matemáticas - funciones

En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Una función continua de  en  es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo).

La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales del análisis matemático y de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones realesde una variable real.- .............................................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_continua&printable=yes

Función continua

Si alguna de las tres condiciones no se cumple, la función es discontinua en x₀.

Se dice que una función es continua en un intervalo cuando es continua en todos los puntos del intervalo.

Ejercicio: estudio de la discontinuidad de una función

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Resolución:

condiciones de continuidad no se cumple.

En este caso es la primera, ya que no existe el límite de la función cuando x tiende a 3; los límites laterales no coinciden:

Resolución:

· En este caso existe el límite de la función cuando x tiende a 3, y es 1; los dos límites laterales coinciden:

· Sin embargo, la función no está definida en x₀ = 3; no existe f (3).

Por tanto, la función es discontinua en x₀ = 3.

Resolución:

· Existe el límite de la función cuando x tiende a 2, ya que los dos límites laterales coinciden:

· La función está definida para x = 2 y vale 5: f(2) = 5.

· Sin embargo,  el valor del límite de la función cuando x ® 2 no coincide con f (2):

                                     

En análisis matemático, una clase diferenciable es una clasificación de una función de acuerdo a las propiedades de sus derivadas. Clases diferenciales de orden superior corresponden a la existencia de más derivadas. Funciones que tienen derivadas de todos los órdenes son llamadas infinitamente continuas, es decir que tiene derivadas parciales continuas de cualquier orden finito.

• Una función es de clase C¹ si sus derivadas parciales son continuas. Estas funciones se denominan diferenciables continuas.
• Una función es de clase Cⁿ, con n ≥ 1 y constante, si sus derivadas parciales de orden n son continuas. Estas funciones se denominan diferenciables finitas .
• Una función es denominada continuamente diferenciable si es de clase Cⁿ para todo n, o lo que es lo mismo, es de clase C^∞.

Por ejemplo, las funciones exponenciales son evidentemente funciones continuamente diferenciable porque sus derivadas son siempre continuas.Usualmente es útil construir funciones continuamente diferenciables que toman el valor cero fuera de un intervalo dado, pero no dentro de él. Esto es posible; por otra parte es imposible que una serie de potencias pueda tener esa propiedad. Esto prueba que existe un gran salto entre funciones continuamente diferenciables y funciones analíticas; y que en general las funciones continuamente diferenciables no son necesariamente iguales a sus series de Taylor.

Para dar una construcción explícita de dichas funciones, podemos comenzar con la siguiente función

No sólo se tiene que

sino que también se tiene

para cualquier polinomio ; ya que el crecimiento exponencial con exponente negativo domina. Se sigue que todas las derivadas de f(x) en cero, son iguales a cero:

lo cual significa que fijando f(x) = 0 para x ≤ 0 genera una función continuamente diferenciable. Combinaciones tales como f(x)f(1-x) pueden ser hechas con cualquier intervalo requerido como soporte; en este caso el intervalo [0,1]. Este tipo de funciones tienen un comportamiento extremadamente lento cerca de 0.

En un dominio acotado D en un espacio euclídeo, el conjunto de funciones C^k conforman un espacio de Banach con la norma

sin embargo, el conjunto de las funciones continuamente diferenciables  es únicamente un espacio de Fréchet.