Planos de geometría

Distancias del Baricentro a cada vértice

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  Oir Lecc.

Si a cada mediana le divides en tres partes iguales, cada trozo, será la tercera parte de su longitud.

Es importante que sepas que la distancia del baricentro a cada uno de sus vértices es igual a  de su longitud y que se halla a  del lado.Compruébalo en la figura siguiente:

Podemos decir que la distancia del baricentro a cada vértice es el doble de la distancia al punto medio del lado opuesto correspondiente.

15.83  Demuestra que la suma de los ángulos exteriores de un triángulo cualquiera vale 360º

Demostración:

Sabemos que un ángulo exterior de un triángulo vale la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.

Puedes comprobar que el ángulo exterior en color verde que vale 113º equivale a la suma de los dos interiores no adyacentes.

Para demostrarlo trazamos una paralela al lado  a partir de C y obtenemos la línea 

Escribimos los valores de los ángulos que se nos han creado:

Los ángulos  y son iguales porque son alternos internos (vemos que valen 58º).

Los ángulos  y 

son iguales porque son correspondientes (vemos que valen 55º).

El ángulo exterior  cuyo valor es de 113º equivale a la suma de los ángulos:

 + , es decir, 58º+55º.

15.84   En un triángulo rectángulo un ángulo vale 33º44’ ¿Cuánto valen los otros dos?

Respuesta: 56º16’ y 90º

15.85   Dibuja el incentro y ortocentro de un triángulo isósceles.

Respuesta:
En la figura tenemos en color verde las alturas del triángulo isósceles. El punto donde se encuentran las tres alturas (la altura es la recta que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto) en color amarillo es el ortocentro.

El incentro o lugar donde se encuentran las bisectrices (la bisectriz divide al ángulo en dos partes iguales) lo tenemos en color verde.

15.86  ¿Es posible que el ortocentro se sitúe fuera del triángulo? Responde y demuestra.

Respuesta: Sí

Demostración:
Cuando el triángulo es obtusángulo el ortocentro queda fuera del triángulo:

Partimos de un triángulo obtusángulo:

Vemos que el triángulo tiene un ángulo obtuso, es decir, mayor que 90º.

Como el ortocentro es el lugar donde se juntan las alturas y éstas son perpendiculares a los lados opuestos, prolongamos los lados  en color verde:

Trazamos las alturas en color rojo:

1ª Desde el ángulo A y es perpendicular al lado  en este caso, a su prolongación.

2ª Desde el ángulo B y es perpendicular al lado 

3ª Desde el ángulo C y es perpendicular al lado en este caso, a su prolongación.

Distancias del Baricentro a cada vértice -2

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  Oir Lecc.

DISTANCIAS DEL BARICENTRO A CADA VÉRTICE

15.87 En un triángulo acutángulo ¿puede el ortocentro hallarse fuera del triángulo?

Respuesta: No, es preciso que el triángulo sea obtusángulo (que uno de sus ángulos sea mayor que 90º).

15.88 ¿Puede el incentro hallarse fuera del triángulo? Razona la respuesta.

Respuesta: No. El incentro es el punto donde se cortan las bisectrices del triángulo. Ese punto es el centro de la circunferencia inscrita y por lo tanto, equidista, está a igual distancia de los tres lados.

15.89 Dibuja el baricentro, circuncentro y ortocentro de dos triángulos. ¿Qué puedes afirmar después de comprobarlos en los dos triángulos sobre la situación o colocación de esos tres puntos?

Respuesta: Se hallan situados en la misma línea.
Comprobación:

En color cian tienes trazadas las alturas que se encuentran en el punto 1, en el punto 2, baricentro (color magenta)se cortan las medianas y en el punto 3, el circuncentro (color verde), se cortan las mediatrices.

Puedes comprobar que los tres puntos forman parte de una recta (color gris).

En el ejemplo siguiente en el que tenemos un triángulo obtusángulo, también comprobamos que los tres puntos solicitados se encuentran sobre la misma línea.

Los lados del triángulo en color blanco.

El ortocentro en cian fuera del triángulo. Observa que las alturas son perpendiculares a las prolongaciones de los lados opuestos.

El baricentro en magenta en el interior del triángulo.

El circuncentro en verde fuera del triángulo.

15.90 Sirviéndote de una regla y un compás dibuja un triángulo cuyos lados midan exactamente 4, 6 y 8 cm calcula su baricentro. Comprueba con la regla que las distancias: OA es el doble de ON, OB es el doble de OR y OC el doble de OM.

Respuesta:

Solución:

Para dibujar un triángulo, sirviéndote de regla y compás cuyos lados midan, exactamente, 4 cm., 6 cm. y 8 cm., primero dibuja un segmento horizontal de 4 cm .

Con centro en el extremo B del segmento y con un radio de 6 cm traza un arco como tienes a continuación:

Con centro en el extremo A del segmento anterior y con un radio de 8 cm traza un arco como tienes a continuación:

Unimos el punto de corte O de ambos arcos con los extremos del segmento :

Para hallar el punto medio de un lado puedes hacer lo siguiente:

1.- De los extremos del lado AO, haciendo centro en A y con un radio de 5 cm. trazo el arco  y con el mismo radio, haciendo centro en O trazo el arco 

2.- Uno con una recta los dos puntos de corte de ambos arcos:

y de este modo calculo el punto medio del segmento AO que será el punto K.

La mediana relativa al vértice B será la línea que une este vértice con el punto K que es la mitad del lado opuesto AO, es decir, BK

De igual modo dibujas las otras medianas obteniendo la figura en la que quedan representadas todas las medianas y su punto de encuentro en O:

15.91 ¿Podemos decir que el baricentro y el ortocentro coinciden en un triángulo equilátero? Demuestra que es cierta tu respuesta dibujando con una regla y un compás. Si los dibujos, con triángulos del mismo tamaño y en papel transparente, por separado, podrías ver las coincidencias si les superpones.

Respuesta: Sí coinciden.

Demostración:

Dibujamos dos triángulos equiláteros iguales.

En el primero trazamos las medianas (líneas que partiendo de un vértice llegan al punto medio del lado opuesto- en color azul-).En el segundo dibujamos las tres alturas del triángulo (segmentos que unen perpendicularmente cada vértice con el lado opuesto (en color verde).

Hemos superpuesto (poner un triángulo encima del otro) ambos triángulos y notarás que las líneas coinciden, en cambio, los valores de los ángulos que han sido colocados a distintas distancias de sus vértices no. Que coincida o no el texto no importa, son las medianas con las alturas, el ortocentro con el baricentro, los vértices y lados de cada triángulo quienes tienen que coincidir.

15.92 En un triángulo equilátero ¿coinciden el incentro y el circuncentro? Demuéstralo sirviéndote de un compás y una regla.

Respuesta: Sí coinciden.
Demostración:
Dibujamos un triángulo equilátero:

Recuerda que el incentro es el lugar donde se encuentran las tres bisectrices de un triángulo.

Como comprobarás en la figura, cada bisectriz, en azul divide al cada ángulo de 60º en dos partes iguales de 30º.

Haciendo centro en G, el incentro,, podemos dibujar una circunferencia inscrita.

En la figura siguiente hemos trazado las mediatrices del triángulo equilátero de iguales medidas al anterior.Recuerda que la mediatriz es un segmento que pasando por el punto medio del lado es perpendicular a dicho lado en ese punto medio, en X e Y.

Comprobarás que todas las mediatrices son perpendiculares a cada lado en su punto medio encontrándose todas ellas en el punto H que es el circuncentro o centro de la circunferencia circunscrita.

Si superponemos ambas figuras obtenemos el siguiente resultado:

Notamos que los lados de ambos triángulos, el incentro y circuncentro coinciden.Las notaciones de texto, al referirse a medidas diferentes, es lo que no coincide, pero esto es indiferente.

15.93 ¿Coinciden el incentro, circuncentro, ortocentro y baricentro en un triángulo equilátero?

Respuesta: Sí, coinciden (basta que dibujes 4 triángulos equiláteros iguales, cada uno en una hoja transparente para comprobar la coincidencia).

15.94 Para que un ángulo de un triángulo sea igual a su adyacente ¿cómo tiene que ser el triángulo?

Respuesta: Triángulo rectángulo.

Explicación:Dibujamos dos triángulos:

Sabemos que los ángulos adyacentes, contiguos o consecutivos valen 180º. Para que dos ángulos sean iguales y adyacentes, cada uno deberá valer 90º porque juntos han de valer 180, y además, deben ser iguales (2º triángulo de la figura).Si no fuera rectángulo los dos ángulos adyacentes no serían iguales aunque sumaran 180º (en color verde del primer triángulo de la figura).

15.95 ¿Puede ser un triángulo, al mismo tiempo, isósceles y rectángulo?

Respuesta: Sí.

Comprobación:Los lados en color verde son iguales ya que miden igual, luego el triángulo es isósceles y además es un triángulo rectángulo por tener un ángulo recto. Puedes ver que a lados iguales se oponen ángulos iguales.

15.96 ¿Puede ser un triángulo, a la vez, rectángulo y equilátero?

Respuesta: No.

Explicación:Si un triángulo es equilátero, es decir, sus lados iguales, sus ángulos serán también iguales. Para saber su valor dividimos 180 entre 3 y vemos que cada ángulo de un triángulo equilátero vale 60º.Un triángulo rectángulo siempre ha de tener un ángulo de 90º y nunca podrá ser equilátero porque para ser equilátero, sus 3 ángulos deben ser iguales, y 3 por 90º nos dan 270º y como un triángulo no debe pasar de 180º la respuesta a la pregunta del problema será negativa.