unidad de tiempo.^{[cita requerida]}

En términos coloquiales, el teorema del transporte de Reynolds afirma que la variación de una propiedad extensiva en un volumen fluido es igual a la variación de dicha propiedad en el interior de ese volumen más la cantidad de dicha propiedad que atraviesa la superficie del volumen.^{[cita requerida]}

Teorema de la divergencia

Artículo principal: Teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia (o teorema de Gauss) permite, bajo ciertas hipótesis, transformar integrales de superficie en integrales de volumen (y viceversa). En el caso particular de tres dimensiones, puede expresarse como:

$\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{\partial V}\mathbf {F\cdot n} \;dS$

Las ecuaciones de Navier-Stokes

Esta expresión representa el principio de conservación del momento lineal aplicada a un fluido general:

\rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}=\rho F_{i}-{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[2\mu \left(e_{ij}-\Delta \delta _{ij}/3\right)\right]

La ley de conservación de la masa se escribe:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \rho u_{i}}{\partial x_{i}}}=0

En estas ecuaciones, ρ representa la densidad, u_i (i = 1,2,3) las componentes cartesianas de la velocidad, F_i el campo de aceleraciones creado por las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo, como la gravedad, P la presión del fluido y μ la viscosidad dinámica.^{[cita requerida]}

e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)

donde Δ = e_ii es la divergencia del fluido y δij la delta de Kronecker. D / Dt es la derivada total o derivada material temporal siguiendo el fluido:

{\frac {D}{Dt}}(\cdot )\equiv {\frac {\partial (\cdot )}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )(\cdot )

La no linealidad de las ecuaciones se debe precisamente al término relacionado con la derivada total. Cuando μ es uniforme sobre todo el fluido, las ecuaciones de fluido se simplifican de la manera siguiente:

$\rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}=\rho F_{i}-{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}+{\frac {1}{3}}{\frac {\partial ^{2}u_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)$

O, en forma vectorial:

$\rho {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\rho \mathbf {k} -{\boldsymbol {\nabla }}P+\mu \left({\frac {1}{3}}{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} )+{\boldsymbol {\nabla }}^{2}\mathbf {u} \right)$

Casos particulares

Para fluidos de viscosidad nula, es decir cuando μ = 0, las ecuaciones resultantes se denominan ecuaciones de Euler que se utilizan en el estudio de fluidos compresibles y en ondas de choque:

${\partial \mathbf {v} \over \partial t}+(\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})(\mathbf {v} )+{1 \over \rho }{\boldsymbol {\nabla }}P=\mathbf {g}$

Por otra parte si se considera un fluido viscoso pero incompresible, entonces la densidad ρ puede ser considerada constante (como en un líquido) y las ecuaciones resultan ser:

\rho \left({\partial v_{x} \over \partial t}+v_{x}{\partial v_{x} \over \partial x}+v_{y}{\partial v_{x} \over \partial y}+v_{z}{\partial v_{x} \over \partial z}\right)=\mu \left[{\partial ^{2}v_{x} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v_{x} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}v_{x} \over \partial z^{2}}\right]-{\partial P \over \partial x}+\rho g_{x}

\rho \left({\partial v_{y} \over \partial t}+v_{x}{\partial v_{y} \over \partial x}+v_{y}{\partial v_{y} \over \partial y}+v_{z}{\partial v_{y} \over \partial z}\right)=\mu \left[{\partial ^{2}v_{y} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v_{y} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}v_{y} \over \partial z^{2}}\right]-{\partial P \over \partial y}+\rho g_{y}

\rho \left({\partial v_{z} \over \partial t}+v_{x}{\partial v_{z} \over \partial x}+v_{y}{\partial v_{z} \over \partial y}+v_{z}{\partial v_{z} \over \partial z}\right)=\mu \left[{\partial ^{2}v_{z} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v_{z} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}v_{z} \over \partial z^{2}}\right]-{\partial P \over \partial z}+\rho g_{z}

y la ecuación de continuidad adquiere la forma siguiente:

{\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}=0

Uso de ecuaciones de Navier-Stokes en videojuegos

Las ecuaciones de Navier - Stokes se utilizan ampliamente en videojuegos para modelar una amplia variedad de fenómenos naturales. Las simulaciones de fluidos gaseosos a pequeña escala, como fuego y humo, a menudo se basan en el artículo seminal "Real-Time Fluid Dynamics for Games" ("Dinámica de fluidos en tiempo real para juegos")^[3] de Jos Stam, que elabora uno de los métodos propuestos en el artículo anterior y más famoso de Stam, "Stable Fluids" ^[4] de 1999. Stam propone una simulación de fluidos estable utilizando un método de solución de Navier – Stokes de 1968, junto con un esquema de advección semi-lagrangiano incondicionalmente estable, como se propuso por primera vez en 1992.

Las implementaciones más recientes basadas en este trabajo se ejecutan en las unidades de procesamiento de gráficos (GPU) de los sistemas de juego en lugar de la unidad central de procesamiento (CPU) y logran un grado de rendimiento mucho mayor.^[5]^[6] Se han propuesto muchas mejoras al trabajo original de Stam, que adolece inherentemente de una alta disipación numérica tanto en velocidad como en masa.

La ecuación de Nernst se utiliza para calcular el potencial de reducción de un electrodo fuera de las condiciones estándar (concentración 1 M, presión de 1 atm, temperatura de 298 K o 25 °C). Se llama así en honor al científico alemán Walther Nernst, que fue quien la formuló en 1889.

Ecuación

$E=E^{\circ }-{\frac {RT}{nF}}\ln(Q)$

siendo:

$E$ el potencial corregido del electrodo.
$E^{\circ }$ el potencial en condiciones estándar (los potenciales se encuentran tabulados para diferentes reacciones de reducción).
$R$ la Constante de los gases ideales en Joules sobre Kelvin por mol.
$T$ la temperatura absoluta (escala Kelvin).
$n$ la cantidad de mol de electrones que participan en la reacción.
$F$ la constante de Faraday (aproximadamente 96500 C/mol).
$Q$ el cociente de reacción correspondiente.

Así para la reacción: $a\mathrm {A} +b\mathrm {B} \rightarrow c\mathrm {C} +d\mathrm {D}$ , la expresión de $Q$ es:

$Q={\frac {\displaystyle \prod _{j}a_{j}^{n_{j}}}{\displaystyle \prod _{i}a_{i}^{n_{i}}}}={\frac {\mathrm {[C]} ^{c}\mathrm {[D]} ^{d}}{\mathrm {[A]} ^{a}\mathrm {[B]} ^{b}}}$

Donde:

$a_{j}$ y $a_{i}$ es la actividad de los productos y reactivos respectivamente.
$n_{j}$ y $n_{i}$ es el coeficiente estequiométrico de los productos y reactivos respectivamente.

En la aproximación de la expresión, ${\rm {[C]}}$ y ${\rm {[D]}}$ son las presiones parciales y/o concentraciones molares en caso de gases o de iones disueltos, respectivamente, de los productos de la reacción; ${\rm {[A]}}$ y ${\rm {[B]}}$ ídem para los reactivos. Los exponentes son la cantidad de moles de cada sustancia implicada en la reacción (coeficientes estequiométricos). A las sustancias en estado sólido se les asigna concentración unitaria, por lo que no aparecen en $Q$ .

En realidad, los potenciales de las células electroquímicas están relacionados con las actividades de los reactivos y los productos de la reacción, que a su vez están relacionadas con las respectivas concentraciones molares. No obstante, con frecuencia se hace la aproximación de que las actividades son iguales a las concentraciones molares, pero es conveniente tener en cuenta que esto es una aproximación y que como tal, puede conducir a resultados erróneos.

Para una reacción genérica:

$a\mathrm {A} +b\mathrm {B} \leftrightarrows c\mathrm {C} +d\mathrm {D}$

La constante de equilibrio para esta reacción viene dada por:

$K={\frac {(a_{\rm {C}})^{c}(a_{\rm {D}})^{d}}{(a_{\rm {A}})^{a}(a_{\rm {B}})^{b}}}$

Además se define Q (cociente de reacción) como:

$Q={\frac {(a_{\rm {C}}^{\rm {ins}})^{c}(a_{\rm {D}}^{\rm {ins}})^{d}}{(a_{\rm {A}}^{\rm {ins}})^{a}(a_{\rm {B}}^{\rm {ins}})^{b}}}$

donde el superíndice ins indica que las actividades son instantáneas y no las actividades de equilibrio. Por tanto, $Q$ no es una constante, sino que está cambiando de forma continua hasta que se alcanza el equilibrio y entonces $Q=K$ .

El máximo trabajo que puede obtenerse, a presión y temperatura constantes, de una celda viene dado por la variación de energía libre, $\Delta {G}$

$\Delta {G}=RT\ln Q-RT\ln K=RT\ln {\frac {Q}{K}}$

Por otra parte, el potencial de celda se relaciona con la variación de energía libre mediante la ecuación:

$\Delta {G}=\ -nFE_{\rm {cel}}$

donde $\ F$ es 96485 culombios por mol de electrones y $n$ es el número de electrones asociados al proceso

Combinando las dos ecuaciones anteriores se obtiene:

$E_{\rm {cel}}=-{\frac {RT}{nF}}\ln {\frac {(a_{\rm {C}}^{\rm {ins}})^{c}(a_{\rm {D}}^{\rm {ins}})^{d}}{(a_{\rm {A}}^{\rm {ins}})^{a}(a_{\rm {B}}^{\rm {ins}})^{b}}}+{\frac {RT}{nF}}\ln K$

El término ${\frac {RT}{nF}}\ln K$ se denomina potencial estándar de electrodo de celda, $E_{\rm {cel}}^{\circ }$

Por lo que, la ecuación de Nernst queda:

$E_{\rm {cel}}=E_{\rm {cel}}^{\circ }-{\frac {RT}{nF}}\ln {\frac {(a_{\rm {C}}^{\rm {ins}})^{c}(a_{\rm {D}}^{\rm {ins}})^{d}}{(a_{\rm {A}}^{\rm {ins}})^{a}(a_{\rm {B}}^{\rm {ins}})^{b}}}$

Como puede observarse, cuando los reactivos y productos tienen valores de actividad tales que $Q=1$ , entonces el potencial de celda es igual al potencial estándar. Aproximando la actividad a concentración molar y teniendo en cuenta que los valores de concentración son instantáneos se obtiene la expresión:

$E_{\rm {cel}}=E_{\rm {cel}}^{\circ }-{\frac {RT}{nF}}\ln {\frac {\mathrm {[C]} ^{c}\mathrm {[D} ]^{d}}{\mathrm {[A]} ^{a}\mathrm {[B]} ^{b}}}$

Aplicación a pilas

La fuerza electromotriz de una pila se calcula con la siguiente expresión:

$\Delta E={E_{Red}}_{catodo}-{E_{Red}}_{anodo}$

Ambos potenciales de reducción se calculan con la ecuación de Nernst, por lo tanto sacando factor común y operando con los logaritmos se obtiene la siguiente ecuación:

$\Delta E=\Delta E^{0}-{\frac {RT}{nF}}\ln(Q)$

donde $\Delta E$ es la diferencia de potencial corregida de la pila y $\Delta E^{0}$ la diferencia de potencial de la pila en condiciones estándar, es decir calculada con las reacciones tabuladas, sin corregir con la ecuación de Nernst para electrodos.

Ejemplo de aplicación

En la pila de reacción

${\ce {2 Al (s) + 3 Zn^{2+}-> 2 {Al}^{3+}+ 3 Zn (s)}}$

se intercambian 6 moles de electrones, por lo tanto:

n=6{\rm {\ mol\ e^{-}}}

Q={\rm {\frac {[Al^{3+}]^{2}}{[Zn^{2+}]^{3}}}}

Donde [ ] denota concentración.

Si sólo se busca el potencial corregido del cátodo (reducción) entonces:

$Q={\rm {\frac {1}{[Zn^{2+}]^{3}}}}$

debido a que la reacción de reducción tiene como producto Zn sólido, al cual se le asigna concentración unitaria.

Simplificación por temperatura estándar

Teniendo en cuenta los valores de las constantes universales $R$ y $F$ en la ecuación de Nernst, el factor 2,302 para el cambio de logaritmo neperiano a logaritmo decimal y sabiendo que a temperatura estándar de 25 °C, la temperatura absoluta es T = 298,15 K la ecuación se reduce a:

$E=E_{0}-{\frac {0,05916}{n}}\log _{10}(Q)$

$\Delta E=\Delta E^{\rm {o}}-{\frac {0,05916}{n}}\log _{10}(Q)$

Estas versiones simplificadas son las más utilizadas para electrodos y pilas a temperatura ambiente puesto que el error que se produce por diferencias entre la temperatura real y la expresada en la ecuación es despreciable.

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domingo, 18 de octubre de 2026

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