Análisis de la varianza
modelo de efectos aleatorios, también conocido como modelo de componentes de la varianza, es una especie de modelo lineal jerárquico. Se supone que el conjunto de datos que se analiza consiste en una jerarquía de diferentes poblaciones cuyas diferencias se refieren a esa jerarquía. En econometría, se utilizaron modelos de efectos aleatorios en el análisis de la jerárquica o de datos de panel cuando se supone no hay efectos fijos (que permite efectos individuales). El modelo de efectos aleatorios es un caso especial del modelo de efectos fijos. En contraste esto con las definiciones bioestadísticas,1 2 3 4 que utilizan efectos "fijos" y "al azar" para referirse, respectivamente, a los efectos de la población de la media y específicas (y, de ser éstos generalmente desconocidos, por lo que se usan variables latentes).- ......................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=b11e5a19dd5cea0745c2bdfb02ae44c0c02580b3&writer=rdf2latex&return_to=Modelo+de+efectos+aleatorios
En este modelo se asume que las k muestras son muestras aleatorias de k situaciones distintas y aleatorias. De modo que un valor aislado Yijse puede escribir como:
donde m es la media global, eij son variables (una para cada muestra) distribuidas normalmente, con media 0 y varianza s2 (como en el modelo I) y Ai es una variable distribuida normalmente, independiente de las eij, con media 0 y varianza 
La diferencia con respecto al modelo I es que en lugar de los efectos fijos ai ahora se consideran efectos aleatorios Ai.
Igual que en el modelo I se encuentra que MSE no se modifica en la H1y que al valor esperado de MSA se le añade el término de componente añadida (que aquí es una verdadera varianza ya que Ai es una variable aleatoria):
Para llegar a este resultado se utiliza la asunción de independencia entre Ai y eij y es, por tanto, muy importante en el modelo y conviene verificar si es correcta en cada caso. En el ejemplo de las cobayassignificaría que las variaciones de grasa en el hígado de cada cobaya son independientes de las variaciones entre cobayas. Esta asunción se violaría si, por ejemplo, en el animalario existieran 2 cepas genéticas tales que en una de ellas la concentración de grasa en las células hepáticas fuera mayor y más variable que en la otra.
Por tanto, en H0 tanto MSA como MSE estiman s2, mientras que en H1,MSE sigue estimando s2 y MSA estima 
. La existencia de esta componente añadida se contrasta con F= MSA/MSE y en caso afirmativo, la varianza de Ai se estima como:
. La existencia de esta componente añadida se contrasta con F= MSA/MSE y en caso afirmativo, la varianza de Ai se estima como:
modelos multinivel (también modelos lineales jerárquicos, modelos mixtos lineales generalizados, modelos anidados,modelos mixtos, coeficiente aleatorio, modelos de efectos aleatorios, modelos de parámetros aleatorios) son modelos estadísticos de parámetros que varían en más de un nivel. Estos modelos pueden ser vistos como generalizaciones de modelos lineales, aunque también pueden extender los modelos no lineales. Aunque no son nuevos, se han hecho más populares con el crecimiento del poder computacional y la disponibilidad de software.
Por ejemplo, en investigación en educación se podría requerir medir el rendimiento escuelas que utilizan un método de aprendizaje contra escuelas que usan un método diferente. Sería un error analizar estos datos pensando que los estudiantes son muestras aleatorias simples de la población de estudiantes que aprenden bajo un método particular. Los alumnos son agrupados en clases (cursos), los cuales a su vez son agrupados en escuelas. El desempeño de los estudiantes dentro de una clase están correlacionados, como el desempeño de los estudiantes dentro de la misma escuela. Estas correlaciones deben ser representadas en el análisis para la correctainferencia obtenida por el experimento.
Introducción
Siguiendo a Aliaga (1999): “una primera aproximación elemental al conocimiento de algún tópico de investigación consiste en realizar un acercamiento bibliométrico al mismo”. Entendemos el término ‘bibliometría’, tal y como apunta Spinak (1996, p. 34), como la “aplicación de análisis estadísticos para estudiar las características del uso y creación de documentos” en una determinada parcela del saber. Así mismo, Carpintero (1980) comenta que la esencia de la investigación científica es la producción de conocimiento, y la literatura científica constituye la manifestación de ese conocimiento, convirtiéndose los datos bibliométricos sobre esa literatura en indicadores de la producción y beneficios científicos en torno a un tema (Pulgarín y cols., 2004). En este artículo se realiza una aproximación bibliométrica acerca de los trabajos que sobre modelos multinivel se encuentran incluidos en la revista “Newsletter Multilevel Modelling”. El objetivo es obtener unos indicadores descriptivos de recuento referidos específicamente a la producción científica sobre estos modelos recogida en dicha publicación hasta el año 2006.
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Cádiz (2006). Reanalyzing fourth grade math student achievement in Chile: applying Hierarchical Linear Models (HLMs)
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Los modelos multinivel forman parte de un nuevo grupo de modelos de análisis estadístico de datos que viene a consolidarse a principio de los años ochenta. Dentro de las Ciencias Humanas y Sociales se aplican en el ámbito de la Educación, por ejemplo, en estudios relativos a la eficacia de las escuelas y a la evaluación de sistemas educativos (Bryk y Raundenbush, 1987 y 1992). También han sido utilizados en el estudio del cambio conductual (Laird y Ware, 1982; Strenio, Weisberg y Bryk, 1983 y Mason y cols., 1983), ampliándose a otras ciencias, como Psicología, Medicina, Economía o Geografía, donde han supuesto un importante impulso en el análisis de sistemas de información (Hox, 2002).
Como modelos multinivel o análisis multinivel se señalan aquellos modelos que, tanto en su dimensión teórica como aplicada, tratan conjuntos de datos anidados dentro de una población con estructura jerárquica, entendiendo que las distintas jerarquías se corresponden con diferentes niveles del modelo. Así, puesto que el término multinivel (multilevel) informa sobre las estructuras anidadas de manera jerárquica, también suelen denominarse como modelos jerárquicos.
Un simple ejemplo permite entender esta configuración. Supongamos un estudio en el que la población analizada presenta una estructura jerárquica de estudiantes y centros. Tal como muestra la Figura 1, estaríamos hablando de una estructura de datos en dos niveles. El nivel macro o high-level, se relaciona con los contextos (razón por la cual en ocasiones se aplica el calificativo de “contextuales” a los modelos jerárquicos). El nivel micro o lower-level, se refiere a los individuos anidados en el nivel o niveles superiores.
Figura 1 - Estructura de los datos
Estos modelos proporcionan, por tanto, una respuesta estadística más adaptada y realista que los clásicos modelos lineales, por ejemplo, ya que son sensibles a la ‘agregación’ de los grupos o contextos y a la ‘desagregación’ de los individuos. Como consecuencia, aportan un tratamiento estadístico bastante adecuado de las diferencias individuales y grupales en los niveles correspondientes, utilizando submodelos asociados a los distintos niveles dentro de un mismo modelo, y explorando la relación entre las unidades de observación que constituyen la estructura jerárquica (Bryk y Raudenbush, 1987 y 1992; Goldstein, 1995; Goldstein y cols. 1998; Van der Leeden, 1998; y Snijders y Bosker, 1999).
2. Metodología
Al intentar hacer algún tipo de clasificación de autores y aportaciones que tratan los modelos multinivel, uno de los problemas es la diversidad de denominaciones en las que aparecen en la literatura. Así, por ejemplo, se puede hablar de modelos lineales multinivel (multilevel linear models) (Goldstein, 1987; Mason, Wong y Entwistley, 1983); modelos de componentes de varianza (covariance components models) (Dempster, Rubin y Tsutakawa, 1981 y Longford, 1987); modelos de efectos fijos y efectos aleatorios (mixed-effects models and random-effects models) (Leston y Grizzele, 1962) o modelos de regresión de efectos aleatorios (random coefficient regresión models) (Rosenberg, 1973). Como es preciso organizar de algún modo este conjunto de acepciones y autores, hemos optado por seguir los dos procedimientos que se indican a continuación, en el entendido de que no se abarcan en profundidad todas las denominaciones señaladas, aunque sí se proporciona la información de los autores y líneas más destacados.
Se opta por un diseño descriptivo, ya que nuestra pretensión se circunscribe a un estudio de corte censal, distribuyendo la información sobre las aportaciones, tanto teóricas como de aplicación, en diferentes áreas de conocimiento.
En cuanto a su finalidad, el estudio tiene un carácter de aproximación bibliométrica, ya que nos acercamos a la implantación de los modelos multinivel desde una doble perspectiva:
- De una parte, presentamos las agrupaciones efectuadas por los doctores Hox (1995 y 2002) y Bryk y Raudenbush (1987, 1992). Hox clasifica los investigadores en dos grupos, tomando como referente el modelo de regresión y dentro del grupo que Bryk y Raundenbush definen de manera genérica como modelos multinivel. Bryk y Raudenbush, sin embargo, agrupan los autores por ámbitos de aplicación.
- En segundo lugar, mostramos los resultados de la búsqueda de referencias realizada en la revista “Multilevel Modelling Newsletter”.
En ambos casos se ha utilizado la revista “Multilevel Modelling Newsletter”, tomando para ello desde el volumen 1 - número 1, hasta el volumen 17 – número 1, lo que representa un intervalo que sitúa la temporalidad desde el inicio del año 1989 y finales del 2005. Esta publicación pertenece al grupo “Multilevel Models Project” del Institute of Education de la University of London[1], dirigido por el Profesor Harvey Goldstein.
3. Resultados
3.1. Agrupaciones según los principales autores
Las agrupaciones de los modelos multinivel propuestas por Hox, Bryk y Raudenbush, que siguen a continuación, se obtuvieron, al igual que la distribución de los artículos, mediante el análisis del contenido de la revista Multilevel Modelling Newsletter, que nos proporcionaron los indicios necesarios para, también, concretar los detalles que exponemos, tanto de las obras refenciadas en la bibliografía, como en las páginas web de los propios autores y en la del Centre for Multilevel Modelling.
3.1.1. Agrupación propuesta por Hox
Modelos de regresión multinivel
Agrupa un conjunto de modelos que comprende diversas extensiones de la regresión múltiple. Según este criterio y de manera general, un modelo de regresión multinivel sería una versión jerárquica del conocido modelo de regresión múltiple, donde todas las acepciones o aplicaciones parten de ese tronco común, y aun teniendo matices diferentes, muestran una gran similitud. El modelo de regresión multinivel se emplea también bajo las denominaciones de modelo jerárquico lineal, modelo de coheficientes al azar o modelo de componentes de varianza. En esta línea los autores se agrupan según la aplicación del modelo de regresión multinivel que trabajan. Así encontramos:
- Análisis de datos longitudinales y evolutivos: Bryk; Di Prete; Goldstein; Grusky; Healy; Rabash y Raudenbush.
- Análisis de datos de entrevistas: Hox; De Leeuw y Kreft.
- Análisis de datos procedentes de estructuras complejas con respuestas anidadas en unidades: Goldstein y Silver.
- Análisis de datos de encuestas factoriales y diseños de faceta: Hermkems; Hox; Kreft y Lagerweij.
- Meta análisis: Bryk; Hox; Leuw y Raudenbush.
- Análisis de datos binarios y datos de distribución libre (no normal): Boch; Goldstein; Longford; Mason; Mislevy y Wong.
Modelos de análisis de estructuras de covarianza multinivel
En este epígrafe se encuentran modelos que no emplean el análisis de regresión múltiple, como es el caso del análisis factorial y el análisis de recorrido. En ocasiones han estado incluidos sencillamente bajo el término ‘LISREL-models’, haciendo referencia al algoritmo interno; no obstante los análisis de estructuras de covarianza proceden del uso del mencionado modelo matemático para describir la matriz de covarianzas de las variables observadas. Autores que destacan en este grupo son: Cohen; Goldstein; McDonald; Muthen y Satorra.
3.1.2. Agrupación propuesta por Bryk y Raudenbush
Bryk y Raudenbush trabajan fundamentalmente desde el entorno educativo, y emplean la acepción de modelos jerárquicos lineales (hierarchical linear models) acuñada por Lindley y Smith a principio de los setenta (1972). A diferencia de la clasificación que propone Hox, agrupan autores y denominaciones dependiendo del ámbito del conocimiento en el que se aplican los modelos multinivel. Los autores quedan asociados del siguiente modo:
- En la investigación sociológica se emplea el término modelos lineales multinivel (multilevel linear models), destacando Goldstein y Mason.
- En el campo de las aplicaciones biométricas suelen utilizarse las acepciones de modelos de efectos mixtos y modelos de efectos aleatorios (mixed-effect models o random-effects models). En este grupo hay que mencionar a Leston; Grizzle; Laird y Ware.
- En Econometría es habitual el uso de modelos de regresión de efectos aleatorios (random-effects regression models), siendo Rosenberg uno de los autores más destacados.
- En Estadística se trabaja frecuentemente con el término modelos de efectos de covarianza (covariance component models). Aquí se encuentran Demsper; Rubin; Tsutakawa y Longford.
3.2. Agrupación según la búsqueda en la revista electrónica “Multilevel Modelling Newsletter”, entre los años 1989 y 2005
La revista “Multilevel Modelling Newsletter” está dirigida por el Profesor Harvey Goldstein del Departamento de Matemáticas, Estadística e Informática del Instituto de Educación de la Universidad de Londres. Contó en su inicio con la colaboración del Dr. Tony Bryk de la Universidad de Chicago. En los últimos años ha sido editada por Ian Plewis, precisamente hasta el número 17-1 (septiembre de 2005), último número consultado en la presente aproximación bibliométrica.
El origen de esta publicación se debió al creciente interés suscitado por el empleo de los modelos multinivel que durante los años 80 vinieron desarrollando varios grupos de investigadores, tanto en Europa como en Norteamérica y Australia. La consolidación de esta publicación ha estado vinculada al implemento de diferentes jornadas, conferencias yworkshops, en donde lo común ha sido dar cuenta del desarrollo teórico y de la aplicación práctica del análisis de datos mediante el uso de los modelos multinivel. La revista tiene como objeto ser un foro de discusión que estimule nuevas ideas para el estudio y aplicación de los modelos multinivel, así como hacerse eco de los nuevos recursos y referencias que sobre el tema se van suscitando. Desde su inicio se establecieron las secciones Theory & Applications; Software Development; Workshops & Conferences y New Literature que, de una u otra forma, se han ido manteniendo con algunas variaciones hasta el presente.
La búsqueda aquí efectuada se divide en los siguientes apartados:
a) Artículos de colaboración en la misma revista.
b) Artículos referenciados en las secciones New Literature o Some recent publications using multilevel models.
c) Software de referencia.
d) Libros (manuales y monográficos).
e) Workshops y Conferencias.
f) Grupos y centros.
g) Links.
a) Artículos de colaboración en la misma revista
Durante el periodo 1989-2005 se han publicado en la propia revista 63 trabajos, de los cuales 24 son teóricos y 39 de aplicación. Hay que señalar que en estos últimos se incluyen también artículos que, aunque muestran planteamientos teóricos, emplean fundamentalmente ejemplos o simulaciones para ilustrar los contenidos.
b) Artículos referenciados en las secciones “New Literature” o “Some recent publications using multilevel models”
Presentamos a continuación los artículos de colaboración y trabajos referenciados en las distintas revistas recogidos en la sección “New literature”, o más recientemente “Some recent publications using multilevel models”, también ordenados en teóricos o aplicados. No se incluyen en los trabajos de aplicación los artículos sobre el uso de los diferentes programas desoftware para el análisis multinivel, aunque se encuentren publicados en estas secciones. El recuento de artículos se muestra por revistas y ámbitos: Educación (Tabla 1 y Figura 2); Psicología (Tabla 2 y Figura 3); Ciencias Sociales (Tabla 3 y Figura 4); Medicina y Biología (Tabla 4 y Figura 5); Matemáticas y Estadística (Tabla 5 y Figura 6) y ‘otras’ (Tabla 6 y Figura 7).
Educación
| Tipo de aportación | ||
Total | Teórica | Aplicada | |
American Journal of Education
|
1
|
0
|
1
|
British Educational Research Journal
|
7
|
3
|
4
|
British Journal of Educational Studies
|
2
|
2
|
0
|
Economics of Education Review
|
1
|
0
|
1
|
Education Research and Evaluation
|
5
|
2
|
3
|
Educational and Psychological Measurement
|
1
|
1
|
0
|
Educational Psychology
|
1
|
0
|
1
|
Higher Education in Europe
|
1
|
0
|
1
|
International Journal of Educational Research
|
2
|
2
|
0
|
Journal of Educational and Behavioural Statistics
|
12
|
12
|
0
|
Journal of Educational Measurement
|
1
|
1
|
0
|
Journal of Educational Statistics
|
3
|
2
|
1
|
Journal of Educational Studies
|
1
|
0
|
1
|
Journal of Experimental Education
|
1
|
1
|
0
|
Journal of Personal Evaluation in Education
|
2
|
0
|
2
|
Oxford Review of Education
|
1
|
0
|
1
|
School Psychology Quarterly
|
1
|
1
|
0
|
Sociology of Education
|
1
|
1
|
0
|
Studies in Educational Evaluation
|
1
|
0
|
1
|
Sumatorio
|
45
|
28
|
17
|
Tabla 1: Artículos y número de aportaciones en Educación
Figura 2: Aportaciones teóricas y de aplicación en Educación
Psicología
| Tipo de aportación | ||
Total | Teórica | Aplicada | |
Animal Behaviour
|
1
|
1
|
0
|
Behaviour Research Methods, Instruments & Computers
|
1
|
1
|
0
|
British Journal of Mathematics and Statistics Psychology
|
4
|
2
|
2
|
Clinical Phychology
|
1
|
0
|
1
|
European Journal of Social Psychology
|
1
|
0
|
1
|
Journal of Applied Psychology
|
1
|
0
|
1
|
Journal of Clinical and Consulting Psychology
|
1
|
0
|
1
|
Journal of Clinical and Experimental Neuropsychology
|
1
|
0
|
1
|
Journal of Educational and Behavioural Statistics
|
11
|
11
|
0
|
Journal of Family Psychology
|
3
|
3
|
0
|
Multivariate Behavioral Research
|
1
|
1
|
0
|
Psicothema
|
1
|
0
|
1
|
Psychological Methods
|
1
|
1
|
0
|
Psychometrika
|
5
|
5
|
0
|
Self and Identity
|
1
|
1
|
0
|
Sumatorio
|
34
|
26
|
8
|
Tabla 2: Artículos y número de aportaciones en Psicología
Figura 3: Aportaciones teóricas y de aplicación en Psicología
Ciencias Sociales
| Tipo de aportación | ||
Total | Teórica | Aplicada | |
Acta Sociológica
|
1
|
0
|
1
|
Social Indicators Research
|
1
|
1
|
0
|
Social Networks
|
1
|
0
|
1
|
Sociological Methodology
|
2
|
2
|
0
|
Sociological Methods and Research
|
7
|
7
|
0
|
Sumatorio
|
12
|
10
|
2
|
Tabla 3: Artículos y número de aportaciones en Ciencias Sociales
Figura 4: Aportaciones teóricas y de aplicación en Ciencias Sociales
Medicina y Biología
| Tipo de aportación | ||
Total | Teórica | Aplicada | |
American Journal of Epidemiology
|
2
|
0
|
2
|
American Journal of Human Biology
|
1
|
1
|
0
|
Annals of Human Biology
|
3
|
1
|
2
|
Biometrics
|
34
|
32
|
2
|
Biometrika
|
7
|
6
|
1
|
British Journal of Cancer
|
1
|
1
|
0
|
British Journal of Psychiatry
|
1
|
1
|
0
|
British Medical Journal
|
2
|
1
|
1
|
European Journal of Clinical Nutrition
|
1
|
1
|
0
|
Freshwater Biology
|
1
|
0
|
1
|
Health and Place
|
1
|
0
|
1
|
Health Economics
|
1
|
1
|
0
|
Health Services Research
|
3
|
1
|
2
|
Health Technology Assessment
|
1
|
1
|
0
|
Inquirí
|
1
|
1
|
0
|
Intensive Care Medicine
|
1
|
0
|
1
|
International Journal of Epidemiology
|
1
|
0
|
1
|
International Journal of Methods in Psychiatric Research
|
1
|
0
|
1
|
Journal of Animal Echology
|
1
|
0
|
1
|
Journal of Clinical Epidemiology
|
1
|
1
|
0
|
Journal of Epidemiology and Community Health
|
4
|
2
|
2
|
Journal of Health Services Research and Policy
|
1
|
0
|
1
|
Journal of Maternal-Fetal and Neonatal Medicine
|
1
|
0
|
1
|
Journal of Periodontology
|
3
|
3
|
0
|
Journal of Urban Health
|
1
|
0
|
1
|
Medical Care
|
1
|
0
|
1
|
Medicine and Science in Sports and Exercise
|
3
|
1
|
2
|
Multilevel Modelling of Statatistical Methods in Medical Research
|
2
|
1
|
1
|
Quaterly Journal of Medicine
|
1
|
0
|
1
|
Scandinavian Journal of Public Health
|
1
|
1
|
0
|
Statistical Methods in Medical Research
|
1
|
1
|
0
|
Statistics in Medicine
|
53
|
47
|
6
|
Sumatorio
|
137
|
105
|
32
|
Tabla 4: Artículos y número de aportaciones en Medicina y Biología
Figura 5: Aportaciones teóricas y de aplicación Medicina y Biología
Matemáticas y Estadística
| Tipo aportación | ||
Total | Teórica | Aplicada | |
American Statistician
|
1
|
0
|
1
|
Applied Statistics
|
2
|
1
|
1
|
Computational Statistics and Data Analysis
|
5
|
5
|
0
|
Journal of American Statistical Association
|
19
|
17
|
2
|
Journal of the Royal Statistics Society
|
37
|
31
|
6
|
Quality and Quantity
|
1
|
0
|
1
|
Statistical Modelling
|
3
|
2
|
1
|
Structural Equation Modelling
|
1
|
1
|
0
|
The Statistician
|
1
|
1
|
0
|
Understanding Statistics
|
1
|
1
|
0
|
Sumatorio
|
71
|
59
|
12
|
Tabla 5: Artículos y número de aportaciones en Matemáticas y Estadística
Figura 6: Aportaciones teóricas y de aplicación en Matemáticas y Estadística
Otras disciplinas
| Tipo aportación | ||
Total | Teórica | Aplicada | |
British Journal of Political Science
|
1
|
0
|
1
|
Economic and Political Weekly
|
1
|
1
|
0
|
Journal of Quantitative Anthropology
|
1
|
0
|
1
|
Journal of Research on Crime and Delinquency
|
1
|
0
|
1
|
Policing and Society
|
1
|
0
|
1
|
5 | 1 | 4 | |
Tabla 6: Artículos y número de aportaciones en otras disciplinas
Figura 7: Aportaciones teóricas y de aplicación de otros ámbitos
Observando los resultados expuestos se aprecia que el volumen de aportaciones teóricas representa el 75% de la producción (229 sobre 304), quedando sólo en un 25% las aportaciones aplicadas. Aun teniendo en cuenta las limitaciones propias del procedimiento seguido, puede decirse que existe una tendencia expansiva de estos modelos, siendo relativamente novedosos todavía en algunas Ciencias Sociales (Antopología, Sociología).
Las revistas con mayor número de trabajos y mayor impacto relacionadas con el empleo de los modelos multinivel son:
- Biometrics..................................................................34
- Statistics in Medicine.................................................53
- Journal of American Statistical Association..............19
- Journal of the Royal Statistics Society........................37
Con menos aportaciones se encuentran:
- Journal of Educational and Behavioural Statistics.....12
- Sociological Methods and Research............................ 7
La Figura 8 ofrece un panorama general de las aportaciones por ámbitos. Como puede observarse la producción teórica es notable en Medicina, Biología y Matemáticas. Cabe destacar que en el campo de la Educación es donde se produce una menor diferencia de proporciones entre artículos teóricos y prácticos (28 teóricos y 17 de aplicación), siempre siendo más numerosos los trabajos teóricos, lo que supone un 62% y un 38% respectivamente.
Figura 8: Aportaciones teóricas y de aplicación en los diferentes ámbitos
c) Software de referencia
En referencia al software relacionado, se contabiliza un total de 36 menciones dedicadas a noticias, revisiones y artículos. Hemos apreciado a lo largo del periodo de tiempo analizado, una evolución de las distintas versiones de los paquetes mencionados, motivo por el cual sólo apuntamos el nombre genérico que tienen en la actualidad. Existen básicamente tres paquetes específicos de análisis de datos multinivel: MLn/MLwiN, HLM y VARCL. Hay también otros paquetes que ofrecen algunas secciones relacionadas con el análisis multinivel.
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