matemáticas - funciones

En análisis complejo, una función elíptica es, hablando toscamente, una función definida sobre el plano complejo y periódica en ambas direcciones. Las funciones elípticas pueden ser vistas como generalizaciones de las funciones trigonométricas (las cuales únicamente tienen la periodicidad en una dirección, paralela a la recta real). Históricamente, las funciones elípticas fueron descubiertas como las funciones inversas de las integrales elípticas; estas fueron estudiadas en relación con el problema de lalongitud de arco en una elipse, de donde el nombre se deriva.Formalmente, una función elíptica es una función meromorfa f definida sobre C para la que existen dos números complejos no nulos a y b tal que

f(z + a) = f(z + b) = f(z)   para todo z perteneciente a C

y tal que a/b no es un real. De esto se deduce que

f(z + ma + nb) = f(z)   para todo z perteneciente a C y para todo entero m y n.

En el desarrollo de la teoría de las funciones elípticas, la mayoría de autores modernos utilizan la notación creada por Karl Weierstrass: la notación de las funciones elípticas en forma de Weierstrass basadas en la función  es cómoda y cualquier función elíptica puede ser expresada a partir de estas. Weierstrass se interesó en estas funciones cuando era estudiante de Christoph Gudermann, un estudiante de Carl Friedrich Gauss. Las funciones elípticas introducidas por Carl Jacobi, y la función auxiliar theta (no doble periódica), son más complicadas pero ambas importantes para la historia y para la teoría general. La diferencia más importante entre estas dos teorías es que las funciones de Weierstrass tienen polos de alto orden situados en las esquinas de un retículo periódico, mientras que las funciones de Jacobi tienen polos simples.

El estudio de las funciones elípticas está estrechamente relacionado con el estudio de las funciones modulares y las formas modulares, relación demostrada por el teorema de Taniyama-Shimura. Algunos ejemplos de esta relación son el invariante j, las series de Eisenstein y la función eta de Dedekind.Cualquier número ω tal que f(z + ω) = f(z) para toda z de C se le llama period de f. Si dos periodos a y b son tales que cualquier otro periodo ω puede ser escrito como ω = ma +nb con m y n enteros , entonces a y b se les llama periodos fundamentales. Toda función elíptica tiene un par fundamental de períodos, aunque este par no es único, como se describe más adelante.

Si a y b son periodos fundamentales que describen un retículo, entonces exactamente el mismo retículo puede ser obtenido por los periodos fundamentales a' y b' donde a' = pa + q b y b' = r a + s b donde p, q, r y s son enteros que satisfacen p s − q r = 1. Dicho de otra forma, la matriz  tiene determinante unidad, por lo que pertenece al grupo modular. En otras palabras, si a y b son periodos fundamentales de una función elíptica, entonces también lo son a' y b' .

Si a y b son periodos fundamentales, entonces cualquier paralelogramo con vertices z, z + a, z + b, z + a + b se le llama paralelogramo fundamental. Moviendo dicho paralelogramo múltiples de a y b obtenemos una copia del paralelogramo, y la función f se comporta idénticamente sobre todas esas copias, debido a esta periodicidad.

El número de polos es cualquier paralelogramo es finito (e igualmente para todo paralelogramo fundamental). A no ser que la función elíptica sea constante, todo paralelogramo fundamental tiene al menos un polo como consecuencia del teorema de Liouville.

La suma de los órdenes de los polos en cualquier paralelogramo fundamental se le llama el orden de la función elíptica. La suma de los residuos de los polos en cualquier paralelogramos fundamental es igual a cero, en particular, ninguna función elíptica puede tener orden uno.

El número de ceros (contados con su multiplicidad) en cualquier paralelogramo fundamental es igual al orden de la función elíptica.

La derivada de una función elíptica es otra función elíptica con los mismos periodos. El conjunto de todas las funciones elípticas con el mismo periodo fundamental forman uncuerpo.

Las funciones elípticas en forma de Weierstrass  son el prototipo de función elíptica, y de hecho, el cuerpo de funciones elípticas para un retículo dado se genera a partir de y su derivada .

Las funciones holomorfas son el principal objeto de estudio del análisis complejo; son funciones que se definen sobre un subconjunto abierto del plano complejo C y con valores en C, que además son complejo-diferenciables en cada punto. Esta condición es mucho más fuerte que la diferenciabilidad en caso real e implica que la función esinfinitamente diferenciable y que puede ser descrita mediante su serie de Taylor.

El término función analítica se usa a menudo en vez del de "función holomorfa", especialmente para cuando se trata de la restricción a los números reales de una función holomorfa. Una función que sea holomorfa sobre todo el plano complejo se dice función entera. La frase "holomorfa en un punto a" significa no sólo diferenciable en a, sino diferenciable en todo un disco abierto centrado en a, en el plano complejo.Si U es un conjunto abierto de C (ver espacio métrico para la definición de "abierto") y  es una función, se dice que f es complejo-diferenciable en el punto z₀ de U si existe el siguiente límite:

Este límite se toma aquí sobre todas las sucesiones de números complejos que se aproximen a z₀, y para todas esas sucesiones el cociente de diferencias tiene que dar el mismo número f '(z₀).

Intuitivamente, si f es complejo-diferenciable en z₀ y nos aproximamos al punto z₀ desde la dirección r, entonces las imágenes se acercarán al punto f(z₀) desde la direcciónf '(z₀) r, donde el último producto es la multiplicación de números complejos. Este concepto de diferenciabilidad comparte varias propiedades con la diferenciabilidad en caso real: es lineal y obedece a las reglas de derivación del producto, del cociente y de la cadena.

Si f es complejo-diferenciable y las derivadas son continuas en cada punto z₀ en U, se dice que f es holomorfa en U. Es claro que, al igual que en el caso real, si f es holomorfa e inyectiva en U — con inversa continua — entonces  es holomorfa y su derivada vale:

funciones holomorfas .- ......................................................:http://www.fing.edu.uy/imerl/varcompleja/2005/notas/cap1.pdf







funciones holomorfas .- ......................................................................:http://www.ugr.es/~rpaya/documentos/VariableCompleja/2014-15/Holomorfas.pdf






Una función escalonada es aquella función definida a trozos que en cualquier intervalo finito [a, b] en que esté definida tiene un número finito de discontinuidades c₁ < c₂ < ... < c_n, y en cada intervalo ]c_k, c_k+1[ es constante, teniendo discontinuidades de salto en los puntos c_k.

Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada. El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera. Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo.

Como caso general podemos ver la función y = s(x), definida así:

En el intervalo cerrado [-1, 5] de números reales sobre los números reales, asociando a cada x de [-1,5] un valor de y, según el siguiente criterio:

Esta función tiene cuatro intervalos escalonados, como se ve en la figura.

La composición de cualquier función escalonada s(x) y una función cualquiera f(x) da por resultado una función escalonada g(x) = f(s(x)), siempre que f(x) esté definida para cualquier valor de x en el rango de s(x).

Evidentemente, la derivada de una función escalonada es 0 en cualquier punto en que se halle definida. No puede definirse en los puntos en que hay discontinuidades.