jueves, 30 de abril de 2015

matemáticas - funciones



El concepto de función diferenciable es una generalización para el cálculo en varias variables del concepto más simple de función derivable. En esencia una función diferenciable admite derivadas en cualquier dirección y puede aproximarse al menos hasta primer orden por una aplicación afín.
La formulación rigurosa de esta idea intuitiva sin embargo es algo más complicada y requiere de conocimientos de álgebra lineal. Debe notarse que aunque una función de varias variables admita derivadas parciales según cada una de sus variables no necesariamente eso implica que sea una función diferenciable.- .....................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=072c9cbc688fabfaa9acc3466e1ef377f093fc3d&writer=rdf2latex&return_to=Funci%C3%B3n+diferenciable

Diferenciabilidad
Nota Para entender este tema, debes estar familiarizado con las derivadas y límites, como se explica en el capítulo sobre el tema en Cálculo Aplicado al Mundo Real. Si te gusta, puedes revisar el material del resumen del tema de derivadas y límites o, para estudiarlo más detalladamente, el tutorial en línea sobre derivadas y límites.
Para empezar, recordando la definición de la derivada de una función, y lo que significa para una función ser diferenciable.
Derivada; Diferenciabilidad
La derivada de una función f en el punto a en su dominio se define por
    f'(a)=lim
    h0
    f(a+h) - f(a)

    h
Decimos que la función f es diferenciable en el punto a en su dominio si f'(a) existe.
Diferenciable en un subconjunto del dominio
La función f es diferenciable en el subconjunto S de su dominio si es diferenciable en cada punto de S.
Nota
Una función puede fallar ser diferenciable en el punto a silim
h0
f(a+h) - f(a)

h
no existe, o es infinito.
En el primer caso, a veces tenemos una cúspide en la gráfica, y en el último caso, obtenemos un punto de tangencia vertical.
 
 Ejemplo 1 Funciones no diferenciables en puntos aislados
Determina los puntos de no diferenciabilidad de las siguientes funciones
    (a)f(x)=(x-1)1/3   (b)g(x)=|x+2|   (c)r(x)=
    x2

    x - 1
Solución
(a) La regla de la potencia nos dice que f(x) = (x-1)1/3 tiene derivada f'(x) = (1/3)(x-1)-2/3 en todas los puntos donde se define esta expresión, y no es diferenciable cuando (1/3)(x-1)-2/3 no se define. Porque (x-1) tiene un exponente negativo, f'(x) no está definido cuando x = 1, y por lo tanto f no es diferenciable ahí. De hecho, un cálculo directo muestra que
    lim
    h0
    f(1+h) - f(1)

    h
    		=lim
    h0
    h1/3

    h
    		=lim
    h0
    1

    h2/3
    		=+,
mostrando que f no es diferenciable en x = 1.
(b)Porque g(x) = |x+2| =-(x+2)

x+2		 si x  -2

si x > -2		  ,
y que ya sabemos que los -(x+2) y x+2 son diferenciables, el único punto en el que puede salir algo mal es cuando x = -2. En este punto, podemos calcular el límite del cociente de la diferencia directamente:
    lim
    h0
    f(-2+h) - f(-2)

    h
    		=lim
    h0
    |h|

    h
    		.
Sin embargo, este límite no existe (ver el ejemplo 2 en la sección 6 del capitulo sobre derivadas en Cálculo Aplicado al Mundo Real) ya que los límites izquierdo y derecho son diferentes.
(c) La regla del cociente nos dice que r(x) = x2/(x - 1) es diferenciable en todos los puntos excepto en x = 1. Sin embargo, x = 1 no está en el dominio de r, y por lo tanto r es diferenciable en todos los puntos de su dominio.
Como vemos en la gráfica a la derecha, no hay puntos de tangencia vertical o cúspides.
Antes de seguir...
Como se puede ver, las gráficas proporcionan información inmediata en cuanto a dónde debe buscar un punto de no diferenciabilidad: un punto donde parece que hay un cúspide o una tangente vertical.
Aquí está uno para ti.
 Ejemplo 2 Puntos de no difereciabilidad
    Pf(x) = (x-1)4/3 esen x = 1
    Pf(x) = (x-1)2/3 esen x = 1
    Pf(x) = (x-1)-1/3 esen x = 1
    Pf(x) = |x-1|4/3 esen x = 1
P En Parte A hablamos de continuidad, y aquí hablamos de diferenciabilidad. ¿Son todas las funciones continuas son diferenciables? ¿Todas las funciones diferenciables son continuas?
R Brevemente:
(a) No todas las funciones continuas son diferenciables. Por ejemplo, la función de forma cerrada f(x) = |x| es continua en cada número real (incluyendo x = 0), pero no diferenciable en x = 0.
(b) Sin embargo, cada función diferenciable es continua. Más precisamente, tenemos el siguiente teorema.
 Teorema Diferenciabilidad implica continuidad
Si f es diferenciable en a, entonces es continua en a.
Prueba
Supongamos que f es diferenciable en el punto x = a. Entonces sabemos que
    lim
    h0
    f(a+h) - f(a)

    h
    		existe, e igual f'(a).
Por lo tanto,
    lim
    h0    		f(a+h) - f(a)=lim
    h0
    f(a+h) - f(a)

    h
    		. h=f'(a). 0 = 0.    Límite del producto = producto de los límites
Esto da
    lim
    h0    		f(a+h)=lim
    h0    		[f(a+h) - f(a)] + f(a)=0 + f(a) = f(a).    Límite de la suma = suma de los límites
Si tomamos x = a+h, entonces h = x-a, y el resultado anterior puede escribirse como
    lim
    x-a0    		f(x)=f(a).
En otras palabras,
    lim
    xa    		f(x)=f(a),
que significa que f es continua en x = a.



Diferenciabilidad de funciones vectoriales

Los conceptos de derivable y diferenciable coinciden en funciones vectoriales. Basicamente lo que hacemos aquí es derivar componente a componente.
Sea $f\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}^m$ una función vectorial, y sea $a$ un punto del interior del dominio de $f$. Si $f=(f_1,f_2,\cdots ,f_m)$ se tiene que $f$ es derivable en $a$ si todas sus componentes lo son y

\begin{displaymath}f'(a)=(f_1'(a),f_2'(a),\cdots ,f_m'(a))\end{displaymath}


Por ejemplo si $f\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}^m$ viene dada por $f(t))=(e^t,t^2+t^3)$, resulta que es derivable y $f'(t)=(e^t,2t+3t^2)$.
Si consideramos la función $g(t)=(t^2, \mid t \mid )$, tenemos que $f'(t)=(2t,1)$ si $t>0$, y $f'(t)=(2t,-1)$ si $t<0$. Sin embargo $f$ no es derivable en $0$, no existe $f'(0)$, ya que aunque $f_1'(0)=0$, no existe $f_2'(0)$ porque $ \mid t \mid $ no es derivable en $0$.
La diferencial de $f$ en un punto $a$, $df_a\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}^m$ es la aplicación lineal dada por

\begin{displaymath}df_a=({df_1}_a, {df_2}_a,\cdots , {df_m}_a,)\end{displaymath}



Propiedades de la diferencial

  1. Si un campo escalar $f$ es diferenciable en $a$, entonces $f$ es continuo en $a$. Por tanto si no es continuo no puede ser diferenciable.
  2. Si $f$ es constante, entonces para cada $a$, $df_a$ es la aplicación lineal nula.
  3. Si $f$ es lineal, entonces para cada $a$, $df_a=f$.
  4. $d(f+g)_a=df_a + dg_a$. En términos matriciales esta propiedad es $\nabla (f+g)(a)=\nabla (f)(a)+\nabla (g)(a)$.
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