matemáticas - funciones

En matemáticas una función analítica es aquella que puede expresarse como una serie de potencias convergente. Una función analítica es suave si tiene infinitas derivadas. La noción de función analítica puede definirse para funciones reales o complejas, aunque ambos conjuntos tienen propiedades distintas. Las funciones complejas derivables en unabierto siempre son analíticas, y se denominan funciones holomorfas. Sin embargo, una función real infinitamente derivable no es necesariamente analítica.La definición de función analítica es idéntica para los casos real y complejo:

Una función real (compleja) f es analítica en un punto x0 de su dominio si existe una serie de potencias centrada enx0: que converge en un entorno U ⊆ R (U ⊆ C) de x0 y que coincide con la función en dicho entorno:

De esta definición se puede demostrar la siguiente caracterización alternativa:

Una función analítica en x0 es infinitamente derivable en un cierto entorno U de dicho punto, en el que además suserie de Taylor: converge (y coincide con f).

Una función se dice analítica en un conjunto U si es analítica en cada punto de U. El conjunto de todas las funciones analíticas en un cierto abierto U se denota por C^ω(U).

La definición de función analítica puede extenderse para funciones (reales o complejas) de varias variables (definidas en Rⁿ o Cⁿ), sin más que considerar series de potencias de varias variables:

Funciones holomorfas[editar]

Artículo principal: Función holomorfa

En el caso de las funciones complejas analíticas, existe un teorema que las caracteriza de manera mucho más sencilla, y que constituye uno de los rasgos fundamentales delanálisis complejo:

Una función compleja f : D ⊆ C → C derivable en un abierto U, es analítica en U.

Un teorema similar se aplica en el caso de funciones complejas de varias variables que sean diferenciables:

Una función compleja f : D ⊆ Cn → C diferenciable en un abierto U es analítica en U.