Estadística

Análisis de la regresión

 prueba de White es la prueba más general para detectar la heteroscedasticidad en los modelos de regresión lineal. No precisa de una especificación concreta de la heteroscedasticidad bajo la alternativa.

Contrasta:

 para todo i

 No se verifica 

Para efectuar este contraste se plantea el modelo de regresión lineal múltiple que trata de explicar los residuos al cuadrado en función de las variables explicativas y los productos cruzados de las mismas.

En situaciones de homocedasticidad se cumple que:  sigue una distribución ji-cuadrado con k-1 grados de libertad, siendo k el número de variables explicativas incluidas en el modelo.

Detección heteroscedasticidad: Test de White.

A continuación vamos a analizar si la renta, R, de una familia influye en sus gastos en viajes, GV. En este caso se tienen los datos previamente almacenados en un archivo .txt, por lo que el primer paso será importarlos. Los resultados del ajuste realizado son:

GV = 1'96 + 0'026 R,  R-cuadrado = 0'435,

siendo la constante no significativa (no se rechaza la hipótesis nula de que pueda ser cero), mientras que la renta si lo es (se rechaza la hipótesis nula de que sea cero). Además, influye positivamente, es decir, a más renta mayor gastos en viajes. Finalmente, también se rechaza la hipótesis nula del test ANOVA, por lo que el modelo es válido.

Aplicaremos el test de White para estudiar la presencia de heteroscedasticidad en el modelo considerado. Puesto que se trata de un test asintótico, es decir, un test enfocado a muestras grandes, y la muestra considerada es muy reducida, los resultados obtenidos mediante este test han de interpretarlos con mucha cautela.

Tras estimar el modelo original por MCO y obtener sus residuos, planteamos la regresión de los cuadrados de los residuos frente a todas las variables del modelo original, sus cuadrados y sus productos cruzados (omitiendo los elementos repetidos). En este caso, la estimación de esta regresión auxiliar es:

u(t)^2 = -21'3268 + 0'0810927 * R - 0'00000669 * R^2.

En este caso, de la regresión auxiliar anterior nos interesa su coeficiente de determinación, es decir, su R cuadrado (Ra^2). Ya que para contrastar la hipótesis nula de presencia de heteroscedasticidad usaremos que n * Ra^2 se distribuye según una chi-cuadrado con q grados de libertad, donde q es el número de regresores de la regresión auxiliar excluida la constante y n el número de observaciones del modelo. Entonces, si n * Ra^2 es mayor que el valor de las tablas a un nivel de significación dado, rechazaremos la hipótesis nula. En este caso, puesto que

n * Ra^2 = 10 * 0'375971 = 3'75971 < 5'99146 = chi(2, 0'05),

siendo chi(2, 0'05) el valor de una chi-cuadrado con 2 grados de libertad que deja por debajo suya (a su izquierda) una probabilidad de 0'95, se tiene que no se rechaza la hipótesis nula. Es decir, no se rechaza que la perturbación aleatoria del modelo original sea homocedástica. Por tanto, las conclusiones obtenidas serían válidas.

Finalmente, advertir que el test de Breusch-Pagan es un test muy parecido a este, siendo la única diferencia que en su regresión auxiliar no hay que incluir los términos cruzados ni las variables originales al cuadrado. Por todo lo demás, se tratan de los mismos pasos a seguir. Es también un test idóneo para muestras grandes.

 la regresión hacia la media es el fenómeno en el que si una variable es extrema en su primera medición, tenderá a estar más cerca de la media en su segunda medición y, paradójicamente, si es extrema en su segunda medición, tenderá a haber estado más cerca de la media en su primera.^1 2 3 Para evitar hacer inferencias equivocadas, la regresión hacia la media debe ser considerada en el diseño de experimentos científicos y la interpretación de los datos. Las condiciones bajo las que se produce la regresión hacia la media dependen de la forma en que el término se defina matemáticamente. Sir Francis Galton observó por primera vez el fenómeno en el contexto de una regresión lineal simple de puntos de datos. Sin embargo, un enfoque menos restrictivo posible. La regresión hacia la media se puede definir para cualquier distribución bivariante con idénticas distribuciones marginales. Existen dos tipo de definiciones.⁴Una definición concuerda estrechamente con el uso común del término "regresión hacia la media". No todas esas distribuciones bivariadas muestran la regresión hacia la media en esta definición. Sin embargo, todas estas distribuciones de dos variables muestran regresión hacia la media bajo la otra definición. Históricamente, lo que hoy se llama regresión hacia la media también se ha llamado la reversión a la media y la reversión a la mediocridad. En las finanzas, el término reversión a la media tiene un significado diferente. Jeremy Siegel lo utiliza para describir una series de tiempo financiera en la que "los retornos pueden ser muy inestables en el corto plazo, pero muy estables en el largo plazo." Más cuantitativamente, es aquella en la que la desviación estándar de los rendimientos anuales promedio disminuye más rápidamente que la inversa del periodo de mantenimiento, lo que implica que el proceso no es un paseo aleatorio, pero que los períodos de rendimientos más bajos se siguen sistemáticamente por períodos de mayor rentabilidad .Consideremos un ejemplo simple: un grupo de estudiantes realiza un test de 100 preguntas verdadera/falsa sobre un tema. Supongamos que todos los estudiantes eligen al azar todas sus respuestas. Entonces, la puntuación de cada alumno sería una realización de un conjunto de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con una media de 50. Naturalmente, algunos estudiantes calificarán sustancialmente por encima de 50 y algo sustancialmente por debajo de 50 por casualidad. Si se toma solo a los estudiantes que han obtenido una puntuación en el 10% superior y se les da una segunda prueba en la que volvieran a elegir al azar en todas las preguntas, de nuevo se espera que la puntuación media esté cerca de 50. Así, la media de estos estudiantes sería "una regresión" a la media de todos los estudiantes que tomaron la prueba original. No importa lo que un estudiante obtiene en la prueba original, la mejor predicción de su puntuación en la segunda prueba es de 50.

Si no existiera la suerte o el hecho de adivinar al azar las respuestas proporcionadas por los estudiantes a las preguntas de la prueba, a continuación, todos los estudiantes se anotan el mismo en la segunda prueba, ya que anotó en la prueba original, y no habría ninguna regresión hacia la media. La mayoría de las situaciones reales se sitúan entre estos dos extremos: por ejemplo, se podría considerar los resultados del examen como una combinación de habilidad y suerte . En este caso, el subgrupo de estudiantes con calificaciones por encima del promedio se compone de aquellos que fueron calificados y no tenía especial mala suerte, junto con los que estaban no calificados, pero eran extremadamente afortunados. En una nueva prueba de este subconjunto, los no calificados será poco probable que repetir su golpe de suerte, mientras que el experto no tendrá una segunda oportunidad de tener mala suerte. Por lo tanto, los que le fue bien con anterioridad no es probable que haga tan bien en la segunda prueba.

La regresión a la media es un término técnico que designa el fenómeno por el que las cosas tienden a igualarse desde los extremos; si una variable es extrema en la primera medición, tenderá a acercarse a la media en su segunda medición. Ligado fundamentalmente al campo de la estadística, el concepto lo popularizó por primera vez Sir Francis Galton a finales del siglo XIX a través de su trabajo sobre la genética y la estatura hereditaria.

Una buena analogía que ayuda a explicar el concepto de la regresión a la media y algunas de las
dificultades que nos plantea la encontramos en la atención médica. Cuando una persona no se
encuentra bien, busca atención médica cuando peor se encuentra y en la mayoría de los casos se recuperará a continuación. La causa de su recuperación se atribuye invariablemente a la
intervención médica, pero ¿se habría recuperado de todas formas? En el diseño de los ensayos
farmacéuticos, estos efectos se compensan introduciendo un placebo en los grupos de control.

Consideremos ahora el caso de un experimentado golfista con un hándicap 10 sólido. Cuando hace un recorrido muy malo que está muy por encima de su hándicap, reserva una hora con el monitor y la próxima vez lo hace mejor. Pero, ¿realmente el monitor le ayuda o es simplemente otro caso de regresión a la media? A esa ronda tan mala tenía por fuerza que seguirle una más cercana a su hándicap, pero se inclina por pensar que fue gracias a la clase con el monitor.

Eso es lo que convierte a la regresión a la media en un concepto difícil de aprehender para la mente humana: nuestros cerebros ávidos de patrones están fuertemente sesgados hacia las explicaciones causales. Los principios de aleatoriedad y regresión a la media rara vez producen explicaciones satisfactorias y significativas. Esa es la razón por la que esencialmente los acontecimientos aleatorios se atribuyen con frecuencia a explicaciones causales en los medios de comunicación.

Por desgracia, la regresión a la media puede tener efectos negativos si se interpreta incorrectamente. Por ejemplo, en el campo de la educación, los profesores pueden caer en el error a la hora de atribuir el efecto de sus intervenciones (los castigos a los alumnos con peores resultados pueden parecer más eficaces que las alabanzas).

Daniel Kahneman, un experto en economía conductual, estaba dando un curso en una base de la fuerza aérea israelí cuando uno de los instructores dijo: "Cuando alabo a un cadete que ha hecho una buena maniobra aérea, el siguiente lo hace peor. Cuando le grito a un cadete después de una mala maniobra, el que sigue generalmente lo hace mejor. Por lo tanto, el castigo es más efectivo que la recompensa". Este instructor estaba atribuyendo erróneamente causalidad a fluctuaciones aleatorias de los resultados. Bajo el enfoque de la regresión a la media, si una maniobra se realiza especialmente bien o especialmente mal, el resultado más probable en la siguiente observación simplemente se acerca más a la media.

En el mundo de la inversión, la regresión a la media se conoce más comúnmente con el nombre de reversión a la media y tiene un significado ligeramente diferente. Se usa para describir cómo las rentabilidades en una serie temporal financiera pueden ser extremas a corto plazo, pero más estables a largo plazo. Dicho de otro modo: a los periodos de rentabilidades más bajas endeterminados mercados o sectores tienden a seguirles sistemáticamente periodos conrentabilidades más altas que compensan las pérdidas.

Esta es una idea potente que sustenta varios enfoques de inversión de estilo valor y contracorriente. Sabemos que los cambios en el sentimiento de los inversores pueden provocar que algunas acciones o sectores gocen o no del favor del mercado, y eso es lo que crea las condiciones para la reversión a la media y para que los inversores adopten un enfoque a contracorriente. Las acciones de estilo "valor" (rechazadas por el mercado) puras son esas empresas que están intrínsecamente baratas aplicando una valoración simple de "suma de las partes" a su negocio. No son acciones que puedan caracterizarse como "baratas" atendiendo a si cumplen las previsiones de crecimiento futuro. Estas últimas se ajustan mejor al concepto de acciones de crecimiento infravaloradas.

El enfoque "valor" también se basa en la observación de que algunas acciones se mueven en torno a máximos y mínimos a largo plazo en sus indicadores, como el PER, el precio‐valor en libros y las rentabilidades por dividendo. Esto significa que pueden comprarse cuando caen, con la expectativa de que la valoración o la cotización regresarán hacia su media a largo plazo. Usar la reversión a la media implica identificar la horquilla de cotización de una acción y calcular el precio o la valoración media. Las revisiones a la baja de los beneficios, que pueden producirse por muchos motivos, con dificultades cíclicas o temporales, son un ejemplo de la reversión a la media en acción. El gráfico muestra que la rentabilidad de la mayoría de las acciones se recupera al cabo de 18 meses.

Reversión a la media de las cotizaciones después de una revisión a la baja de los beneficios:

Las acciones de estilo "valor" puras no suelen llevar aparejados argumentos de compra atractivos, ni tampoco encierran elementos de crecimiento deslumbrantes, como estrategias digitales y de comercio electrónico. Por ese motivo, suelen carecer de voces favorables y a menudo tienen negocios relativamente aburridos. Sin embargo, los negocios aburridos pueden ser negocios eficaces que pasan a estar irracionalmente baratos debido a las oscilaciones en el sentimiento de los inversores.

A veces, algunos sectores bursátiles se calientan, mientras otros se enfrían. En 2000‐2003, las
cotizaciones de los valores tecnológicos se desplomaron tras la burbuja puntocom. Sin embargo, al mismo tiempo, las empresas de la "vieja economía", como las cerveceras (denostadas durante los años de la burbuja por ser aburridas), lo hicieron especialmente bien, ya que regresaron hacia su media con resultados positivos. Los sectores calientes inflados se desinflaron y los sectores fríos y rechazados se ganaron el favor de unos inversores que buscaban beneficios fiables.

Algunos fondos cotizados sistemáticos intentan aprovechar el fenómeno de la reversión a la media en el mercado, pero los inversores deberían valorar cuidadosamente la rotación y la naturaleza del proceso de construcción de estas carteras. Los enfoques sistemáticos basados en la selección de acciones baratas no discriminan los negocios baratos pero sólidos de las empresas que se están despeñando. Los valores baratos no pueden retornar a la media si se encaminan a la quiebra.
Un análisis exhaustivo de las empresas y los sectores puede separar las oportunidades atractivas de los pozos sin fondo.

Como ocurrió con otros bancos británicos y europeos, las acciones de Lloyds se vieron golpeadas con dureza por la crisis financiera tras adoptar los inversores una postura tremendamente negativa. La cotización tocó mínimos en 21 peniques a comienzos de 2009, tras arrancar el año anterior por encima de las dos libras por acción. Después de registrar una breve racha alcista a mediados de 2009, las acciones se movieron dentro de una horquilla antes de retomar los descensos en 2011, después de que se avivara la incertidumbre en torno a los bancos en plena crisis de deuda pública europea. En el verano de 2011, el valor rompió a la baja su horquilla de cotización de los doce meses anteriores debido al escepticismo que despertó en el mercado la capacidad del nuevo equipo gestor y el nuevo consejero delegado Antonio Horta Osorio.

La valoración del negocio alcanzó en este punto una cifra extrema desde el punto de vista histórico(el analista bancario de Fidelity asignó a la acción una recomendación de compra fuerte) y los inversores de estilo "valor" vieron su oportunidad de comprar un negocio bancario sólido que estaba bien posicionado en el mercado británico y con un recorrido bajista limitado. Posteriormente, la acción subió alrededor de un 70% (frente a una rentabilidad del 10% en el índice FTSE 100).

Lloyds: Una apuesta de estilo "valor" clásica

No obstante, La reversión a la media es un concepto que puede resultar algo confuso en el mundo de la inversión. Las aguas se encuentran revueltas por el hecho de que algunas estrategias de inversión (valor, contracorriente) parecen depender en parte de la existencia de la reversión a la media, mientras que otras parecen depender en parte del hecho de que existen notables (y valiosas) excepciones a la regla.

En este caso, las excepciones son esos valores tan elogiados que registran incrementos constantes de los beneficios y que desafían la reversión a la media (en beneficios y cotizaciones). Estos valores pueden incrementar los beneficios durante periodos prolongados debido a un motor potente de crecimiento estructural, por ejemplo, tendencias demográficas favorables, combinado generalmente con alguna ventaja competitiva duradera (que puede ser tecnología o propiedad intelectual protegida con una patente, a menudo complementada con fidelidad a la marca).

El reto reside en identificar correctamente estos valores e invertir en niveles de valoración sensatos.Las herramientas de valoración prospectiva, como los modelos de flujos de caja descontados, pueden ser especialmente útiles para proyectar rentabilidades potenciales, ya que el PER a veces puede emitir una señal de venta falsa. Durante gran parte de la última década, una estrella bursátil como Apple era descrita sistemáticamente por sus detractores como una empresa cara, pero desbarató todos los pronósticos generando crecimientos de los beneficios basados en una sólida línea de desarrollo de productos que fue recibida por una demanda sostenida.

Así que, ahí lo tenemos: algunos valores revierten a la media, otros la desafían completamente. Es, pues, otra perspectiva del viejo debate en torno a la inversión de estilo "crecimiento" y "valor". Existen multitud de evidencias de que las dos estrategias baten al mercado a lo largo del tiempo, y en Fidelity existen gestores que han superado con éxito a sus índices de referencia aplicando dichas estrategias.