Física

Leyes de conservación

En física, una ecuación de continuidad expresa una ley de conservación de forma matemática, ya sea de forma integral como de formadiferencial.- ........................................................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=a68109185b1804e365e1c509cf7ff431567bc0b6&writer=rdf2latex&return_to=Ecuaci%C3%B3n+de+continuidad

Fluidos ideales

El movimiento de un fluido real es muy complejo. Para simplificar su descripción consideraremos el comportamiento de un fluido ideal cuyas características son las siguientes:
1.-Fluido no viscoso. Se desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido
2.-Flujo estacionario. La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo
3.-Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo
4.-Flujo irrotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del fluido respecto de cualquier punto.

Ecuación de la continuidad

Consideremos una porción de fluido en color amarillo en la figura, el instante inicial t y en el instante t+Dt.
En un intervalo de tiempo Dt la sección  S₁ que limita a la porción de fluido en la tubería inferior se mueve hacia la derecha Dx₁=v₁Dt. La masa de fluido desplazada hacia la derecha es Dm₁=r·S₁Dx₁=rS₁v₁Dt.
Análogamente, la sección S₂ que limita a la porción de fluido considerada en la tubería superior se mueve hacia la derecha  Dx₂=v₂Dt. en el intervalo de tiempo Dt. La masa de fluido desplazada es Dm₂=r S₂v₂ Dt. Debido a que el flujo es estacionario la masa que atraviesa la sección S₁ en el tiempo Dt, tiene que ser igual a la masa que atraviesa la sección S₂ en el mismo intervalo de tiempo. Luego

v1S1=v2S2

Esta relación se denomina ecuación de continuidad.
En la figura, el radio del primer tramo de la tubería es el doble que la del segundo tramo, luego la velocidad del fluido en el segundo tramo es cuatro veces mayor que en el primero.
Ejemplo:
Cuando se abre poco a poco un grifo, se forma un pequeño chorro de agua, un hilo cuyo radio va disminuyendo con la distancia al grifo y que al final, se rompe formando gotas.
La ecuación de continuidad nos proporciona la forma de la superficie del chorrito de agua que cae del grifo, tal como apreciamos en la figura.

La sección trasversal del chorro de agua cuando sale del grifo es S0, y la velocidad del agua es v0. Debido a la acción de la gravedad la velocidad v del agua se incrementa. A una distancia h del grifo la velocidad es Aplicando la ecuación de continuidad Despejamos el radio r del hilo de agua en función de la distancia h al grifo.

Ecuación de Bernoulli

Evaluemos los cambios energéticos que ocurren en la porción de fluido señalada en color amarillo, cuando se desplaza a lo largo de la tubería. En la figura, se señala la situación inicial y se compara la situación final después de un tiempo Dt. Durante dicho intervalo de tiempo, la cara posterior S₂ se ha desplazado v₂ Dt y la cara anterior S₁del elemento de fluido se ha desplazado v₁Dt hacia la derecha.

El elemento de masa Dm se puede expresar como   Dm=r S₂v₂Dt=r S₁v₁Dt= r DV
Comparando la situación inicial en el instante t y la situación final en el instante t+Dt. Observamos que el elemento Dm incrementa su altura, desde la altura y₁ a la altura y₂

• La variación de energía potencial es DE_p=Dm·gy₂-Dm·gy₁=r DV·(y₂-y₁)g

El elemento Dm cambia su velocidad de v₁ a v₂,

• La variación de energía cinética es DE_k =

El resto del fluido ejerce fuerzas debidas a la presión sobre la porción de fluido considerado, sobre su cara anterior y sobre su cara posterior F₁=p₁S₁ y F₂=p₂S₂.
La fuerza F₁ se desplaza Dx₁=v₁Dt. La fuerza y el desplazamiento son del mismo signo
La fuerza F₂ se desplaza Dx₂=v₂ Dt. La fuerza y el desplazamiento son de signos contrarios.

• El trabajo de las fuerzas exteriores es W_ext=F₁ Dx₁- F₂ Dx₂=(p₁-p₂) DV

El teorema del trabajo-energía nos dice que el trabajo de las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema de partículas modifica la energía del sistema de partículas, es decir, la suma de las variaciones de la energía cinética y la energía potencial del sistema de partículas
W_ext=E_f-E_i=(E_k+E_p)_f-(E_k+E_p)_i=DE_k+DE_p
Simplificando el término DV y reordenando los términos obtenemos la ecuación de Bernoulli

Efecto Venturi

Cuando el desnivel es cero, la tubería es horizontal. Tenemos entonces, el denominado tubo de Venturi, cuya aplicación práctica es la medida de la velocidad del fluido en una tubería. El manómetro mide la diferencia de presión entre las dos ramas de la tubería.
La ecuación de continuidad se escribe
v₁S₁=v₂S₂Que nos dice que la velocidad del fluido en el tramo de la tubería que tiene menor sección es mayor que la velocidad del fluido en el tramo que tiene mayor sección. SiS₁>S₂, se concluye que v₁2

.La en la ecuación de Bernoulli con y₁=y₂

Como la velocidad en el tramo de menor sección es mayor, la presión en dicho tramo es menor.
Si v₁2
 se concluye que p₁>p₂ El líquido manométrico desciende por el lado izquierdo y asciende por el derechoPodemos obtener las velocidades v₁ y v₂ en cada tramo de la tubería a partir de la lectura de la diferencia de presión p₁-p₂ en el manómetro.

Ejemplo:
Determinar la velocidad del agua en ambos tramos de la tubería, sabiendo que:

• Radio del tramo izquierdo de la tubería, 20 cm.
• Radio del tramo derecho de la tubería, 5 cm.
• Medida de la diferencia de presión, 1275 Pa.

Los datos son:
S₁=p (0.2)² m², S₂=p (0.05)² m², r =1000 kg/m³, y  p₁-p₂=1275 Pa.
Empleando la expresión anterior, obtenemos el valor de v₂=1.6 m/s. Calculamos v₁ a partir de la ecuación de continuidad (v₁S₁=v₂S₂) obteniendo v₁=0.1 m/s ó 10 cm/s.
Podemos comprobarlo en el programa interactivo introduciendo los siguientes datos:

• Radio del tramo izquierdo de la tubería, 20 cm.
• Velocidad del fluido en el tramo izquierdo, 10 cm/s
• Diferencia de alturas entre los dos tramos, 0

Actividades

Se introduce

• El radio del tramo izquierdo de la tubería, actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio.
• El radio del tramo derecho está fijado en 5 cm.
• El valor de la velocidad del tramo izquierdo, actuando en la barra de desplazamiento titulada Velocidad.
• El desnivel, (un número positivo, nulo o negativo) o diferencia de alturas entre los dos tramos, en el control de edición titulado Desnivel.

Se pulsa el botón titulado Empieza
El valor de la velocidad en el tramo derecho se obtiene aplicando la ecuación de continuidad. Si el radio del tramo izquierdo es el doble que el radio del tramo derecho, la velocidad en el tramo derecho es cuatro veces mayor que en el izquierdo, es decir, mientras que la sección anterior S₁ del elemento de fluido se desplaza10 cm, la sección posterior S₂ se desplaza 40.
A continuación, nos fijaremos en los cambios energéticos.
A medida que el elemento de fluido (coloreado de amarillo) se mueve hacia la derecha su energía cambia. En la parte inferior izquierda del applet, se muestra la variación de energía cinética, de energía potencial y el trabajo de las fuerzas exteriores (que ejerce el resto del fluido sobre el elemento de fluido considerado). Las fuerzas exteriores se señalan mediante flechas. Como podemos comprobar la suma de las variaciones de energía cinética y potencial nos da el trabajo de las fuerzas exteriores.

Ecuación de continuidad de fluidos

La ecuación de continuidad es un importante principio físico muy útil para la descripción de los fenómenos en los que participan fluidos en movimiento, es decir en la hidrodinámica. Para la formulación de la ecuación de continuidad de los fluidos se asumen un grupo de consideraciones ideales que no siempre se tienen en los fenómenos reales de movimientos de fluidos, de modo que en general, aunque la ecuación es clave para la interpretación de los fenómenos reales, los cálculos derivados de su uso serán siempre una aproximación a la realidad, sin embargo, en una buena parte de los casos con suficiente exactitud como para poder ser considerados como ciertos.

Antes de entrar en el tema que nos ocupa debemos definir algunos conceptos importantes y útiles para la comprensión:

1. Lineas de corriente: Para muchas aplicaciones resulta conveniente considerar el flujo total del fluido en movimiento como un manojo de corrientes muy finas (infinitesimales) que fluyen paralelas. Estas corrientes, que recuerdan hilos, se conocen como lineas de corriente.
2. Flujo laminar: Cuando las lineas de corriente de un flujo nunca se cruzan y siempre marchan paralelas se le llama flujo laminar. En el flujo laminar siempre las lineas de corriente marchan en la misma dirección que la velocidad del flujo en ese punto.
3. Flujo turbulento: En el flujo turbulento el movimiento del fluido se torna irregular, las lineas de corriente pueden cruzarse y se producen  cambios en la magnitud y dirección de la velocidad de estas.
4. Viscosidad: Este término se utiliza para caracterizar el grado de rozamiento interno de un fluido y está asociado con la resistencia entre dos capas adyacentes del fluido que se mueven una respecto a la otra.

Entrando en la ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad parte de las bases ideales siguientes:

1. El fluido es incompresible.
2. La temperatura del fluido no cambia.
3. El flujo es continuo, es decir su velocidad y presión no dependen del tiempo.
4. El flujo es laminar. No turbulento.
5. No existe rotación dentro de la masa del fluido, es un flujo irrotacional.
6. No existen pérdidas por rozamiento en el fluido, es decir no hay viscosidad.

Figura 1. Un fluido en movimiento con las lineas de corriente a lo largo de un tubo imaginario de sección variable.

Tomemos un tubo imaginario de sección variable formado por un racimo de lineas de corriente del interior de un fluido en movimiento como se muestra en la figura 1. En un intervalo pequeño de tiempo Δt, el fluido que entra por el fondo del tubo imaginario recorre una distancia Δx₁ = v₁ Δtsiendo v₁ la velocidad del fluido en esa zona. Si A₁ es el área de la sección transversal de esta región, entonces la masa de fluido contenida en la parte azul del fondo es ΔM₁ = ρ₁A₁ Δx₁ = ρ₁A₁v₁Δt, donde ρ es la densidad del fluido. De la misma forma el flujo que sale por el extremo superior del tubo imaginario en el mismo tiempo Δt tiene la masa ΔM₂ = ρ₂A₂v₂Δt. Como la masa debe conservarse y debido también a que el flujo es laminar, la masa que fluye a través del fondo del tubo en la sección A₁, en el tiempo Δt, será igual a la que fluye en el mismo tiempo a través de A₂. Por lo tantoΔM₁ = ΔM₂, o:

ρ₁A₁v₁Δt = ρ₂A₂v₂Δt    (ecuación 1)

Si dividimos por Δt tenemos que:
 

ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂   (ecuación 2) 

La ecuación 2 se conoce como ecuación de continuidad.

Como hemos considerado que el fluido es incompresible entonces ρ₁ = ρ₂ y la ecuación de continuidad se reduce a:

 A₁v₁ = A₂v₂

Es decir, el área de la sección transversal de un tubo, multiplicada por la velocidad del fluido es constante a todo lo largo del tubo. El producto Av, que tiene las dimensiones de volumen por unidad de tiempo se conoce como caudal.