Planos de geometría

Calcular la longitud de un arco de Circunferencia

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  Oir Lecc.

Arco, como ya lo sabemos es un trozo, una parte de la longitud de la circunferencia.

El arco  es la parte de la longitud de la circunferencia que corresponde al ángulo central O de 82º.

Compruebas que una circunferencia de radio 3,41cm., cuya longitud total sería de 

Esta longitud corresponde a la longitud total de la circunferencia, es decir, a los 360º.

Lo que tenemos que calcular ahora es la longitud del trozo de circunferencia que corresponde a 82º. Para ello, con una regla de tres podemos conocerla:

Vemos que la longitud del arco es de 4,88 cm.

15.137 Calcula la longitud del arco de una circunferencia correspondiente a un ángulo de 50º siendo 4 cm., el radio de la circunferencia.

Respuesta: 3,49 cm.

Solución:
A la longitud total de la circunferencia que es de: 

La regla se tres será:

A 360º (toda la circunferencia) corresponden 25,12 cm.
a 50º corresponderá una longitud de……… x cm.

de donde,

15.138 ¿Qué longitud de arco corresponden a 30º en una circunferencia de 8 cm., de radio?

Respuesta: 4,18 cm.

La longitud del arco dependiendo del radio y del ángulo:

La longitud es mayor, cuanto mayor sea el ángulo central de la circunferencia y también dependerá de la longitud del radio de la circunferencia.

Cuanto mayor sea el ángulo central más larga será la longitud del arco y cuanto mayor sea el radio más larga será la longitud del arco:

En la figura anterior puedes comprobar que la longitud del arco es mayor cuanto mayor valor sea el radio, sin variar el ángulo. Lo puedes comprobar en la figura anterior.
Con el mismo radio y distintos ángulos centrales, la longitud del arco será mayor cuanto mayor sea el ángulo central:

15. 139 Un arco de circunferencia mide 3,49 m. y el radio 5 m. ¿Cuál es el valor del ángulo?

Respuesta: 40º

Solución:

Si a la longitud de toda la circunferencia  corresponden 360º a una longitud de 3,49 m correspon. xº de donde 

15.140 Un arco mide 2,11 m., y su ángulo central 30º ¿cuál es el valor del radio?

Respuesta: 4 m.

Solución:

Si a 30º corresponde una longitud de 2,11 m.

A 360º corresponderán………………x .

La longitud de toda la circunferencia vale: 25,32, luego ponemos la fórmula y despejamos el valor del radio:

Radián

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  Oir Lecc.

Se trata de una palabra adoptada el año 1960 por el SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES cuya oficina se encuentra muy cerca de París y que sirve así como el metro es la unidad para medir longitudes, el litro es la unidad para medidas de volumen o de capacidad, el kilogramo, unidad para medir masas, …..el radián se toma como unidad para medir ángulos.

Es importante que todos los países tengamos las mismas unidades para medir distancias, pesos, áreas, volúmenes, ángulos, etc.

Es de uso frecuente el tomar como unidad en la medición de ángulos el gradosexagesimal que equivale a  (360 son los grados de un ángulo completo). A su vez, un gradosexagesimal se divide en minutos y segundos. 1 grado tiene 60 minutos y un minuto 60 segundos, de ahí el nombre de sexagesimal.

Existe otra unidad de medida de ángulos y es la que refiere a tomar como unidad a la centésima parte de un ángulo de 90º.

Si tomas un ángulo recto y lo divides en 100 partes iguales, cada parte es un grado centesimal.

Un grado centesimal se divide en 100 minutos centesimales y cada minuto centesimal en 100 segundos centesimales.

Al dividir a un ángulo recto en 100 grados centesimales, una circunferencia tendría 400 grados centesimales.

El modo de escribir abreviadamente el sistema sexagesimal (que ya lo has estudiado) es: 
En el caso del sistema centesimal hay varios modos señalamos uno: 

Con el fin de que todos utilicemos el mismo sistema se adoptó el radián.

Sucede que todavía el radián no es de uso corriente en todos los países ni por las personas de un mismo país. Hoy en día, las calculadoras, ordenadores, etc., los cálculos de medidas de ángulos los hacen en radianes.

¿Qué es un radián?

El radián es un ángulo central cuyo arco corresponde a la longitud del radio. Se escribe 1r = 1 radián o 1rad.

Ten cuidado, porque a muchas personas les cuesta un poco entender este concepto que verás es muy sencillo.

Fíjate bien en la figura siguiente:

Se trata de una circunferencia de radio R que mide 3,3 cm. El ángulo central ves que es 1r, es decir, mide 1 radián.

Cuando los lados del ángulo central (los radios R) abarcan, encierran o contienen a un arco o trozo de la circunferencia cuya longitud (en azul)sea igual a la longitud del radio (R), decimos que el ángulo central mide 1 radián.

Si separamos el arco del resto de la circunferencia y medimos tal como lo ves:

Vemos que mide 3,16 cm., en lugar de 3,3. Es lógico, porque no hemos tenido en cuenta su curvatura.

Si lo enderezásemos tendríamos (pasamos de A a B):

Vemos que el arco (“enderezado”) mide 3,3 cm., lo mismo que el radio de la circunferencia. Podemos afirmar que, en este caso, el ángulo central mide 1 radián.

¿Cuántos radianes tiene una circunferencia?

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  Oir Lecc.

Sabemos que la longitud de la circunferencia viene dada `por la fórmula: 

Sabemos también que un radián es un ángulo central cuya longitud de arco equivale al radio.

Si una circunferencia tiene una longitud de  y cada radián tiene una longitud de r (radio), el cociente:  será igual al número de radianes que tiene una circunferencia.Simplificando obtengo: 

Conocida esta equivalencia podemos resolver fácilmente los problemas de conversiones entre radianes y grados y entre grados y radianes:

Supongamos que queremos saber cuántos radianes son 25º:

Con una simple regla de tres:

A 180º corresponden  (3,1416)radianes
a 25º corresponderán x “

En la figura vemos que el ángulo de 25º equivale a 0,436 radianes.

Vamos a suponer que tenemos 0,8 radianes y necesitamos saber a cuantos grados corresponden.

Por medio de la regla de tres:

3,1416 () radianes …………..180º
0,8 “ ………….. xº

15. 141 ¿A cuántos radianes equivalen 135º?
Respuesta: 2,36 radianes

15.142 ¿Cuántos grados son 1,05 radianes?
Respuesta: 60º

15.143 ¿Cuántos grados son 0,52 radianes?
Respuesta: 30º

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