Planos de geometría

Cuadriláteros.- Clasificación de los Cuadriláteros

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  Oir Lecc.

Acabamos de estudiar el polígono de tres lados, es decir, el triángulo. Ahora comenzamos a estudiar los polígonos de cuatro lados o cuadriláteros.
La suma de todos los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360º.

También en los cuadriláteros tenemos: lados, vértices, ángulos y diagonales:

Todo cuadrilátero tiene 4 lados, 4 vértices, 4 ángulos y dos diagonales.

CUADRILÁTERO CÓNCAVO

Un cuadrilátero es cóncavo si tiene un ángulo cóncavo (mayor que 180º):

La suma de sus ángulos interiores es: 224º+59º+32º+45º= 360º

CUADRILÁTERO CONVEXO

Un cuadrilátero es convexo cuando cada uno de sus ángulos interiores es menor que 180º:

15.97 ¿Es posible la existencia de un cuadrilátero que trazando sobre él una recta pueda cortar a más de dos lados? Razona tu respuesta.
Respuesta: Sí, basta que el cuadrilátero sea cóncavo.

Demostración gráfica:

CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS

Los cuadriláteros se dividen en tres grupos teniendo en cuenta el paralelismo de sus lados

1. Paralelogramos: los que sus lados opuestos son paralelos.
2. Cuadrado, rectángulo, rombo y romboide.
3. Trapecios: los que tienen 2 lados opuestos paralelos.
4. Trapecio rectángulo, trapecio isósceles y trapecio escaleno
5. Trapezoides: los que no tienen ningún par de lados paralelos.
6. Trapezoide simétrico y trapezoide asimétrico.

Vamos a estudiarlos separadamente.

PARALELOGRAMOS

Son los cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos
En la figura que tienes a continuación observarás:

A) que los lados  y  son iguales, lo mismo que  y  .

B) que los ángulos opuestos son también iguales

C) que las diagonales se cortan en su punto medio O.

Clasificación de los paralelogramos

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  Oir Lecc.

Cuadrados: Los que sus cuatro ángulos son iguales y valen 90º y sus cuatro lados también son iguales.

Todo cuadrado tiene 2 diagonales que son iguales y además, son bisectrices.
Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares.
Comprueba en el dibujo siguiente cuanto acabamos de decir.

Las diagonales AC y BD son iguales y son bisectrices, han dividido al ángulo de 90º en dos partes iguales de 45º, y además, son perpendiculares en O.

Rectángulos: Son los paralelogramos que tienen:
a) sus lados opuestos iguales y paralelos,
b) sus cuatro ángulos iguales y cada uno vale 90º,
c) tiene iguales sus diagonales.

Los lados AB y CD son iguales y paralelos lo mismo que los lados BC y AD. Las diagonales AC y BD también son iguales entre sí.

Rombos: son paralelogramos que tienen:
a) sus lados iguales y paralelos dos a dos, 
b) dos ángulos interiores son iguales y agudos y los otros dos, además de iguales son obtusos.

c) Las dos diagonales son iguales y perpendiculares.

Comprobamos en la figura siguiente las propiedades que acabamos de mencionar.

En la figura precedente vemos:

1) que las dos diagonales son bisectrices (comprueba el valor de los ángulos – en amarillo y en magenta el valor de su bisectriz)

2) que los cuatro lados son iguales

3) que las diagonales son perpendiculares en O y se cortan en el punto medio de ellas.

Romboides: son paralelogramos que tienen:

a) lados paralelos dos a dos

b) sus diagonales no son perpendiculares

c) sus ángulos opuestos son iguales

d) si sus ángulos interiores valieran 90º se transformaría en un rectángulo y si sus lados fuesen iguales se transformaría en un rombo.

En la figura puedes comprobar cuantas características hemos señalado:

a) Los lados AB y CD son paralelos lo mismo que AD y BC. La misma consideración podemos hacer en la otra figura: MN y RSson paralelos del mismo modo que MS y NR.

b) Sus diagonales no son perpendiculares en los puntos O y K respectivamente.

c) Sus ángulos opuestos son iguales.

15.98 Dibuja un rombo y señala los puntos medios de cada uno de sus lados. Si unes los puntos medios ¿qué figura obtienes, un rectángulo o un cuadrado? Demuéstralo.

Respuesta: Un rectángulo.

Demostración:Dibujamos un rombo (4 lados iguales). Los ángulos son iguales dos a dos. A mayor ángulo se opone mayor lado, luego, si los ángulos son distintos dos a dos, los lados también serán de distintas medidas dos a dos y es lo que indica la siguiente figura:

El cambio de color de cada uno de los lados de los rombos indica su punto medio.

15.99 ¿Si unieras los puntos medios de los lados de un rectángulo ¿Qué obtendrías: un rombo, otro rectángulo o un cuadrado?

Respuesta: Un rombo.

Demostración gráfica:( Los puntos medios de los lados quedan fijados en los puntos de cambio de color).

15.100 Si en un rectángulo trazamos sus diagonales ¿cuántos triángulos obtenemos y qué tipo de triángulo es cada uno de ellos teniendo en cuenta sus lados?

Respuestas: 4 triángulos; isósceles.

Demostración:Dibujamos las dos diagonales y obtenemos 4 triángulos.

Como puedes comprobar, son iguales dos a dos.

Son isósceles, cada uno de ellos porque tienen iguales dos lados. Basta que nos fijemos el valor de sus ángulos, y recuerda, a ángulos iguales se oponen lados iguales:

15.101 Dibuja un triángulo rectángulo isósceles.

Respuesta: porque tiene dos lados iguales AB y AC, y por lo tanto, dos ángulos iguales y un ángulo recto.

15.102 Sabes que un romboide es un paralelogramo que tiene sus lados y ángulos iguales dos a dos y sus diagonales no son perpendiculares ni son iguales. El punto de corte de las diagonales es el centro del romboide.¿Cómo dibujarías con regla y compás un romboide cuya base mida 4 cm. y sus diagonales, 6 y 8 cm.?

Solución por si tienes dificultades:

1º dibujamos la base de 4 cm.

2º de los extremos de la base trazo dos arcos de 3 y 4 cm. de radio que son la mitad de lo que miden sus diagonales:

Ahora unimos el punto de corte de ambos arcos, O, con los extremos del segmento El punto O es también la intersección o punto de encuentro de las diagonales del romboide lo que equivale a decir que  y  son las mitades de las dos diagonales y, además, el punto medio del paralelogramo.

3º Duplico las distancias  y  así obtengo las medidas exactas de ambas diagonales 6 y 8 cm  y 

4º Uno los puntos A, A’, B’ y B y ya tengo el romboide de 4 cm. de base y unas diagonales de 6 y 8 cm.

Los lados  y que son iguales miden 6 cm. y los lados  y 

4 cm.

El romboide completo lo tengo a continuación:

15.103 ¿Puede tener un rombo un ángulo de 90º? Razona tu respuesta.

Respuesta: No. En un rombo dos ángulos son agudos y los otros dos obtusos. El corte de sus diagonales forman ángulos de 90º.

Demostración gráfica

Un rombo, tal como lo ves en la figura anterior, podemos dividirle en 4 triángulos rectángulos siendo 360º la suma de sus ángulos. Cada triángulo tiene un ángulo de 90º en la intersección de las dos diagonales. Los otros dos ángulos de cada triángulo rectángulo valen 52º y 38º (la mitad del ángulo agudo 76º) y la mitad del obtuso 104º). La suma de todos los ángulos: 52+38+90 =180º.

Para que un rombo tuviera ángulos de 90º tendría que tener sus lados y ángulos iguales, y en este caso estaríamos hablando del cuadrado.

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