Planos de geometría

Clasificación de los Triángulo según sus lados

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  Oir Lecc.

Los nombres que reciben son:

1) triángulos equiláteros

Las palabras equi - látero vienen del latín: igual – lado.

Son los triángulos cuyos tres lados son iguales: 

2) triángulos isósceles
La palabra isósceles está compuesta de dos palabras griegas isoque significa igual y de la palabra skeles que podemos traducir por piernas.

La palabra isósceles referido a la geometría quiere decir que dos lados (piernas) son iguales. Por lo tanto, un triángulo con dos lados iguales llamamos isósceles.

Como ves en la figura, tienes el triángulo isósceles con dos lados iguales. Si tiene 2 lados iguales tendrá también dos ángulos iguales.

3) triángulos escalenos

La palabra escaleno procede de la palabra griega skaleno que significa cojear, cojo. Nos da la idea que si el triángulo “cojea” sus lados no son iguales. Efectivamente, el triángulo escaleno tiene sus lados diferentes por lo que sus ángulos también serán diferentes.

15.67 ¿Sería correcto decir que en un triángulo equilátero cada ángulo mide 59º38’56’’?

Respuesta: Incorrecto. Cada ángulo debe medir 60º porque la suma de todos es 180º y como son iguales basta que dividas

15.68 En un triángulo isósceles, cada uno de los ángulos iguales mide 30º16’ ¿Cuánto vale el ángulo desigual?

Respuesta: 119º28’

15.69 El triángulo que tienes en la figura siguiente ¿qué tipo de triángulo es, según sus lados y cuánto mide el ángulo X?

Respuestas: Escaleno y el ángulo X vale 56º06’

15.70 ¿Puede existir un triángulo cuyos ángulos miden 66º56’44’’, 43º12’33’’ y 69º50’43’’?¿Por qué?

Respuesta: Sí, porque la suma de sus ángulos es 180º

15.71 ¿Qué clase de triángulo es el que tiene por ángulos 65º43’58’’, 55º37’55’’ y 63º12’13’’?

Respuesta: No existe. La suma de sus ángulos superan 180º

15.72 En un triángulo isósceles el ángulo desigual vale 66º14’34’’ ¿Cuánto vale cada uno de los ángulos iguales?

Respuesta: 56º52’43”

15.73 ¿Cuántas diagonales tiene un triángulo? Razona la respuesta.

Respuesta: No tiene ninguna.

Explicación: Recuerda que diagonal es una recta que uno dos vértices no consecutivos de un polígono o de un poliedro (estudiaremos más adelante) . En un triángulo es imposible dibujar una diagonal que una dos vértices no consecutivos. Porque si parto de un vértice y voy al 2º no consecutivo me encuentro con un lado del triángulo.

Debes tener en cuenta de que cada vértice salen tantas diagonales como lados tiene el polígono menos 3 pero las contamos dos veces.

Del cuadrado saldrían: 4 (vértices)x(4 – 3) = 4, pero se repetirían la mitad de las diagonales, luego, el número de diagonales del cuadrado serán 2.

El pentágono tendrá: 5 (vértices)x(5 – 3) =5x2 = 10 pero repetiríamos la mitad, 5 diagonales (las tendríamos trazadas con anterioridad). Nos quedan 10 – 5 = 5 diagonales. El hexágono tendrá: 6 (vértices)x(6 – 3) =6x3 = 18 pero repetiríamos 9 diagonales (las tendríamos trazadas con anterioridad). Nos quedan 18 – 9 =9 diagonales.

El heptágono tiene: 7 (vértices)x(7 – 3) =7x4 = 28 pero repetiríamos, las mitades, 14 diagonales (las tendríamos trazadas con anterioridad). Nos quedan 28 – 14 =14 diagonales.

Para hacer el cálculo más sencillo aplicas la fórmula

representando por n el número de lados del polígono:

15.74 Cuántas diagonales tiene un polígono de 28 lados?

Respuesta: 350 diagonales

15.75 En un triángulo, ¿puede uno de sus ángulos ser cóncavo?

Respuesta: No, porque un ángulo cóncavo vale más de 180º

Los dos lados a y b de la figura forman un ángulo cóncavo de 225º y para trazar el tercer lado del triángulo vemos que nos es imposible.

Clasificación de los Triángulos según sus ángulos - Relación entre los ángulos y los lados de los triángulos

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  Oir Lecc.

Se dividen en:

1) Triángulos rectángulos si tienen UN ángulo recto.

Tienes a continuación tres ejemplos de triángulos rectángulos

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusay los lados perpendiculares que forman el ángulo recto se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras: Al estudiar el triángulo rectángulo hemos de conocer perfectamente este teorema que nos dice:

En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

Tomemos como ejemplo el de la figura en el que los catetos miden 3 y 4 cm., respectivamente y 5 cm., la hipotenusa.

Con las medidas de los catetos formamos cuadrados 

Con la longitud de la hipotenusa formamos otro cuadrado (c):

Si calculas el área del cuadrado formado por el cateto (a): lado al cuadrado obtienes como valor del área: 

Si a continuación calculas el cuadrado formado por el cateto (b), el valor de su área vale 

El cuadrado formado por la longitud de la hipotenusa tiene un área de 

Si sumas las áreas de los cuadrados de los catetos, es decir  obtienes el área formada por el cuadrado de la hipotenusa, 

Fíjate en la figura siguiente:

La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.Siendo a y b las longitudes de los catetos los catetos, y c la longitud de la hipotenusa podemos escribir:

Resuelve:

(a) Calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que los catetos miden 5 y 6 cm., respectivamente.

El resultado es de 7,81 cm. porque la suma de los cuadrados de los catetos es  de donde 

(b) Sabiendo que la hipotenusa de un triángulo rectángulo vale 10 cm., y uno de los catetos 8 cm.

¿Cuál es el valor del otro cateto?

El resultado es de 6 cm. Porque

2) Triángulos acutángulos, si tienen TRES ángulos agudos(menores de 90º).

En el dibujo siguiente tienes dos triángulos acutángulos.

3) Triángulos obtusángulos, si tienen UN ángulo obtuso (más de 90º).

En la siguiente figura tienes dos triángulos obtusángulos

15.76 ¿Puede un triángulo rectángulo tener, además de su ángulo recto, dos ángulos de 56º y 45º? ¿Por qué?

Respuesta: No, porque la suma de los tres ángulos debe valer 180º y en este caso, supera ese número.

15.77 Dos triángulos isósceles tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. ¿Son necesariamente iguales?

Respuesta: Sí.

15.78 ¿La suma de los ángulos no rectos de los triángulos rectángulos han de sumar un ángulo recto? ¿Por qué?

Respuesta: Sí, porque si el ángulo recto vale 90º los otros dos 2 ángulos no rectos tendrán que sumar 90º, de este modo, la suma de los ángulos del triángulo suman 180º

RELACIÓN ENTRE LOS ÁNGULOS Y LOS LADOS DE LOS TRIÁNGULOS

En los triángulos los ángulos dependen de los lados en cuanto a sus medidas, de ahí que podemos decir:

A) A mayor lado se opone mayor ángulo

Comprueba en la figura siguiente que a mayor lado, se oponemayor ángulo.

Lo mismo puede decirse a la inversa, a menor ángulo, se opone menor longitud de lado

B) En un triángulo, la longitud de un lado cualquiera es menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados.

La suma de los dos lados menores será siempre mayor que el lado más grande.

En el primer triángulo la suma de los lados de menor longitud es mayor que la del lado de mayor longitud 

Lo mismo sucede en el segundo triángulo de la figura: 

C) Si un triángulo tiene sus lados iguales también serán sus ángulos opuestos.

En la figura siguiente verás en el primer triángulo que los lados a y b al tener iguales longitudes, sus ángulos opuestos miden lo mismo.

Igualmente, en el segundo triángulo los lados x e y al tener la misma longitud, sus ángulos opuestos son iguales.