Planos de geometría

Posiciones relativas de un punto respecto a una Circunferencia

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  Oir Lecc.

La posición de un punto con relación a una circunferencia puede ser triple:

1) Que el punto esté fuera de la circunferencia.

2) Que esté sobre la misma línea de la circunferencia.

3) Que el punto esté dentro de la circunferencia.

POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA

Una recta respecto a una circunferencia puede ocupar las siguientes posiciones:

a) Si una recta no tiene ningún punto en común con una circunferencia la llamamos recta exterior a la circunferencia:

Como ves, la circunferencia y la recta no tienen ningún punto perteneciente a la vez, a ambas figuras.

b) Si una recta tiene un punto en común con una circunferencia decimos que se trata de una recta tangente a la circunferencia:

Tangente es una palabra que procede del latín y significa tocar,palpar.

La recta es tangente a la circunferencia en el punto A. Le toca en el punto A.

El punto A de la recta es también un punto de la circunferencia, es decir, que el punto es común para la recta y para la circunferencia y se le llama punto de tangencia..

También podemos decir que una recta es tangente a una circunferencia cuando la distancia entre el centro de la circunferencia al punto común es igual al radio:

El punto P es común para la recta y para la circunferencia, y la distancia entre Py el centro de la circunferencia equivale al radio.

c) Si una recta tiene dos puntos comunes con una circunferencia decimos que se trata de una recta secante a la circunferencia.

La palabra secante que procede de la palabra latina secare significa cortar.

Podríamos decir también que una recta es secante a una circunferencia si le corta a ésta por dos puntos:

Observarás que la recta corta a la circunferencia en los puntos A y B a la circunferencia.

15.130 ¿Puedo trazar tres rectas tangentes a una circunferencia por el punto de tangencia? Razona la respuesta.

Respuesta: No, solamente una.

Razonamiento:

Observa la figura siguiente:

El radio OA es perpendicular a la recta r en el punto de tangencia por formar entre ambas (radio y recta) un ángulo de 90º, luego la recta r es tangente a la circunferencia en el punto A que está sobre la circunferencia.

Si trazamos otra recta, la recta s, como te muestra la figura siguiente, el punto de tangencia ha cambiado de lugar.

Ves que el radio OB forma un ángulo de 90º con la recta s, es decir, es tangente en el punto de tangencia B mientras que la recta r es tangente a la circunferencia en el punto A.
Tenemos dos rectas tangentes en puntos diferentes sobre la circunferencia.

Por cada recta que tracemos tendremos un nuevo punto de tangencia.

15.131 Desde un punto exterior a una circunferencia ¿cuántas tangentes a ella puedo trazar? Dibuja.

Respuesta: Dos tangentes.

Dibujo:
Lo vamos a hacer en partes:

1) dibujo una circunferencia y el punto exterior:

2) dibujo una segunda circunferencia que pase por el punto exterior A y por el centro de la circunferencia O:

Los puntos T1 y T2 son los puntos de tangencia.

3) Ahora dibujo dos rectas que nacen en A y pasan por T1 y T2 y serán las tangentes a una circunferencia desde un punto exterior A:

Posiciones relativas de dos Circunferencias

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  Oir Lecc.

Hemos estudiado hasta ahora las posiciones relativas de un punto y una recta respecto a una circunferencia. Ahora estudiarás las posiciones relativas de una circunferencia respecto a otra circunferencia.

1) Dos circunferencias pueden ser exteriores una respecto a la otra cuando no tienen ningún punto en común y la distancia entre los centros de ambas es mayor que la suma de sus radios.

Comprobarás que la distancia entre los centros es mayor que la suma de los radios:

2) Dos circunferencias son tangentes exteriores cuando la suma de sus radios es igual a la distancia de sus centros, lo que quiere decir que: 

Siendo r el radio de la circunferencia más pequeña y R el de la mayor y D la distancia entre los centros:

3) Dos circunferencias son secantes cuando la distancia entre sus centros es menor que la suma de sus radios.

También decimos que dos circunferencias son secantes cuando tienen dos puntos comunes:

4) Dos circunferencias son tangentes interiores cuando éstas tienen un solo punto común.

En estas circunferencias la distancia entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios:

Las dos circunferencias tienen un punto común, en P.

Puedes comprobar que la distancia entre los centros de ambas circunferencias es igual a D y la diferencia entre las longitudes de los radios R y r, verás que es también igual a D.

Es muy importante que te fijes bien en que las distancias de los centros de las circunferencias tangentes interiores debe ser igual a la diferencia de sus radios.

Podemos escribir la siguiente igualdad, como resumen a todo lo dicho hasta ahora:

5) Una circunferencia es interior a otra circunferencia cuando no tienen ningún punto en común y la distancia entre sus centros es menor que la diferencia de las longitudes de sus radios.

Lógicamente, podemos dibujar más de una circunferencia interior mientras se cumplan las condiciones indicadas más arriba.

Tienes en la figura precedente dos circunferencias cuyos radios son R = 3,5 cm., y r = 1,1 cm.

La circunferencia pequeña se encuentra dentro de la mayor y no tienen ningún punto en común.

La distancia entre los radios es de 1,24 cm. La diferencia entre las medidas de los radios es: 3,5 – 1,1 = 2,4.

Comprobamos que la diferencia de los radios es mayor que la distancia entre sus centros.

6) Dos circunferencias son concéntricas cuando tienen el mismo centro pero sus radios tienen distintas medidas.

15.132 ¿Pueden dos circunferencias compartir la misma recta tangente? Razona y dibuja.

Respuesta: Sí, siempre que las circunferencias sean tangentes interiores.
Dibujo:

En la siguiente figura dibujamos las dos circunferencias interiores tangentes. El punto P es común para la recta y para las dos circunferencias.

15.133 ¿Cuántas circunferencias tangentes interiores puedo dibujar? Razona la respuesta y dibuja.

Respuesta: Puedo dibujar tantas como quiera mientras cumplan las dos condiciones: 1ª) que la distancia entre sus centros sea igual a la diferencia de sus radios, y 2ª) que todas tengan un punto común.

Dibujo:

Debes ir comprobando en la figura lo que se te va diciendo.

Los centros de las circunferencias en orden de mayor radio a menor las tienes representadas por: C1, C2 y C3.

En la parte superior de los centros indicados, tienes las distancias entre ellos.

Analicemos paso a paso:

Entre el centro de la circunferencia más grande y la circunferencia mediana verás la indicación de 30 unidades, es decir: C1 – C2 = 1,5 cm.

Entre los centros de la circunferencia más grande y el centro de la menor: C1 – C3 = 3,5 cm

Entre los centros de la circunferencia mediana y la menor:

C2 – C3 = 2 cm.

Estas medias debes compararlas con las que obtenemos de restar los radios:

La longitud del radio de la circunferencia más grande: r1 menos la longitud del radio de la circunferencia mediana r2, lo que equivale a: 5 – 3,5 = 1,5 cm., coincide con la distancia entre sus centros.

La longitud del radio de la circunferencia más mediana: r2menos la longitud del radio de la circunferencia más pequeña r3, lo que equivale a: 3,5 – 1,5 = 2 cm., coincide con la distancia entre sus centros.

La longitud del radio de la circunferencia más grande: r1 menos la longitud del radio de la circunferencia más pequeña r3, lo que equivale a: 5 – 1,5 = 2 cm., coincide con la distancia entre sus centros.

15.134 Una circunferencia de radio 4 cm., contiene en su interior otra circunferencia de radio 3 cm. ¿Crees que es posible que la segunda circunferencia sea interior? Razona y comprueba con un dibujo.

Respuesta: Sí, siempre que la diferencia de sus radios sea mayor que la distancia entre sus centros.

Dibujo:

Puedes comprobar en la figura que la distancia entre sus centros es de 0,5 cm., y la diferencia de sus radios 4 – 3 = 1 cm., por lo tanto, se cumple la desigualdad.

15.135 Supongamos que tienes una bicicleta y que el radio de la rueda mide 0,5 m. ¿Qué distancia en metros has recorrido después que las ruedas hayan dado 100 vueltas?

Respuesta: 314,16 m.

Solución:

Por cada vuelta recorre: 

Tras girar 100 vueltas habrá recorrido: 

15.136 El radio de una rueda de una bicicleta mide 0,45 m. ¿Cuántas vueltas completas deben dar las ruedas para recorrer una longitud de 500 m.?

Respuesta: 176 vueltas completas

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