Planos de geometría

Operaciones Aritméticas con los Ángulos

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  Oir Lecc.

Con las medidas de los ángulos puedes realizar las operaciones aritméticas de sumar, restar, multiplicar,….

SUMAR ÁNGULOS

Si nos dicen que sumemos los ángulos A= 32º0’19’’ y B=74º44’42’’ que los tenemos en la figura siguiente no tenemos más poner uno a continuación del otro girando el ángulo B (agregamos, sumamos, ponemos uno a continuación del otro) y el resultado será la suma de ambos valores:

15.37 Calcula la suma:

Respuesta: 105º50’49”

Solución:
Sumamos la columna de los segundos: 58+12+44+55 = 169”.
Calculo cuántos minutos hay en 169” dividiendo entre 60:
Obtengo 2 como cociente y 49 como resto, es decir, que tengo 2’ y 49”.
Sumamos los minutos: 34+45+34+55 = 168’
A estos 168’ tengo que sumar los 2’ que proceden de la suma de los segundos: 168+2 = 170’

170’ divido entre 60 para ver cuántos grados hay, el resto de la división serán los minutos que quedan, 50’ y el cociente, 2 los grados que debo añadir a la suma de los grados de los 4 ángulos:
Sumamos los grados: 12+23+35+33 = 103º a los que debo añadir los 2º procedentes de la suma de la columna de los minutos, es decir, 103+2 = 105º

15.38 Calcula la suma:

Respuesta: 149º59’21’’

15.39 Calcula la suma:

Respuesta: 100º

RESTAR ÁNGULOS

Dados los ángulos A y B de la figura que tienes a continuación verás que hemos restado los valores de los ángulos y su diferencia la tienes en color rosa:

15.40 Calcula la diferencia:  

Respuesta: 1º50’49’’

Solución:
Comienzo a restar a partir de los segundos y veo que en el sustraendo (55’’) tengo más segundos que en el minuendo (44”). Para poder restar, de los 24’ del minuendo quito 1’, o 60” y se los paso a los 44” con lo que me quedan: 60+44 = 104” y a esta cantidad ya puedo restarle 55” quedándome 49”.
Ahora resto la columna de los minutos teniendo en cuenta que en el minuendo no tengo 24’ sino 23’.
Como en el sustraendo tengo 33’, es decir, una cantidad superior a los 23 del minuendo debo quitar 1º de la columna de los grados del minuendo (13º). Ahora me quedan, en el minuendo, 12º y 60+23 = 83’. A esta cantidad le resto 33’ y me quedan: 83 – 33 = 50’.
Solo me quedan restar los grados, teniendo en cuenta que en el minuendo no tengo 13º sino 12º: 13-12 = 1º.

15.41 Calcula la diferencia: 

Respuesta: 3º50’19”

15.42 Calcula la diferencia: 95º34’55’’ – 50º50’50’’=

Respuesta: 44º44’05’’

PRODUCTO DEL VALOR DE UN ÁNGULO POR UN NÚMERO NATURAL:

Si a un ángulo de 30º multiplicamos por el número natural 5 obtendremos un ángulo de 150º tal como lo ves en la figura de más abajo:

15.43 Multiplica: 

Respuesta: 94º58’48”

Solución:
Si multiplico 4x42” obtengo: 168”. En 168” tengo 2’ y me quedan 48 como resto al dividir 168 entre 60.
Multiplico 4x44’ y obtengo: 176’ a los que debo añadir los 2’ que obtuve del producto de los segundos: 176+2 = 178’.
Esta cantidad la divido entre 60 para saber los grados que contiene:

Por fin, multiplico 4x23º obteniendo: 92º a los que debo añadir los 2º procedentes del producto de los minutos:92+2=94º

15.44 Multiplica: 

Respuesta: 169º59’40”

15.45 Multiplica: 

Respuesta: 113º03’36’’

COCIENTE DEL VALOR DE UN ÁNGULO POR UN NÚMERO NATURAL:

Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese número, seguidamente, pasamos a minutos el resto que nos haya quedado (multiplicando por 60) sumándolos a los que tengamos en el dividendo y continuamos con la división. Si nos queda un resto (dividiendo los minutos), lo transformamos en segundos (multiplicándolo por 60) y sumándolos a los que haya en el dividendo. Seguimos dividiendo por el número natural y damos por concluida la división.

Ejemplo:

15.46 Calcula el cociente de:

Respuesta: 9º21’25’’ y el resto 1’’

15.47 Calcula el cociente y el resto de la división:

Respuesta: 13º24’59” y el resto 4”

15.48 ¿El ángulo convexo y el ángulo obtuso tienen algún parecido?

Respuesta: Sí, los dos valen más 90º.

15.49 ¿En qué se diferencia un ángulo obtuso de un ángulo convexo?

Respuesta: Un ángulo obtuso vale más de 90º y menos 180º y el ángulo convexo está comprendido entre 0º y 180º.

15.50 ¿Puede decirse que todos los ángulos agudos son también convexos?

Respuesta: Sí porque los agudos están comprendidos entre 0º y 90º y los convexos entre 0º y 180º.

15.51 ¿Puede decirse que todos los ángulos convexos son también ángulos agudos?

Respuesta: No porque los agudos valen menos de 90º y son convexos los que están comprendidos entre 0º y 180º.

15.52 ¿Todos los ángulos obtusos son convexos?

Respuesta: No (comprueba el ejercicio 15.49)

15.53 Un ángulo llano es igual a dos rectos?

Respuesta: Sí porque un ángulo llano equivale a 180º o dos ángulos rectos.

15.54 Realiza una tabla en la que podamos comprobar el valor del ángulo y el nombre que recibe.

Respuesta: Representando por  el ángulo que forman las semirrectas Ay B con vértice en O podemos hacer la tabla siguiente:

Ángulos determinado por Rectas Paralelas cortadas po una Secante

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  Oir Lecc.

Observa en el dibujo que dos rectas paralelas cortadas una recta transversal crea 8 ángulos que reciben distintos nombres según la posición que ocupan:

Las recta r corta a las rectas paralelas m y n:

Los nombres de los ángulos según el lugar que ocupan reciben los nombres:

Interiores o internos:

En azul, son los que se encuentran entre las rectas paralelas.

Ángulos exteriores o externos:

Los ángulos exteriores o externos en color violeta, son los que hallan en la zona exterior de las paralelas.

Ángulos correspondientes:
Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas.

Los ángulos del mismo color son correspondientes:

El ángulo a se corresponde con el ángulo a’
El ángulo b se corresponde con el ángulo b’
El ángulo c se corresponde con el ángulo c’
El ángulo d se corresponde con el ángulo d’

Teniendo en cuenta lo dicho hasta aquí y fijándonos en la figura podemos afirmar que los ángulos correspondientes son iguales entre sí.

Ángulos alternos internos

Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas:

Los ángulos internos son d’, c, b y a’. Si los tomamos alternadamente, tendríamos, por un lado, los ángulos d’ y b, y por otro, c y a’ y comprobarás que los alternos internos son iguales entre sí.

Ángulos alternos externos:

Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas:

Los ángulos externos son: a, b’, c’ y d que tomándolos alternadamente tendremos, por un lado los ángulos a y c’, y por otro, los ángulos b’ y d. Comprobarás que los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

15.55 Observa la figura siguiente y después, contesta a las preguntas siguientes:

1. ¿Cómo son los ángulos 1 y 2?
2. ¿Cómo podemos llamar a los ángulos 1 y 4?
3. ¿Son suplementarios los ángulos 2 y 4?
4. ¿Son iguales los ángulos 2 y 3? ¿Por qué?
5. ¿Son correspondientes los ángulos 3 y 7?
6. ¿Cómo son los ángulos 4 y 6?
7. ¿Es el ángulo 6 correspondiente al ángulo 3?
8. ¿Son iguales los ángulos 5 y 8? ¿Por qué?
9. ¿Cómo puedes llamarles a los ángulos 1 y 8?
10. ¿Son alternos internos los ángulos 5 y 6?

Respuestas:

1. Adyacentes y suplementarios.
2. Opuestos por el vértice. Uno es externo y el otro interno.
3. Sí, juntos valen 180º.
4. Sí, por ser opuestos por el vértice.
5. Sí por encontrarse en el mismo lado de la secante, siendo uno un ángulo interior y el otro un ángulo exterior.
6. Se encuentren en el mismo lado de la secante, los dos son ángulos interiores.
7. No porque no están situados al mismo lado de la secante y además, los dos son interiores.
8. Sí por estar opuestos por el vértice.
9. Son ángulos alternos externos ya que se encuentran a distinto lado de la secante y en la parte exterior de las paralelas.
10. No porque no son alternos y además, los alternos internos son iguales entre sí.

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