Planos de geometría

Ángulos de lados Paralelos - Ángulo de lados Perpendiculares- Bisectriz de un ángulo

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ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS

A) Dos ángulos de lados paralelos, los dos agudos o los dos obtusos, son iguales.

Los ángulos  y A’O’B’ tienen sus lados paralelos (los lados OA y O’A’ son paralelos entre sí, como también lo son OB y O’B’).Los dos ángulos son obtusos y vemos que son iguales.

B) Si los lados de ambos ángulos, uno obtuso y otro agudo tiene sus lados paralelos (OA paralelo con O’A’, OB paralelo con O’B’) son suplementarios.

Si sumas ambos ángulos comprobarás que el resultado es de 180º, es decir, son suplementarios.

ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES

Igual que en el caso anterior, podemos considerar que los ángulos sean los dos obtusos o los dos agudos y que uno sea obtuso y el otro agudo o viceversa.

A) En el caso de que ambos ángulos sean agudos o ambos obtusos y sus lados perpendiculares tienen el mismo valor.

Observa que los lados de ambos ángulos son perpendiculares entre sí; el lado OA es perpendicular al lado O’A’ y el OB es perpendicular al lado O’B’. Vemos que cuando se dan las condiciones anteriores, los ángulos son IGUALES (en el ejemplo, 30º).

B) Si los lados de ambos ángulos, uno agudo y el otro obtuso son perpendiculares, los ángulos son suplementarios:

Los lados OA y O’A’ son perpendiculares lo mismo que OB con relación a O’B’ y los ángulos que forman los lados a los que acabamos de hacer referencia, son suplementarios: 31º + 149º = 180º

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

La palabra bisectriz procede del latín bis que significa dos veces y secare que significa cortar.

Se llama bisectriz de un ángulo a la recta que partiendo del vértice divide al ángulo en dos partes iguales:

La recta OA es la bisectriz porque al ángulo de 36º lo divide en dos partes iguales de 18º cada una.

15.56 Uno de los ángulos adyacentes mide 100º50’50’’ ¿Cuánto mide el otro?

Respuesta: 79º09’10’’

15.57 ¿Cuánto vale el ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos adyacentes?

Respuesta: 90º

Solución:

En la figura tenemos dos ángulos adyacentes uno  de 135º (en color rojo) y el otro  (en color azul claro) de 45º.

Trazamos las bisectrices de cada uno de los ángulos y el ángulo obtuso de 135º se ha dividido en dos ángulos que miden 67º30’ cada uno y el ángulo agudo de 45º ha quedado dividido por su bisectriz en dos ángulos de 22º30’ cada uno.
Midiendo el ángulo que forman las dos bisectrices comprobamos que su medida angular equivale a 90º.
No importa la medida de los ángulos adyacentes, la medida angular de sus bisectrices será de 90º

15.58 ¿Cuánto valen cada uno de los ángulos que forman dos rectas perpendiculares?

Respuesta: 90º

15.59 Tenemos dos rectas paralelas cortadas por una recta secante. Uno de los ángulos vale 119º. ¿Cuánto valen los otros siete?

Respuesta: a) 119º; b) 61º; c) 119º; d) 61º; e) 119º; f) 61º; g) 119º; h) 61º

Solución:

Gráficamente tenemos:

15.60 En la figura:

Demuestra que la suma de los ángulos a y c son iguales al ángulo 

Solución:

En (1) trazo una paralela a la recta A
En (2) prolongo uno de los lados del ángulo a
En (3) prolongo uno de los lados del ángulo c

Los nuevos ángulos que se han formado con las prolongaciones de los lados corresponden a a’ y c’ que son iguales a los ángulos
a y c por correspondientes (al mismo lado de la secante y ambos internos).

En este caso, las paralelas las forman las rectas A y K.

Lo dicho anteriormente puedes comprobarlo en la figura siguiente:

Verás que la suma de los ángulos a’ y c’ son iguales al ángulo b por opuestos por el vértice.

Haciendo las mediciones de los ángulos en la última figura obtenemos:

Polígonos - Partes de un Polígono - Clases de Polígonos

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¿Qué significa la palabra polígono?
La palabra polígono procede del griego. En griego, poli significa muchos y gonos significa lados.

Polígono significa una figura plana limitada o cerrada por líneas rectas o curvas que no están situadas en línea recta.Ejemplos de polígonos:

PARTES DE UN POLÍGONO

De un polígono debes conocer los componentes siguientes:

Lados: son los segmentos que lo limitan.
Ángulos interiores: los que forman dos lados contiguos (color verde).
Vértices: los puntos donde coinciden dos lados.
Diagonales: las rectas que unen dos vértices que no sean consecutivos (color rojo).

CLASES DE POLÍGONOS:

Podemos clasificar a los polígonos teniendo en cuenta:

1. Sus lados:

Los polígonos según el número de lados que tienen reciben nombres diferentes.

Un polígono o figura cerrada necesita al menos tres lados porque con menos no puede cerrarse un área, una superficie.

Tienes a continuación una Tabla con los nombres de los polígonos según el número de lados:

Número de lados	Nombre del polígono
1	no existe
2	no existe
3	triángulo
4	cuadrilátero
5	pentágono
6	hexágono
7	heptágono
8	octógono
9	eneágono
10	decágono
11	endecágono
12	dodecágono
13	tridecágono
14	tetradecágono
15	pentadecágono
16	hexadecágono
17	heptadecágono
18	octodecágono
19	eneadecágono
20	isodecágono
30	triacontágono
40	tetracontágono
50	pentacontágono
60	hexacontágono
70	heptacontágono
80	octacontágono
90	eneacontágono
100	hectágono
106	megágono
10100	googólgono

Si tria es tres, al añadirle conta le convierto en triaconta = 30
Si penta es 5, al añadirle conta le convierto en pentaconta = 50
Si hepta es 7, al añadirle conta le convierto en heptaconta = 70

2) Sus ángulos:
Pueden ser cóncavos y convexos.
Recuerda que un ángulo convexo vale menos de 180º o dos rectos y un cóncavo más de 180º o dos rectos.Un polígono es convexo cuando sus ángulos valen menos de 180º.
Un polígono es cóncavo cuando tiene, por lo menos, un ángulo cóncavo o mayor que 180º.

Ejemplos:

3) Igualdad de lados y ángulos:

Cuando un polígono tiene sus LADOS Y ÁNGULOS iguales se llaman polígonosREGULARES.

Si los lados y ángulos no tienen la misma medida se llaman polígonosIRREGULARES.

Ejemplos:

REGULARES:

IRREGULARES:

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