Planos de geometría

Los Ángulos en la circunferencia

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  Oir Lecc.

Podemos dibujar ángulos que se relacionen con la circunferencia. Según la posición que ocupen reciben nombres apropiados con relación a esa posición.

Cuanto se refiere a los ÁNGULOS en la circunferencia, siempre RELACIONAMOS a éstos con los ARCOS que forman.

1) Ángulo central: nos hemos referido a él en más de una ocasión; se trata del ángulo formado por dos radios que son sus lados y su vértice se encuentra en el centro O de la circunferencia.

En la figura siguiente ves que el arco  corresponde al ángulo central Ô que lo representamos con el acento circunflejo sobre la letra que representa el vértice del ángulo.

El arco corresponde al ángulo central  o lo que es lo mismo, la longitud del arco comprendido entre sus lados (los radios) pertenece al ángulo central y su medida es de 96º.
Cuanto mayor es el ángulo central mayor será la longitud del arco que abarcan sus lados:

Vas a tener en cuenta que cuando representamos con letras un ángulo, por ejemplo significa que la letra señalada con en este caso la O, nos referimos a que el vértice del ángulo se encuentra en dicha letra.

Cuando nos refiramos a un arco entre dos puntos señalados con letras, por ejemplo: el arco entre los puntos A y B lo representamos: 

Las dos circunferencias de la última figura de igual radio, la longitud del arco vemos que están en razón directa con la medida del ángulo central: a mayor medida del ángulo central corresponde mayor longitud de arco. La longitud es decir, a 50º corresponde el arco y a 111º corresponde  y puedes comprobar que a mayor ángulo central corresponde mayor longitud de arco.

Muchas veces cuando nos referimos a las medidas de los arcos de la circunferencia hablamos de lo que miden sus longitudes en: m., dm., cm., pero también podemos referirnos a su medida en grados, minutos y segundos, incluso en radianes.

Cuando decimos que un arco mide 75º12’13’’ quiere decir que su ángulo central tiene la misma medida.

Las medidas de los arcos de la última figura puedes expresarlos también en grados: el arco  mide 50º y arco  111º.

Las medidas de los ángulos y arcos de una circunferencia se miden en grados, minutos y segundos.

15.144 Una circunferencia tiene un radio de 5 m. ¿Cuánto mide un arco de esta circunferencia que corresponde a un ángulo central 60º?

Respuesta: 5,23 m.

Solución:

La longitud total de la circunferencia  m., corresponde a 380º
Una longitud de………………………..X m. corresponden a 60º

15.145 ¿Cuál es la longitud de un arco en metros sabiendo que su ángulo central vale 65º y su radio 8 m.?

Respuesta: 9,07 m.

2) Ángulo inscrito: es el ángulo que tiene su vértice en un punto de la misma línea de la circunferencia y sus lados la cortan.

Ves que el vértice se encuentra en el punto P de la circunferencia y los lados del ángulo inscrito cortan a la circunferencia en A y en B.

¿Cuál es la medida del arco correspondiente a este ángulo inscrito de 44º? Por supuesto que no se trata de la longitud del arco  por que el ángulo tendría que ser central.

Modo de calcular el valor de un ángulo inscrito:

En primer lugar trazo una línea que une el punto B con el centro O, tal como lo puedes ver en la figura siguiente:

El segmento OB y el segmento OP son iguales por tratarse del radio. Esto quiere decir que si los lados con vértice en O son iguales, los ángulos cuyos vértices están en B y en P serán iguales.
Las medidas de estos ángulos los tienes a continuación y comprobamos que tienen 44º:

Ahora observa bien la figura siguiente que como estudiamos con anterioridad e hicimos la demostración correspondiente sobre el valor de un ángulo exterior de un triángulo, decíamos que era igual a la suma de los otros dos ángulos interiores no adyacentes:

El ángulo con vértice en O es igual a los valores de los ángulos cuyos vértices están en B y en P, podríamos escribir: 

Vemos que los ángulos  ambos valen en nuestro ejemplo 44º.

La igualdad  podemos escribirla  por ser iguales los ángulos 

Esto quiere decir que  podemos escribir:  y de esta igualdad despejamos :

Comprobamos que el ángulo central en  vale 88º, es decir, el doble que los ángulos inscritos y abarca el arco Esto significa que la medida del arco que abarca el ángulo  o el ángulo  valdrán la mitad de lo que abarca el ángulo central , es decir, .

El valor de un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central, luego, la medida del arco correspondiente a un ángulo inscrito equivale a la mitad del arco que comprenden sus lados o a la mitad del ángulo central correspondiente.

3) Ángulo semi-inscrito: El ángulo semi-inscrito es el que su vértice se encuentra en un punto de la circunferencia, y sus lados, uno es tangente y el otro secante con relación a la circunferencia:

En la figura siguiente señalamos el centro y creamos el ángulo central . El lado del ángulo central es perpendicular al lado secante . El lado del ángulo central es perpendicular al lado tangente :

Pasamos a la figura siguiente y puedes ver que hemos creado los ángulos que abarca el arco  y que abarca el arco , es decir, los ángulos en y en .

Estos ángulos son iguales (en este caso miden 46º) porque sus lados son perpendiculares:

El arco  corresponde al ángulo central  de 46º. Podemos escribir:

Como el valor del arco correspondiente al ángulo central es el que abarcan sus lados escribimos:

También podemos decir que:

 debido a que OD es mediatriz de CE.

Como el arco  es la mitad del arco  podemos escribir:

Como , podemos decir que también: Si ahora sustituyes :

 tenemos la igualdad : 

La medida de un ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del arco que abarcan los lados.
Todo lo explicado sobre el ángulo semi-inscrito lo puedes ver en el gráfico siguiente:

Sucede como si se tratara de un ángulo inscrito. Comprobamos que la medida del ángulo semi-inscrito equivale a la mitad del ángulo central y es igual, a la mitad de la medida del arco que abarcan sus lados.

Los Ángulos en la circunferencia - 2

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  Oir Lecc.

15.146 ¿Cuánto vale el ángulo cuyo vértice señalamos con X?. Razona la respuesta:

Respuesta: X=70º30’. Se trata de un ángulo inscrito y vale la mitad del arco que abarcan sus lados, es decir, la mitad del ángulo central.

15.147 ¿Qué valor tiene X en la figura siguiente? Razónala.

Respuesta: X=31º. Mismo razonamiento del problema anterior.

15.148 Halla el valor de X en la figura siguiente:

Respuesta: X=62º por ser ángulo central y tener el doble del valor del ángulo inscrito cuyos lados abarcan el mismo arco.

15.149 ¿Cuántos grados vale el ángulo X?

Respuesta: X=135º
Solución:

El ángulo  es inscrito y sus lados abarcan el arco  que corresponde al ángulo central de 270º, luego X valdrá la mitad del ángulo central, es decir, 

15.150 ¿Cuánto vale el ángulo X de la figura siguiente y cuál la longitud del arco que abarcan sus lados?

Respuesta: X= 136º30’: longitud del arco = 

4) Ángulo interior: Un ángulo interior es el que tiene su vértice en un punto interior cualquiera de la circunferencia y sus lados son secantes a ella:

El ángulo  es un ángulo interior del que a continuación vamos a deducir el valor del arco que abarcan sus lados..

En primer lugar prolongamos los lados  y  :

Ahora unimos los puntos A y D:

Si te fijas bien, el ángulo  es un ángulo inscrito y vale la mitad del central la longitud del arco que le corresponde es :

Ves que el ángulo vale 73º, es decir, la mitad del ángulo central que mide 146º, abarcando los lados de ambos ángulos el mismo arco.

Podemos decir que 

El ángulo  también es un ángulo inscrito y le corresponderá el arco 

Escribiremos la igualdad 

En el triángulo  el ángulo en  verás que es un ángulo exterior, por lo tanto, vale la suma de los interiores no adyacentes a él:

Lo representamos en la figura siguiente:

Puedes comprobar que los ángulos interiores con vértices en  y en  suman los mismos grados que el exterior en :

La igualdad  puedo escribirla según todo lo que acabamos de estudiar:

La medida de un ángulo interior a una circunferencia es igual a la semisuma de las medidas de los arcos que abarcan los lados y las prolongaciones de éstos.

15.151 ¿Cuánto vale un ángulo interior a una circunferencia si los arcos abarcados por sus lados y sus prolongaciones miden 81º y 33º? Dibuja.

Respuesta: 57º
Solución:

El arco  mide 81º y el arco  33º la semisuma de ambos vale 57º tal como te indica el ángulo 

Observa en la figura las medidas de los ángulos centrales (en color magenta)  tienen las mismas medidas que sus respectivos arcos.

15.152 Un ángulo interior a una circunferencia mide 42º y uno de sus arcos 54º ¿Cuánto medirá el otro arco?

Respuesta: 30º

5) Ángulo exterior: Un ángulo exterior es el que tiene su vértice en un punto exterior a la circunferencia y sus lados respecto a ésta pueden ser secantes, tangentes, o un lado secante y el otro tangente.

Vamos a estudiar los tres casos:

1º Los lados son secantes:

El ángulo  que en la figura vale 20º es un ángulo interior del triángulo  y el ángulo que vale 17º es el otro ángulo interior no adyacente al exterior que vale 37º.

Sabemos que el valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes: 

Sabemos que el ángulo  es un ángulo inscrito y la medida del arco que abarcan sus lados es .

Lo mismo sucede con el ángulo que es un ángulo inscrito y la medida del arco es igual .

Ahora se trata de saber la medida de arcos que corresponde al ángulo exterior .

Vemos que 

Nos interesa despejar 

Donde 

Sustituyendo por las medidas de los arcos conocidos obtengo:

El valor de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de los arcos que abarcan sus lados.

2º Los lados son tangentes:

El razonamiento es igual al caso anterior. El ángulo  es exterior del triángulo que equivale a la suma de los dos interiores no adyacentes:

El ángulo  es un ángulo semi-inscrito lo mismo que  y las medidas de los arcos que abarcan sus lados son respectivamente.

Los ángulos  y  son iguales, podemos escribir:

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual al exterior no adyacente a ninguno de ellos.

Despejando el valor de 

Sustituyendo los valores de  y  por los arcos que abarcan sus lados llegamos: 

Como ves, estamos en el mismo caso como el estudiado cuando los lados eran secantes.

3º Los lados son uno tangente y el otro secante:

En esta figura ves lo mismo de lo que hemos estudiado en el caso anterior. La suma de los ángulos interiores del triángulo  que suman 147º + 32º = 147º es igual al exterior no adyacente a ninguno de los otros dos.
Siguiendo lo explicado en casos anteriores vemos que:

En los tres casos, el valor del ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de los arcos que abarcan sus lados.

Los Ángulos en la circunferencia -3

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  Oir Lecc.

15.153 Calcula las medidas de los arcos que abarcan los lados de un ángulo exterior a una circunferencia de 39º sabiendo que un arco es el triple del otro.

Respuesta: 39º y 117º

Solución:

Si un arco mide xº el otro medirá 3x

Haciendo aplicación de la fórmula:

El arco menor mide 39º y el mayor 

15.154 Dos tangentes a una circunferencia forman un ángulo de 46º ¿Cuánto mide el menor de los arcos que forman en la circunferencia?

Respuesta: 134º

Solución

Al menor de los arcos le damos el valor X
El mayor medirá……………………….360 – X

Aplicando la fórmula tendremos:

15.155 Trazamos una secante a una circunferencia y forma un arco de 130º. ¿Cuánto vale el ángulo cuyo vértice está en el punto donde se encuentran la secante y el diámetro de la circunferencia? Dibuja la figura.

Respuesta: 25º 
Solución
En muchos problemas, si dibujamos bien la figura hemos conseguido más de la mitad de su solución. Es importante acompañar, siempre que sea posible, cada problema con su correspondiente figura.

Comenzamos a trazar la secante a la circunferencia y el arco de 130º:

Ahora le añadimos la diagonal (ha de pasar por el centro de la circunferencia y se une con uno de los extremos de la secante:

Si ahora unimos el otro extremo de la secante con el centro y prologamos la línea:

Compruebo que me queda el triángulo isósceles  cuyos ángulos los señalo del modo siguiente:

Como el ángulo central determina un arco igual al que abarcan sus lados conozco de este modo el valor de un ángulo del triángulo (por opuesto por el vértice) y los otros ángulos al ser iguales les doy el valor x a cada uno ellos, escribo la ecuación teniendo en cuenta que ka suma de los tres ángulos de un triángulo valen 180º:

La figura completa será:

15.156 Una secante a una circunferencia crea un arco de 86º. ¿Cuánto valen los ángulos inscritos cuyos lados pasan por los extremos de la secante? Dibuja el contenido del texto.

Respuestas: 43º y 137º

Solución:

Trazamos la secante AB a la circunferencia con centro en O.

Dibujamos los lados del ángulo inscrito que valdrá la mitad del ángulo central sin importarnos el punto de la circunferencia que elijamos, siempre tendrá el mismo valor mientras nos refiramos al mismo arco.

Piensa que si tomamos los puntos de intersección de la secante a la circunferencia creamos dos arcos.

Estos dos arcos los consideramos a continuación:

Los vértices en D, E y F valen lo mismo porque se refieren al mismo ángulo inscrito.

Todos ellos valen la mitad del central y éste equivale al arco que abarcan sus lados.

Otra solución:

Otra respuesta la podemos obtener si elegimos al arco mayor como correspondiente al ángulo central:

En este caso el ángulo central abarca un arco  de 274º lo que quiere decir que el inscrito en el punto C de la circunferencia vale la mitad, es decir, 137º.

15.157 Unimos por medio de una recta dos puntos A y C de una circunferencia y creamos un arco de 130º48’4’’. Por ambos puntos trazamos desde el punto exterior B a la circunferencia dos tangentes. ¿Cuánto valen los ángulos cuyos vértices se hallan en A, B y C?

Respuestas:

Solución:
Los arcos en los que la cuerda AC ha dividido a la circunferencia miden 130º48’4” y 229º11’56”.

El ángulo 

Los ángulos  y  son iguales porque el triángulo es isósceles. Si damos el valor de x a cada uno de ellos, podemos escribir la ecuación:

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