Planos de geometría

Circunferencia

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  Oir Lecc.

Hemos estudiado los polígonos y a la circunferencia la podemos considerar como un polígono de infinitos lados. Observa las figuras siguientes:

Verás que cuanto más lados tenga el polígono más se parece a una circunferencia. Si en el número de lados en infinito podemos hablar de una circunferencia.

DEFINICIÓN DE CIRCUNFERENCIA

Nos referimos a la definición tradicional en la que se nos dice que una circunferencia es: una curva cerrada en la que todos los puntos de esta curva equidistan (están a igual distancia) de otro punto interior que llamamos centro(color azul).

En la figura anterior tenemos en color rojo una LÍNEA curva cerrada. Cada punto de la línea curva cerrada o circunferencia la unimos con una recta (color negro) con el punto del centro (azul).

Cada recta a la que llamamos radio medirá exactamente lo mismo.

Longitud de la circunferencia

Presta mucha atención a lo que hemos dicho referente a la circunferencia de que se trata de una línea curva cerrada en la que cada punto de esa línea equidista del centro.

Supongamos que tenemos un aro de alambre. Si damos un corte al aro, y estiramos al alambre nos quedará una línea recta cuya longitud será la misma de la que tiene la circunferencia que corresponde al aro.

Observa la figura que tienes a continuación:

La distancia AB es la longitud de la circunferencia.

Otra forma para medir, por ejemplo, la longitud de una rueda delantera de un coche, tal como lo vemos más abajo, sería hacer una señal en la rueda y en el suelo. Después, movemos el coche de modo que la pintura de la rueda coincida con el suelo y en ese lugar volvemos a marcar en el suelo.

La distancia entre las dos señales del suelo corresponderá a la longitud de la rueda:

Diámetro

El diámetro es la línea que une dos puntos de la línea de la circunferencia y que pase por el centro de la misma

Los puntos A y B situados sobre la línea de la circunferencia y que pasa por el centro de ella es un diámetro.

Lo mismo sucede con las líneas que unen los puntos C y D, y E y F, también son diámetros de la misma circunferencia.

15.123 Fijándote en la última figura ¿a qué equivale la longitud del diámetro de cualquier circunferencia?

Respuesta: A dos veces la longitud del radio.

15.124 ¿Cómo se llama a la distancia máxima entre dos puntos de una circunferencia? ¿Por qué punto pasará?

Respuesta: Diámetro. Pasará por el centro de la circunferencia.

Cálculo de la longitud de una circunferencia

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  Oir Lecc.

Como es lógico, habrás pensado hace un rato, que para calcular la longitud de una rueda, de un aro metálico, etc., no vamos a poner pintura en un punto de la rueda o del aro y hacer rodar hasta que nos haga una segunda señal en el suelo para después medir la distancia entre ambas señales.

Sería descabellado decir que con cortar el aro y enderezarlo ya podíamos medir su longitud.

La historia del cálculo de la longitud de una circunferencia tiene su historia, y muy larga por cierto. Casi 4 mil años ya comenzaron a darse cuenta algunos que se dedicaban al estudio de la naturaleza que algo raro pasaba entre el diámetro de una circunferencia y la periferia (de ahí el nombre de pi) o la curva o longitud de la circunferencia.

Hacían circunferencias con materiales blandos y de este modo medían, calculaban fácilmente sus longitudes. Dividían las longitudes de las diversas circunferencias y las dividían entre sus diámetros y siempre obtenían casi el mismo cociente.

Daba igual que la circunferencia tuviera un diámetro grande que uno pequeño, siempre obtenían casi el mismo resultado.

Hablamos de casi porque el número que resultaba de dividir la longitud de la circunferencia entre su diámetro no acababa nunca.

Las cifras decimales del cociente nunca se acaban.

Para que te des una idea, observa el valor de tal cociente con sus 200 primeras cifras decimales:

Como comprenderás, a este número había que darle un nombre para ahorrarnos complicaciones y pérdidas de tiempo, pues bien, por eso de periferia se le llamó PI y se le representa por la letra griega  y se ha tomado la costumbre de utilizar para pequeños cálculos 4 decimales redondeando la cuarta cifra decimal quedándonos el valor de 

Trabajando con circunferencias. Para que adquieras un buen conocimiento de la circunferencia y el cálculo de su longitud, sirviéndote de una regla y un compás vamos a hacer alguna pequeña práctica.

Dibuja una recta de 9 cm., que será el diámetro. Después, calcula la mitad de la misma y coloca la aguja del compás en ese punto, es decir, a 4,5 cm., del origen del diámetro y traza una semicircunferencia que pase por el origen y final del diámetro, tal como tienes en la figura:

Si ahora estirásemos la semicircunferencia hasta ponerla recta la veríamos sobrepasando a la longitud del diámetro en algo más de 5,13 cm. Lo ves en la figura siguiente:

En la figura que tienes a continuación hemos dibujado algo así como una rueda girando y avanzando.

El radio de la rueda, es decir, la mitad del diámetro viene representado por una flecha roja. Al comienzo del movimiento de la rueda, la flecha señala el suelo.

A medida que la rueda avanza hacia la derecha la flecha va cambiando de posición.

Cuando la flecha coincida con el suelo por segunda vez querrá decir, que la rueda ha dado un giro completo o lo que es lo mismo, la rueda ha dado una vuelta completa y la medida entre estas dos posiciones de la flecha equivaldrá a la longitud de la rueda.

Observa que el diámetro de la rueda mide 4 cm., y la longitud de la rueda es de 12,5663 cm., (puedes comprobar con una regla graduada).

Si divides la longitud de la circunferencia entre el diámetro obtienes el valor de  es decir, 3,1416 (no tenemos en cuenta el resto de las cifras decimales).

15.125 Observa la figura en la que el personaje Obélix estira la semicircunferencia. Comprobarás que el diámetro mide 9 cm., y la longitud de la semicircunferencia 14,137 cm. El cociente entre estas dos magnitudes ¿corresponderá con el valor de ? Razona la respuesta.

Respuesta: No, porque en este caso, estamos averiguando la longitud de media circunferencia. El diámetro por equivale a la longitud de la circunferencia y en este caso sería: Pero como se trata de la mitad de la circunferencia, el valor de ésta sería:  cm., y si divides que es exactamente, la mitad del valor de .

15.126 Tienes tres ruedas de distintos tamaños que puedes ver en la siguiente figura:

¿Serán iguales los cocientes de dividir sus longitudes respectivas entre sus diámetros? Razona la respuesta.

Respuesta: Sí, sus cocientes valen 3,1416 porque no importan sus tamaños, sino el cociente de dividir la longitud de cada una de ellas entre el valor de su diámetro

Fórmula para el cálculo de la longitud de una Circunferencia - Elementos de una Circunferencia

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  Oir Lecc.

Has visto hasta este momento que en lo que se refiere a la circunferencia hemos utilizado 2 valores: diámetro y  No es costumbre utilizar el diámetro, sino el valor del radio.

Mientras no digamos lo contrario, a partir de este momento, usaremos el radio cuando nos refiramos a la circunferencia. Recuerda que el radio es la mitad del diámetro.

La longitud de una circunferencia depende de dos valores, uno de ellos se mantiene invariable, el valor de y el otro valor el del radio.

Cuanto mayor sea el valor del radio, mayor será la longitud de la circunferencia y el otro factor que aparece en todo los cálculos de longitudes de circunferencias y se mantiene siempre con el mismo valor sea grande como pequeña la figura es  La longitud de la circunferencia depende del tamaño del radio. El factor  se mantiene en el cálculo de las longitudes de todas las circunferencias.

Si representamos por L la longitud de una circunferencia y por r el valor del radio, diremos que:

Sería lo mismo que multiplicar el diámetro ( 2x) por 3,1416 ()

15.127 Calcula la longitud de una rueda cuyo radio mide 3,5 dm. La respuesta debe contener 3 decimales.

Respuesta: 21,991 dm.

15.128 Una circunferencia tiene una longitud de 124,756 cm. ¿Cuánto vale el radio? (respuesta con 3 decimales).

Respuesta: 19,855 dm.

Solución:

Sustituyo los valores que conozco en la fórmula y obtengo:  de donde:

15.129 Una circunferencia cuya longitud vale 123,45 m. ¿cuál es el valor de su diámetro?

Respuesta: 39,295 dm.

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

Es necesario que aprendas los elementos de toda circunferencia:

1) centro. El punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

2) radio. Segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.

3) cuerda: Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia sin que pase por el centro:

4) sagita: Segmento que une el centro de un arco de circunferencia con el punto medio de la cuerda que le corresponde:

El segmento es la sagita.

5) diámetro: Segmento o cuerda que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia que pase por el centro de la circunferencia.

Todas líneas en rojo son diámetros.

6) ángulo central: Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la misma.

En este caso, el ángulo central vale 59º.

7) arco: Es una parte, una porción, un trozo comprendido entre dos puntos de la circunferencia:

La curva comprendida entre los puntos A y B de la circunferencia, es la parte o porción de la misma que se llama arco.

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